Linear Algebra - Sebastian Pancratz

α ∈ End(V ) U V α(U) ≤ U
B ′ = {v1, . . . , vk} U B = {v1, . . . , vk, . . . , vn}
V ¯ V = V/U ¯v = v + U v ∈ V ¯ B = {¯vk+1, . . . , ¯vn} ¯ V
α ′ = α| U ∈ End(U) ¯α : ¯ V → ¯ V , ¯v ↦→ ¯ α(v)
¯ V
[α ′
]B ′ ∗
[α]B =
.
0 [¯α] B¯
χα = χα ′ · χ¯α
V F α ∈ End(V ) B
V [α]B B α
α ∈ End(V ) λ1, . . . , λk α Vj =
N(α−λjι) λj V1 +· · ·+Vk Bj
Vj k j=1 Bj V1+· · ·+Vk k j=1 dim Vj = dim V
[α]B V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vk
v1+. . .+vk = 0 vj ∈ Vj vj = 0 j = 1, . . . , k
v1 + · · · + vj = 0
α λ1
α(v1) + · · · + α(vj) − λ1v1 − · · · − λ1vj = 0
⇐⇒ (λ2 − λ1)v2 · · · + (λj − λ1)vj = 0,
Vj = Vj
V F α ∈ End(V )
F
[α]B =
⎛
⎜
⎝
λ1
0 λk
⎞
0
⎟
⎠
λ1, . . . , λk p(t) = k
j=1 (λj − t) v ∈ B α(v) = λlv
l ≤ k (λlι − α)v = 0 p(α)(v) = 0 p(α) 0
B
v ∈ V
p(t) = k
j=1 (λj − t) λ1, . . . , λk
pj(t) = (λ1 − t) · · · (λj−1 − t)(λj+1 − t) · · · (λk − t)
hj(t) = pj(t)
pj(λj)