Linear Algebra - Sebastian Pancratz

= 〈αw, v〉
= 〈v, αw〉
〈v, αw − α ∗∗ w〉 = 0 v ∈ V αw = α ∗∗ w w ∈ V α ∗∗ = α
A n × n
• A A T = A ĀT = A A
• A A T = A −1 ĀT = A −1 A
V R C α ∈ End(V )
• α α = α ∗ 〈αv, w〉 = 〈v, αw〉
v, w ∈ V
• α α ∗ = α −1 〈αv, αw〉 = 〈v, w〉 α
V
• α αα ∗ = α ∗ α
V α ∈ End(V ) B
V α
[α]B
V α ∈
End(V ) α
V α
V C λ ∈ C e ∈ V
α(e) = λe e = 1 W = 〈e〉 ⊥ W α w ∈ W
〈α(w), e〉 = 〈w, α ∗ (e)〉 = 〈w, α(e)〉 = 〈w, λe〉 = λ〈w, e〉 = 0
α(w) ∈ W w ∈ W
〈α(w), e〉 = 〈w, α ∗ (e)〉 = 〈w, α −1 (e)〉 = 〈w, λ −1 e〉 = λ −1 〈w, e〉 = 0
α(w) ∈ W V = 〈e〉 ⊕ W α| W
W e2, . . . , en W
α B = {e1, e2, . . . , en}
α
[α]B = [α] T
B [α]B
[α]B =
⎛
⎜
⎝
λ1
0 λn
⎞
0
⎟
⎠ ,
¯ λj = λj 1 ≤ j ≤ n λj [α−1 ]B = [α] T
B ¯ λj = λ −1
j
1 ≤ j ≤ n |λj| = 1