Linear Algebra - Sebastian Pancratz

A n × n V
n B α ∈ End(V ) [α]B = A
ψ [ψ]B = A C
A 〈, 〉 V B
〈ei, ej〉 = δij C 〈, 〉 P
P −1 = P T P −1 AP = P T AP [α]C = [ψ]C
ψ φ
V
ψ V ψ
φ
A, C ψ, φ
ψ P P T AP = I ψ P T CP
Q QT P T CP Q
QT P T AP Q = QT IQ = I
Q T P T CP Q = D =
⎛
⎜
⎝
d1
0 dn
⎞
0
⎟
⎠ .
d1, . . . , dn D det(C − tA)
det(D − tI)
det(D − tI) = det((P Q) 2 (C − tA)(P Q)) = (det(P Q)) 2 det(C − tA),
det(D − tI) det(C − tA)
V
α ∈ End(V ) α ∗ ∈ End(V ) 〈α(v), w〉 = 〈v, α ∗ (w)〉
w ∈ V φ(w) : V → F, v ↦→ 〈v, w〉 V
¯V → V ∗ , w ↦→ φ(w) ¯ V V λ · v = ¯ λv
V w ′ ∈ V v ↦→ 〈v, w ′ 〉
w ∈ V v ↦→ 〈α(v), w〉 V w ′ = α ∗ (w)
〈α(v), w〉 = 〈v, α ∗ (w)〉 v, w ∈ V α ∗