å utvikle innsikt i samarbeidet mellom forskere

Overgang fra design til implementering av 

matematiske oppgaver i undervisning: 

å utvikle innsikt i samarbeidet mellom 

forskere og lærere 

Claire Vaugelade Berg 

I denne artikkelen presenterer jeg resultater fra forskningsprosjektet Teaching 

Better Mathematics (TBM), som undersøker samarbeidet mellom forskere/ 

didaktikere fra Universitetet i Agder (UiA) og matematikklærere fra barne- og 

ungdomsskoler. Virksomhetsteori anvendes som en teoretisk ramme for å konseptualisere 

prosessene fra didaktikernes presentasjon av en bestemt matematikkoppgave 

til lærernes implementering av samme oppgave i egen matematikkundervisning. 

Spesielt introduseres begrepene «didaktisk mål» og «pedagogisk 

redskap» som sentrale teoretiske redskap til å analysere både 

didaktikernes/lærernes mål og gjennomføring av samarbeid med lærere/ 

undervisning. Jeg betrakter denne forskningen som relevant når det gjelder å 

utvikle en bedre forståelse av prosessene bak samarbeidet mellom didaktikere 

og matematikklærere. I tillegg åpner den for muligheten til å utvikle et kritisk 

perspektiv på egen undervisning og dermed øke lærernes bevisstgjøring rundt 

valg av egne undervisningsstrategier. 

Claire Vaugelade Berg 

Institutt for 

matematiske fag, 

Universitetet i Agder 

Claire.V.Berg@uia.no 

Nøkkelord: design og implementering av matematiske oppgaver, samarbeid 

mellom forskere og lærere, virksomhetsteori, didaktisk mål, pedagogisk 

redskap 

Innledning 

I forskningsprosjektet TBM (Teaching Better Mathematics) er det grunnleggende 

målet å fremme bedre muligheter for elevenes læring i matema- 

Berg, C.V. (2011). Overgang fra design til implementering av matematiske oppgaver i undervisning: 

å utvikle innsikt i samarbeidet mellom forskere og lærere. 

Tidsskriftet FoU i praksis, 5(2), 7–30. 

7

FoU i praksis nr. 2 2011 

tikk i skolen. Dette målet er en respons på signaler fra internasjonale studier 

som PISA og TIMSS, som viser svake resultater for norske elever i matematikk. 

Sentralt i prosjektet står muligheten for lærere og didaktikere 1 til 

sammen å utforske hvordan man kan oppnå dette målet. Å erkjenne hverandres 

kompetanse og ekspertise er grunnleggende (Wagner, 1997), og prosjektets 

filosofi er å skape et spørrende og utforskende fellesskap basert på 

inquiry (Jaworski, 2006). Begrepet inquiry-fellesskap (inquiry community) 

kommer fra Wells (1999) og Jaworski (2006) og er brukt for å understreke 

en undrende, spørrende og undersøkende tilnærming til matematikkfaget. 

Dette gjelder både elevenes og lærernes arbeid med matematiske oppgaver, 

lærernes arbeid med planlegging av og refleksjon over egen undervisning 

og didaktikernes forskning på de to nevnte nivåene. Jeg kommer tilbake til 

dette senere i artikkelen. 

I TBM-prosjektet samarbeider vi med fire barnehager, seks barne- og 

ungdomsskoler og tre videregående skoler. Samarbeidet med lærerne skjer 

gjennom verksteder og skolebesøk. Organiseringen av verkstedene består 

av en plenumspresentasjon etterfulgt av gruppearbeid hvor lærerne jobber 

med kolleger fra samme skoletrinn. I tillegg finnes det en TBM-gruppe som 

består av to til tre lærere på hver skole (Berg, under utgivelse). 

Målet mitt i denne artikkelen er å analysere prosessene bak design og 

implementering av en bestemt oppgave (T-skjorteoppgaven, se Figur 2) for 

å få en dypere forståelse av prosessene bak samarbeidet som er utviklet 

mellom didaktikere fra universitetet og matematikklærere fra barne- og 

ungdomsskolen. Spesielt analyserer jeg hvordan T-skjorteoppgaven ble 

designet av didaktikere ved UiA og implementert i to matematikklæreres 

undervisning. Prosessene bak implementeringen av matematiske oppgaver 

har vært behandlet i forskningslitteraturen. For eksempel rapporterer Stein, 

Smith, Henningsen og Silver (2009) om at det skjer en svekkelse av oppgavenes 

kognitive krav når de implementeres i undervisning. Dette fenomenet 

er også observert av Artigue (1994) som karakteriserer disse forandringene 

som «distortions», og som understreker hvor viktig det er å differensiere 

forskningsaktivitet fra undervisningsaktivitet. I denne artikkelen følger 

jeg i Artigues spor og sikter mot å identifisere forandringene som oppstår 

når T-skjorteoppgaven implementeres både i barne- og ungdomsskolen. 

En mulighet for å konseptualisere disse prosessene er å anvende virksomhetsteori 

og således betrakte gruppen av forskere ved UiA som ett virksomhetssystem, 

mens lærerne ved de forskjellige skolene danner et annet 

virksomhetssystem. Videre beskriver jeg forbindelsen med disse to virksomhetssystemene 

som består av verksteder der lærere og didaktikere 

1 I denne artikkelen bruker jeg «didaktikere» for å referere til forskere fra UiA, siden 

jeg betrakter både didaktikere og lærere som forskere i TBM-prosjektet. 

8

Claire Vaugelade Berg: Overgang fra design til implementering av matematiske oppgaver i undervisning 

møtes regelmessig, og også av skolebesøk. Disse aspektene presenteres i 

detalj senere i artikkelen. 

For å tilpasse teorien til den praktiske læringen og undervisningen av 

matematikk foreslår jeg å videreutvikle og presisere sentrale begreper fra 

virksomhetsteori og innføre begrepene didaktisk mål og pedagogisk redskap. 

I neste avsnitt gir jeg en kort presentasjon av virksomhetsteori. Deretter 

viser jeg hvordan virksomhetsteori presiseres og anvendes i analysen av 

samarbeidet mellom didaktikere og matematikklærere. Mer spesifikt illustreres 

bruken av virksomhetsteori ved å analysere prosessene bak overgangen 

fra design til implementering av en bestemt matematisk oppgave (Tskjorteoppgaven, 

se Figur 2). 

Virksomhetsteori som et redskap for å beskrive utvikling 

og læring 

Den kulturelle historiske virksomhetsteorien (cultural historical activity 

theory, forkortet CHAT) kan sees på som en multidisiplinær teori om menneskelig 

aktivitet. Leont’ev (1989) og Virkkunen og Kuutti (2000) presenterer 

et historisk perspektiv på CHAT, og selv om det er ikke mulig å presentere 

alle aspekter av teorien i denne artikkelen, skal jeg trekke fram hovedideene. 

Leont’ev skriver at 

in a society, humans do not simply find external conditions to which they 

must adapt their activity. Rather these social conditions bear with them 

the motives and goals of their activity, its means and modes. In a word, 

society produces the activity of the individuals it forms. (Leont’ev, 1979, s. 

47–48) 

Dermed står begrepet aktivitet sentralt i virksomhetsteori, og et fundamentalt 

aspekt i teorien er at aktivitet er stimulert av motivet bak den. Dette 

punktet er understreket av Virkkunen og Kuutti (2000) som presenterer og 

utdyper sentrale aspekter av teorien: 

The key element of an activity system is the object of that activity. The 

object is the societal motive of the activity, it defines the activity and separates 

activities from each other. The object can be a material thing, but it 

can also be less tangible (like a plan) or totally intangible (like common 

ideas) as long as it can be shared for manipulation and transformation by 

the participants of the activity. […] The outcome of an activity will become 

a part of another activity system: an object to be further transformed in the 

«value chain», a subject (the outcome of a training activity), a tool, a rule 

9


etc. There is always a network of functionally linked activity systems. 

(Virkkunen & Kuutti, 2000, s. 301) 

Ifølge CHAT er objektet et nøkkelelement i virksomhetssystemet og representerer 

det sosiale motivet for aktivitet. Engeström (1999) videreutviklet 

Vygotskys grunnleggende trekant (subject – object – mediating artifacts) 

ved å vektlegge de sosiale elementene i virksomhetsteori og introdusere 

begrepene regler (rules), fellesskap (community), og arbeidsdeling (division 

of labour). Samtidig understreket han viktigheten av å analysere samspillet 

mellom disse komponentene/dimensjonene. Videre foreslår virksomhetsteorien 

en hierarkisk struktur for aktivitet som beskrives som aktivitet og 

motiv, aksjoner og mål, og operasjoner og betingelser (activity and motive, 

actions and goals, operations and conditions). 

I denne artikkelen betrakter jeg som nevnt ovenfor gruppen av forskere/ 

didaktikere fra UiA som ett virksomhetssystem (activity system), heretter 

kalt virksomhetssystem 1 (V1), og matematikklærere fra enten barne- eller 

ungdomsskole som et annet virksomhetssystem, heretter kalt virksomhetssystem 

2 (V2). Virksomhetsobjektet og resultatet for V1 refererer til verksteder 

som er regelmessig organisert ved UiA, og til matematikkundervisning 

for V2 (se Figur 1). Forbindelsen mellom disse to virksomhetssystemene 

etableres på forskjellige måter. Den etableres først i verkstedene som arrangeres 

regelmessig (2–3 per semester) der lærere og didaktikere får anledning 

til å diskutere et bestemt matematisk emne og jobbe sammen med 

matematiske oppgaver. Målet for verkstedene er å gi en plenumspresentasjon 

av et bestemt matematisk emne (for eksempel algebra, proporsjonalitet, 

geometri eller funksjoner). Deretter jobber didaktikere sammen med 

lærere om oppgaver knyttet til emnet som ble presentert. Denne arbeidsformen 

illustrerer også hva inquiry i matematikk kan bety, siden oppgavene 

som er valgt, skal være inquiry-basert (åpne spørsmål og ikke rutineproblemstillinger, 

se T-skjorteoppgaven). En annen type forbindelse mellom 

de to virksomhetssystemene skjer når didaktikere kommer på besøk til de 

forskjellige lærerne for å studere eventuelle forandringer i lærernes praksis. 

Slik er det mulig å studere og analysere prosessene bak samarbeidet mellom 

disse to virksomhetssystemene. Jeg fokuserer spesielt på hvordan «[t]he 

outcome of an activity will become a part of another activity system» (Virkkunen 

& Kuutti, 2000, s. 301). Med andre ord undersøker jeg hvordan en 

bestemt matematisk oppgave, som er en del av resultatet av aktiviteten fra 

V1, integreres i V2 og blir til resultatet i dette virksomhetssystemet i form 

av lærernes undervisning. Dermed er det mulig å studere prosessene bak 

implementeringen av oppgaven. Resultatene fra analysen presenteres 

senere i artikkelen. 

10


Figur 1: Sentrale begreper fra virksomhetsteori i relasjon til TBM-prosjektet 

(videreutviklet fra Jaworski, 2007) 

Å anvende virksomhetsteori muliggjør en studie av de forskjellige faktorene 

som påvirker resultatet (outcome), og relasjonene mellom disse faktorene, 

som for eksempel hvilke fellesskap man fokuserer på, hva slags 

arbeidsfordeling man har innenfor fellesskapet, og hvilke regler som gjelder. 

Som presentert ovenfor er sentrale begreper innenfor CHAT (aktivitet, 

aksjoner og operasjoner) organisert i en hierarkisk struktur. Hvis vi først 

ser på V1, forstår jeg motivet bak aktiviteten vår som å fremme bedre 

muligheter for elevenes læring i matematikk i skolen ved å danne inquiryfellesskap 

i matematikk der samarbeidet mellom lærere i skolen og didaktikere 

ved universitetet står sentralt. I tillegg ønsker vi å utforske muligheter 

for å utvikle matematikkundervisningen i skolen. Som didaktikere består 

våre aksjoner blant annet i å organisere verksteder hvor vi møtes sammen 

med lærerne, å utvikle matematiske oppgaver som brukes i deler av verkstedene, 

og å organisere og gjennomføre skolebesøk. Når det gjelder begrepet 

operasjon, relateres det til det praktiske arbeidet, som å lete etter relevante 

oppgaver for verkstedene og studere forskningslitteratur. Når det 

gjelder V2, forstår jeg motivet bak lærernes aktivitet som å tilrettelegge 

matematikkundervisning best mulig slik at elevene får mulighet til å 

utvikle en dyp og meningsfylt forståelse av matematikkfaget. Med andre 

ord skal elevene ikke bare kunne memorere algoritmer, men det skal også 

legges til rette for at de kan utvikle en relasjonell forståelse av matematiske 

begreper (Skemp, 1976). Videre består læreres aksjoner i den praktiske 

planleggingen og gjennomføringen av undervisningen. Operasjonene relateres 

til den detaljerte tilpasningen av undervisningsopplegg for lærernes 

respektive klasser. 

Som et forsøk på å videreutvikle begrepene fra virksomhetsteori slik at 

de kan anvendes innenfor matematikkdidaktikk, foreslår jeg som sagt å 

innføre begrepene didaktisk mål og pedagogisk redskap som sentrale teoretiske 

redskaper for å analysere både didaktikernes og lærernes for- og etterarbeid 

til verksted eller undervisning. Disse begrepene ble utviklet i forbin- 

11


delse med mitt doktorgradsarbeid (Berg, 2009), og jeg vil hevde at de er 

relevante for å øke bevisstheten rundt didaktikernes og lærernes planlegging 

og evaluering av egen virksomhet/undervisning. Didaktisk mål refererer 

til valget av et bestemt emne eller tema innenfor matematikk, som for 

eksempel symmetri, algebra, proporsjonalitet eller kommunikasjon i matematikklasserommet. 

Begrepet kan relateres til begreper fra virksomhetsteori 

på følgende vis: Målet for våre aksjoner som didaktikere eller lærere er 

et bestemt didaktisk mål. På tilsvarende måte refererer begrepet pedagogisk 

redskap til en bestemt oppgave eller et bestemt opplegg som er valgt og 

brukt av didaktikere eller lærere som et redskap for å nå det valgte didaktiske 

målet (Berg, s. 102–103). Her betrakter jeg didaktisk mål som et teoretisk 

begrep som hjelper meg å uttrykke sentrale momenter i planleggingen 

og gjennomføringen av samarbeidet mellom didaktikere og lærere i verkstedene, 

eller mellom lærere og elever i selve undervisningen. På samme 

måte bruker jeg pedagogisk redskap som et teoretisk begrep som hjelper meg 

å uttrykke prosessene bak valg, forandring og tilpasning av en bestemt oppgave. 

Tabell 1 viser hvordan disse to begrepene anvendes i tilknytning til V1 

og V2. 

Tabell 1: Videreutvikling av begrepene fra virksomhetsteori for anvendelse 

innenfor matematikkdidaktikk 

Aktivitet og motiv 

V1: 

Motiv: å fremme 

bedre muligheter for 

elevenes læring av 

matematikk i skolen 

V2: 

Motiv: å tilrettelegge 

matematikkundervisning 

best mulig slik at 

elevene får mulighet 

til å utvikle en dyp og 

meningsfylt forståelse 

av matematikkfaget 

(relasjonell forståelse) 

Aksjoner og 

didaktisk mål 

Forberedelse og gjennomføring 

av verksted 

med valgte didaktiske 

mål og av skolebesøk 

Planlegging og gjennomføring 

av matematikkundervisning 

med valgte didaktiske 

mål på bakgrunn av 

ideer og oppgaver presentert 

under verksteder 

Operasjoner og 

betingelser: 

Utvikling av pedagogisk 

redskap 

Se etter mulige oppgaver 

for de forskjellige 

gruppene i verksteder, 

studere relevant forskningslitteratur 

Forandre og tilpasse 

ideer og oppgaver til 

den respektive klasse 

i henhold til valgte 

didaktiske mål 

Videre introduseres begrepet «matematisk miljø», som defineres slik: «[B]y 

presenting a particular task within a specific social setting, a didactician 

12


creates a mathematical environment whose characteristics depends both on 

the mathematical task and on the social setting» (Berg, 2009, s. 103). I 

denne artikkelen presenterer jeg tre forskjellige matematiske miljøer 

(mathematical environments) som et redskap for å eksemplifisere hvordan 

«[t]he outcome of an activity will become a part of another activity system: 

an object to be further transformed in the ‘value chain’» (Virkkunen & 

Kuutti, 2000, s. 301). I dette tilfellet refererer «an object» til en bestemt 

matematisk oppgave (T-skjorteoppgaven). Det første matematiske miljøet 

knyttes til et bestemt verksted der T-skjorteoppgaven ble presentert av 

didaktikerne, mens de to andre miljøene relateres til hvordan oppgaven ble 

implementert i to forskjellige klasser, en i barneskolen og en i ungdomsskolen. 

Dermed betraktes T-skjorteoppgaven som en del av resultatet (outcome) 

fra V1 som deretter blir integrert i V2. 

Bakgrunnen for at jeg har valgt å fokusere på dette verkstedet og presentere 

denne oppgaven, er denne: I desember 2008 ble jeg kontaktet av en 

lærer fra en barneskole som inviterte meg til å følge henne i klasserommet, 

hvor hun planla å implementere en oppgave som var presentert i løpet av 

forrige verksted (3. desember 2008). I mai 2009 ble jeg kontaktet av en lærer 

fra en ungdomsskole som også inviterte meg til å følge hans undervisning 

hvor han planla å implementere en oppgave fra et tidligere verksted. Det 

viste seg at begge lærerne var inspirert av samme oppgave (T-skjorteoppgaven), 

og dette ga meg en anledning til å fokusere på denne oppgaven i min 

forskning. Dette medførte at jeg gikk tilbake til måten den ble presentert på 

i verkstedet, og til hvordan organiseringen av verkstedet ble planlagt (TBMmøte, 

26. november 2008). 

Metodologi 

Innsamlingen av data for forskningen som presenteres her, ble gjort som en 

del av datainnsamlingen for TBM-prosjektet. Dataene består av enten 

lydbånd (TBM-møter) eller videoopptak (verksteder og klasseromsobservasjoner). 

Siden vi samler data fra samtlige møter, verksteder og klasseromsobservasjoner, 

er det mulig for meg å finne tilbake til dataene fra presentasjonen 

av T-skjorteoppgaven i det aktuelle verkstedet i desember 2008 

og deretter gå tilbake til forberedelsesmøtet for verkstedet (TBM-møte i 

november 2008). Fra et metodologisk perspektiv følger TBM-prosjektet 

utviklingsforskningsparadigmet (developmental research paradigm), hvor 

utviklingssyklusen og forskningssyklusen står i en dialektisk relasjon. Hovedideen 

i denne tilnærmingsmåten til forskning finnes i Gravemeijer (1994) 

og Goodchild (2008). Utviklingsforskningssyklusen beskrives som: 

13


Theory and evidence from prior research leads to an envisaging of development, 

this leads to actions which are evaluated and feed back into a new 

cycle of envisaging and action. (Goodchild, 2008, s. 208) 

Innenfor utviklingssyklusen finnes det en syklisk prosess mellom tankeeksperiment 

(thought experiment) og praktisk eksperiment (practical experiment). 

Jeg forstår begrepet tankeeksperiment som knyttet både til didaktikernes 

planlegging av verkstedene og til lærernes planlegging av egen 

undervisning. Praktisk eksperiment refererer på sin side til den konkrete 

gjennomføringen av enten didaktikernes verksteder eller lærernes undervisning. 

Dermed er det mulig å betrakte verkstedene og læreres undervisning 

som resultater («outcomes») av V1 eller V2. Disse begrepene – tankeeksperiment 

og praktisk eksperiment – eksemplifiseres senere i artikkelen. 

Tilsvarende finnes det innenfor forskningssyklusen en syklisk prosess 

mellom globale teorier og lokale teorier. Dette medfører at 

global theory is concretized in local theories. Vice versa, the more general 

theory can be reconstructed by analysing local theories. (Gravemeijer, 

1994, s. 451) 

I TBM-prosjektet svarer globale teorier til virksomhetsteori. Ved å stille 

spørsmål om hvordan sentrale begreper i teorien kan anvendes og forstås i 

vår forskning, starter prosessen med å utvikle lokale teorier. Dette illustreres 

ved at begrepene aksjoner og mål fra virksomhetsteori (global theory), 

som i vårt tilfelle betyr didaktikernes og lærernes aksjoner i relasjon til 

læring og undervisning av matematikk, videreutvikles og spesifiseres ved å 

bruke didaktiske mål. På samme måte betrakter jeg begrepene operasjoner 

og betingelser i denne spesifikke konteksten som didaktikernes og lærernes 

utvikling av pedagogiske redskaper og hvilke betingelser disse er utviklet 

under. 

Det første matematiske miljøet: Verksted fra 3. 

desember 2008 

Tema for verkstedet som ble organisert i desember 2008, var «kommunikasjon 

i matematikk». Dette temaet ble valgt blant andre forslag sendt til oss 

didaktikere fra lærerne i prosjektskolene. Som et ledd i forberedelsen til 

verkstedet hadde vi et møte (TBM-møte, 26. november 2008) hvor vi diskuterte 

hvordan vi kunne organisere et verksted med fokus på kommunikasjon. 

Blant annet diskuterte vi hvordan vi kunne stimulere lærere til å bli 

engasjert i dette temaet, og jeg betrakter disse møtene som en del av tankeeksperimentet 

vårt i forbindelse med planleggingen av neste verksted. I 

14


løpet av møtet ble vi enige om at det kunne være en fordel å kontekstualisere 

diskusjonen rundt kommunikasjon ved å knytte den til en bestemt oppgave. 

I tillegg bemerket en didaktiker at 

når det gjelder kommunikasjon i matematikk, er det å spørre en langt mer 

effektiv måte å kommunisere på enn å fortelle. […] Elevene må ta ansvaret 

for å utforske, dvs. å spørre andre elever eller læreren. Hjørnesteinen i 

kommunikasjon i matematikk er å stille spørsmål. (Didaktiker1, TBMmøte 

26. november 2008, oversatt fra engelsk av forfatteren) 

Vi ble enige om å introdusere «kommunikasjon i matematikk» i tilknytning 

til hvordan man stiller spørsmål ut ifra et inquiry-perspektiv (Jaworski, 

2006; Wells, 1999). 

Det praktiske eksperimentet ble gjennomført i løpet av verkstedet (3. 

desember 2008) hvis tittel var Å stille gode spørsmål i matematikk. I løpet av 

presentasjonen snakket vi om hva inquiry i matematikk kan bety, om 

inquiry som en holdning til matematikken og til undervisning i matematikk, 

og om hvordan vi kan stille «gode» spørsmål. I tillegg diskuterte vi følgende 

spørsmål: Kan vi lære mer om hvordan man kan formulere spørsmål 

som stimulerer elevene Etter plenumspresentasjonen ble deltagerne 

inndelt i forskjellige grupper ut ifra hvilket nivå de underviser på, og de ble 

invitert til å jobbe med T-skjorteoppgaven (se Figur 2). Konteksten rundt T- 

skjorteoppgaven er en telefonsamtale hvor en person forklarer til en annen 

person logoen som skal reproduseres til en T-skjorte. Det er kun mulig å 

kommunisere via telefon, og dermed gjelder det å gi en best mulig beskrivelse 

av logoen til den andre personen. 

Felles for gruppene var at det ble diskutert hvordan figuren kunne analyseres 

(kvadrat, sirkel, trekanter), og om det kunne være en fin strategi å gi 

den andre personen i telefonsamtalen en første oversikt over logoen, og deretter 

gå mer inn i detaljene. I tillegg diskuterte gruppene måten logoen er 

presentert på, og spesielt at selve logoen er tegnet med et rutenett i bakgrunnen. 

Flere lærere nevnte muligheten til å bruke rutenett eller introdusere et 

koordinatsystem som et redskap for å kunne angi en nøyaktig beskrivelse av 

logoen. Fra gruppediskusjonen er det mulig å se hvordan lærerne undersøkte 

oppgaven ut ifra en inquiry-tilnærming til matematikk. Med andre 

ord diskuterte lærerne flere forslag om hvilke muligheter elever hadde for å 

jobbe med oppgaven; forskjellige måter å starte beskrivelsen av logoen, 

bruk av rutenett eller ikke, innføring av koordinatsystem, muligheter for å 

forandre oppgaven ved å gjøre den lettere eller vanskeligere. Dermed ser jeg 

på lærernes diskusjon som en del av deres tankeeksperiment i forbindelse 

med en eventuell implementering av T-skjorteoppgaven i deres undervisning. 

15


Figur 2: T-skjorteoppgaven 

Ser man tilbake på prosessen bak designet av T-skjorteoppgaven og presentasjonen 

i løpet av verkstedet i desember 2008, kan sentrale elementer 

beskrives ut ifra et spesielt fokus på «kommunikasjon i matematikkundervisning» 

(TBM-møte, 26. november 2008). Tilsvarende under verkstedet 

(3. desember 2008), som jeg betrakter som det første matematiske miljøet, 

var fokus på «kommunikasjon og å stille gode spørsmål i matematikk». I 

tillegg var T-skjorteoppgaven valgt som et relevant eksempel for å kunne 

sette diskusjonene i gruppene inn i en sammenheng. Ved å bruke to av 

begrepene som ble introdusert tidligere, vil jeg hevde at vi i løpet av 

designprosessen hadde «kommunikasjon i matematikk» som didaktisk 

mål, og at T-skjorteoppgaven ble brukt som pedagogisk redskap til å oppfylle 

vårt didaktiske mål (se Tabell 2). 

16


Tabell 2: Sentrale elementer fra tankeeksperiment og praktisk eksperiment 

(outcome) for V1 

V1: Tankeeksperiment 

(Didaktikere/forskere 

ved UiA) 

Forbindelse mellom V1 

og V2: Praktisk eksperiment 


ved UiA sammen med 

lærere) 

Aksjoner og mål: 

utvikling av didaktisk 

mål 

TBM-møtet (planlegging 

av verksted): 

Didaktisk mål: kommunikasjon 

i matematikk 

Det første matematiske 

miljøet (Verkstedet, 

desember 

2008): 

Tittelen «å stille gode 

spørsmål i matematikk» 


i matematikk 


betingelser: 


redskap 


av verksted): 

Diskusjon og evaluering 

av T-skjorteoppgaven 

som pedagogisk 

redskap for å kontekstualisere 

det valgte 

didaktiske mål. 

Bruk av koordinatsystem 

er et av flere aspekter 

ved oppgaven. 


miljøet 

Verkstedet, desember 

2008: Praktisk organisering 

med forberedelse 

til plenumspresentasjonen 

og gruppeinndeling. 

Presentasjon av T- 

skjorteoppgaven der 

koordinatsystem er en 

av flere aspekter ved 

oppgaven. 

De to andre matematiske miljøene: Implementering 

i barneskole (11. desember 2008) og ungdomsskole 

(5. mai 2009) 

I denne seksjonen presenterer jeg resultater fra analysen av måten T-skjorteoppgaven 

ble implementert på i to forskjellige klasser, først i en sjette 

klasse og deretter i en åttende klasse. I tillegg til klasseromsobservasjoner 

hadde jeg anledning til å intervjue begge lærerne både før og etter undervisningen. 

I første avsnitt presenterer jeg hvordan læreren fra barnetrinnet 

implementerte T-skjorteoppgaven. I andre avsnitt ser jeg på implementeringen 

på ungdomstrinnet. 

17


Med Kari i sjette klasse 

I desember 2008 fikk jeg muligheten til å besøke Karis klasse for å studere 

måten hun tilpasset T-skjorteoppgaven til sin klasse. I intervjuet før undervisningen 

forklarte Kari følgende: 

Ja, den [oppgaven] fanget meg, og så, når jeg begynte å tenke på at dette 

kunne være koordinatsystemet, så, så tenkte jeg at dette er en oppgave som 

jeg skal bruke. Fordi, da har vi gått inn og så har vi jobba litt med koordinatsystemet. 

[…] Jeg knytter det til min undervisning, så jeg har knyttet 

det opp mot det som ligger på dette trinnet. […] Elevene får bruke sitt 

matematiske språk. De kan snakke om, he, vi kan snakke om sirkler, vi kan 

snakke om trekanter, vi kan snakke om en del, en del begreper som jeg har 

lyst til at de skal ha. (Intervju med Kari, 11. desember 2008) 

Ut ifra Karis utsagn ser det ut til at hun valgte T-skjorteoppgaven først og 

fremst fordi hun så muligheten til å relatere oppgaven til sin undervisning, 

og mer spesielt til undervisningen om koordinatsystem. Dette er et tema 

elevene hadde jobbet med tidligere, slik at Kari betraktet T-skjorteoppgaven 

som en anledning for elevene til å utdype forståelsen av de forskjellige 

aspektene ved bruk av koordinatsystem. Dermed gir hun innsyn i sitt tankeeksperiment 

i implementeringen av T- skjorteoppgaven. I tillegg nevner 

hun muligheten for elevene til å bruke riktig matematisk terminologi når de 

skal beskrive logoen. 

Ved å observere undervisningen i klasserommet var det mulig å følge 

hvordan Kari hadde modifisert oppgaven slik at den kunne tilpasses hennes 

klasse. Hun startet timen med å presentere en oversikt over hovedpunkter 

ved bruk av koordinatsystem, blant annet definisjon av origo og hvordan 

man bruker koordinatene til et punkt for å gi en entydig plassering av 

punktet i planet. Før timen hadde Kari laget en enklere versjon av logoen 

(med punktene på den positive x-aksen, se Figur 3) som hun introduserte 

etter repetisjonen. På den måten er det mulig å gjenfinne noen elementer 

fra gruppearbeidsdiskusjonen i Karis tankeeksperiment; logoens kompleksitet 

og muligheten for å forenkle den ble diskutert i verkstedet. I det praktiske 

eksperimentet bad hun elevene om å sitte parvis, der én av elevene 

hadde logoen og skulle simulere en telefonsamtale med den andre eleven, 

som satt rett foran den første. Etter at elevene fikk tid til å øve seg med forskjellige 

logoer, introduserte Kari T-skjortelogoen til hele klassen ved å 

simulere en telefonsamtale med samtlige elever. 

Videre observerte jeg hvordan en gruppe elever jobbet med den enklere 

logoen (Figur 3). Den første eleven (Ivar) var i stand til å bruke koordinatsystemet 

til å angi plasseringen av de forskjellige punktene i logoen. Problemer 

oppstod da den andre eleven (Dag) skulle forbinde punktene. Analysen 

av videoopptakene viser at Ivar prøvde å peke på Dags figur for å vise 

18


hvordan han skulle forbinde de forskjellige punktene. Da Kari oppdaget 

dette, understreket hun at konteksten for oppgaven var en telefonsamtale, 

og at det derfor ikke var mulig å peke på den andres figur. Dermed var Ivar 

nødt til å referere til punktene ved hjelp av deres koordinater. Dette problemet 

ble tatt opp under intervjuet etter undervisningen: 

Jeg var imponert over det de holdt på med i begynnelsen, det var jeg veldig 

imponert over. Jeg synes de var veldig flinke, flinke og stødige på koordinatsystemet. 

Det hadde jeg ikke trodd skulle gå. Jeg var redd det ikke skulle 

gå så lett. […] Hvis jeg skulle gjøre det om igjen, akkurat den [oppgaven], 

så ville jeg nok ha stilt dem opp så de ikke kunne se på hverandre. For det 

var jo det jeg sa, hva kan du si gjennom telefonen, jeg stilte dem spørsmål 

på det. Gjennom telefon, kan du si streken skal gå ned der For det kan du 

ikke, for da må de også inn og bruke koordinatene. (Intervju med Kari, 11. 

desember 2008) 

Jeg vurderer Karis refleksjoner etter undervisningen som en illustrasjon av 

utviklingssyklusen, hvor hun ser tilbake på hvilke tanker hun hadde for 

undervisningsperioden (tankeeksperiment), og sammenligner disse med 

hva som skjedde i timen (praktisk eksperiment). Fra hennes perspektiv ble 

elevene engasjert i oppgaven og var i stand til å bruke koordinatsystemet for 

å reprodusere forskjellige figurer. I siste delen av sitt utsagn tar Kari 

utgangspunkt i sin erfaring for å se hvordan opplegget kunne forandres og 

forbedres om det skulle brukes en gang til. Spesielt refererer hun til hvordan 

elevene satt, og at den ene hadde mulighet til å hjelpe den andre med å peke 

på elevens tegning. Dette medførte at konteksten for oppgaven – telefonsamtalen 

– ble forandret. Jeg betrakter hennes refleksjoner som en illustrasjon 

av det sykliske aspektet i utviklingssyklusen, hvor erfaring fra praktisk 

eksperiment brukes i planlegging og videreutvikling av framtidig undervisning 

(Berg, under utgivelse). 

Min forståelse av måten Kari implementerte T-skjorteoppgaven på, er 

denne: Etter at denne oppgaven ble presentert på verkstedet den 3. desember, 

valgte Kari å forandre, forenkle og tilpasse den siden hun så muligheter 

for å knytte oppgaven til sin aktuelle undervisning og spesielt til bruk av 

koordinatsystem. Fra hennes utsagn ser det ut til at hun allerede hadde 

introdusert koordinatsystem i sin klasse, og dermed så hun en anledning til 

å utdype elevenes forståelse av dette emnet ved å implementere T-skjorteoppgaven. 

Ved å observere Karis undervisning fikk jeg også mulighet til å 

studere hvordan hun først ga en repetisjon av hovedaspekter ved bruk av 

koordinatsystem, og deretter introduserte den modifiserte versjonen av T- 

skjorteoppgaven (se Figur 3). 

19


Figur 3: Presentasjon av en enklere versjon av T-skjortelogoen i Karis 

klasse 

Derfor er min tolkning av hennes refleksjoner før undervisningen og 

måten hun gjennomførte undervisningen på, at hun valgte «bruk av koordinatsystem» 

som sitt didaktiske mål, og introduserte den modifiserte versjonen 

av T-skjorteoppgaven som sitt pedagogiske redskap. Samtidig viser 

analysen av klasseromsobservasjoner at det matematiske miljøet som Kari 

skapte – ved først å repetere sentrale aspekter av koordinatsystem og deretter 

presentere enklere versjoner av T-skjortelogoen – ga henne muligheten 

til å diskutere hvordan man kommuniserer i matematikk. Spesielt gjaldt 

dette begrensninger når det gjaldt å peke (gestures). Når det gjelder Karis 

operasjoner, henviser dette begrepet til hennes forarbeid, det vil si hennes 

måte å planlegge, utarbeide og presentere enklere versjoner av logoen på. 

Jeg ser Karis modifiserte T-skjorteoppgave som et pedagogisk redskap som 

hun utviklet for å kunne adressere sitt didaktiske mål (se Tabell 3). I tillegg 

kunne hun legge vekt på kommunikasjon i matematikk ved å påpeke 

20


begrensningene som oppgavens kontekst – telefonsamtalen – medførte, 

blant annet umuligheten av å bruke håndbevegelser (Berg, under utgivelse). 

Tabell 3: Sentrale elementer fra det andre matematiske miljøet: Karis 

didaktiske mål og pedagogiske redskap 

Praktisk eksperiment: 

Det andre matematiske 

miljøet, Karis 

undervisning med 

implementering av T- 

skjorteoppgaven 

Aksjoner og didaktisk 


Gjennomføring av 

undervisning 

Didaktisk mål: bruk av 

koordinatsystem 


betingelser: 


redskap 

Tilpasse og forenkle T- 

skjorteoppgaven ved 

å lage en enklere versjon 

av oppgaven med 

fokus på bruk av koordinatsystem. 

Organisering av elevene 

i grupper på to for 

å simulere en telefonsamtale. 

Mulighet for Kari til 

å diskutere kommunikasjon 

i matematikk 

siden noen elever bruker 

håndbevegelser. 

Med Rikard i åttende klasse 

I mai 2009 fikk jeg anledning til å besøke Rikards klasse og observere 

hvordan han implementerte T-skjorteoppgaven. I tillegg intervjuet jeg ham 

både før og etter undervisningen. I intervjuet før undervisningen startet, 

understreket Rikard følgende: 

Fra Kunnskapsløftet så er det først og fremst de to momentene som jeg 

kommer til å prøve å ha som mål for timen, det er det å bruke koordinatsystemet. 

Det andre er jo dette som går mot funksjoner da. […] Og du kan 

si at det som jeg ønsker å få fram, det er kommunikasjon, for jeg vil at 

elevene skal bli litt, kan du si, få en forståelse for åssen du kommuniserer i 

matematikk, åssen du bruker språket. […] Hva skjer med kommunikasjon 

når du har uten, og med koordinatsystem (Intervju med Rikard, 5. mai 

2009) 

21


Ut ifra Rikards utsagn ser det ut til at han valgte T-skjorteoppgaven fordi 

han så muligheten til å knytte oppgaven til retningslinjene fra Kunnskapsløftet, 

og spesielt til bruken av koordinatsystem og til introduksjonen av 

funksjonsbegrepet. Det faktum at han ventet til begynnelsen av mai for å 

invitere meg til å observere hvordan han implementerte oppgaven, understreker 

etter min mening at han ville knytte den til sin undervisning av 

koordinatsystem og funksjoner. I tillegg ser det ut til at Rikard planla å legge 

vekt på hvordan man kommuniserer i matematikk. Disse aspektene gir 

innsyn i hans tankeeksperiment når det gjelder implementering av T-skjorteoppgaven. 

Det var det første aspektet – bruken av koordinatsystem – som Rikard 

valgte å fokusere på da jeg observerte i hans klasse. Før timen hadde Rikard 

laget to forskjellige versjoner av T-skjortelogoen: Den ene versjonen var 

presentert med rutenett i bakgrunnen (Rikard hadde lagt inn tall på rutenettet 

slik at det kunne fungere som et koordinatsystem), mens den andre 

versjonen var uten rutenett. Som i Karis tilfelle hevder jeg at det er mulig å 

gjenfinne elementer i hans tankeeksperiment fra gruppearbeidsdiskusjonen 

som fant sted i verkstedet, og som blant annet dreide seg om fordeler 

med å innføre et koordinatsystem som bakgrunn for logoen. Undervisningen 

ble organisert på følgende vis: Rikard hadde en dobbelttime til disposisjon, 

og han delte undervisningen i to deler. I den første delen presenterte 

han først en repetisjon av hovedaspekter ved bruk av koordinatsystem, og 

spesielt gjentok han at ethvert punkt i planet har to koordinater, og at det 

første refererer til x-aksen, mens det andre refererer til y-aksen. Deretter 

bad Rikard en elev om å forklare T-skjortelogoen uten koordinatsystem til 

en annen elev som satt bak en skjerm, og som dermed ikke kunne se logoen. 

I den andre delen gjentok Rikard det samme opplegget med to andre elever, 

denne gangen med logoen tegnet med koordinatsystem i bakgrunnen. Før 

timen forklarte Rikard at målet ved å presentere disse to versjonene av T- 

skjorteoppgaven var å fokusere på hvor nyttig et koordinatsystem er når 

man skal beskrive en figur eller en logo til en annen person. 

Fra klasseromsobservasjoner var det mulig å studere hvordan elevene 

løste problemene. I det første tilfellet, der logoen ble presentert uten koordinatsystem, 

strevde eleven med å forklare til den andre eleven hvordan 

figuren var bygget opp, og spesielt sirkelens plassering i forhold til trekantene. 

Elevens tegning vitner om store problemer med å tegne en nøyaktig 

representasjon av logoen (se Figur 4). I den andre del av timen var det 

derimot mulig å observere at den andre eleven klarte å gjengi en mer nøyaktig 

beskrivelse av logoen (se Figur 5). 

22


Figur 4: Elevenes tegning av T- 

skjortelogoen uten koordinatsystem 

Figur 5: Elevenes tegning av T- 

skjortelogoen med koordinatsystem 

Analysen av observasjonene viser at eleven brukte koordinatsystemet som 

Rikard hadde satt inn, til å beskrive posisjonen både av sirkelen og trekantene. 

I løpet av hele undervisningsperioden satt resten av klassen og fulgte 

med i de to elevenes dialog. Etter undervisningen fikk jeg muligheten til å 

intervjue Rikard. Han påpekte følgende: 

Jeg oppfatter jo at det er en del, de er veldig usikre i de geometriske begrepene, 

det er tydelig at der var det jo noe surr ute og går. Han hadde veldig 

problemer med å definere [figuren], kan du si hvor midten er, sa hun, i 

stedet for sentrum, og, ikke sant, hvis han bare hadde sagt radiusen er det 

og det, så hadde problemet vært løst, men han gjorde det ikke. Jeg tror faktisk, 

det som jeg følte var mest vellykket, det var jo det at jeg tror de begynner 

å bli ganske sikre på koordinatsystemet, at de glemte vekk det der hvem 

som skulle være først [x-aksen] og sist [y-aksen], nå lå det litt mer i blodet, 

ja, veldig i forhold til forrige time, for de brukte det jo helt konsekvent. 

På samme måte som i Karis tilfelle ser jeg på Rikards refleksjoner etter 

undervisning som en illustrasjon av utviklingssyklusen der han ser tilbake 

på hvilke tanker han hadde for undervisningsperioden (tankeeksperiment), 

og sammenligner disse med hva som skjedde i timen (praktisk eksperiment). 

Fra hans perspektiv ser det ut til at elevene ble engasjert i oppgaven 

og var i stand til å bruke koordinatsystem uten store vanskeligheter. Rikard 

nevnte spesielt at elevene så ut til å takle problemet knyttet til hvilken koordinat 

som refererer til hvilken akse. Samtidig kommer det tydelig fram fra 

Rikards utsagn at elevene var usikre på en del geometriske begreper, og at 

23


denne usikkerheten medførte problemer når de skulle forklare figuren til 

andre. I motsetning til Kari gir imidlertid ikke Rikard uttrykk for hvordan 

han ville ha forandret oppgaven om den skulle brukes en gang til. Jeg forstår 

hans utsagn som en sammenligning av hva han hadde tenkt på forhånd 

(tankeeksperiment), og hva som faktisk skjedde i timen (praktisk eksperiment), 

og dermed illustrerer begge intervjuene med Rikard den sykliske 

egenskapen ved utviklingsforskningssyklusen. 

Min forståelse av måten Rikard implementerte T-skjorteoppgaven på, er 

denne: Etter at denne oppgaven ble presentert på verkstedet den 3. desember, 

valgte Rikard å vente helt til mai med å implementere oppgaven i sin 

undervisning, slik at han kunne knytte den til bruken av koordinatsystem 

og funksjoner. Videre valgte Rikard å forandre og tilpasse oppgaven fordi 

han så muligheter til å dekke emner fra Kunnskapsløftet, spesielt koordinatsystem 

og funksjoner. Derfor er min tolkning av hans refleksjoner før 

undervisning og måten han gjennomførte undervisningen på, at han valgte 

«bruk av koordinatsystem» som sitt didaktiske mål, og at han brukte de to 

modifiserte versjonene av T-skjorteoppgaven som sitt pedagogiske redskap. 

Videre fikk jeg gjennom klasseromsobservasjon anledning til å studere 

hvordan Rikard adresserte bruken av koordinatsystemet. Samtidig viser 

analysen av klasseromsobservasjonene at det matematiske miljøet som 

Rikard skapte ved å presentere to alternativer av logoen (med eller uten 

koordinatsystem), ga ham muligheten til å diskutere måten man kommuniserer 

på i matematikk gjennom elevenes upresise bruk av matematiske 

begreper. Her ser det ut til at Rikard valgte å legge mer vekt på dette aspektet 

enn Kari siden resten av klassen ble invitert til å følge med de to elevenes 

forsøk på å beskrive logoen. Når det gjelder Rikards operasjoner, henviser 

dette begrepet til hans forarbeid, det vil si hans måte å planlegge to forskjellige 

logoer på, den ene med koordinatsystem, den andre uten. Jeg ser på 

Rikards modifiserte T-skjorteoppgave som et pedagogisk redskap som han 

utviklet for å kunne adressere sitt didaktiske mål (se Tabell 4). I tillegg 

kunne han legge vekt på hvor effektiv kommunikasjon i matematikk kan 

være ved å sammenligne hvordan elevene jobbet med de to forskjellige 

logoene. 

24


Tabell 4: Sentrale elementer fra det tredje matematiske miljøet: Rikards 

didaktiske mål og pedagogiske redskap 

Praktisk eksperiment: 

Det tredje matematiske 

miljøet: Rikards 

implementering av T- 

skjorteoppgaven 

Aksjoner og didaktisk 


Gjennomføring av 

undervisning 

Didaktisk mål: bruk 

av koordinatsystem 


betingelser: 


redskap 

Tilpasse og forandre T- 

skjorteoppgaven ved 

å lage to forskjellige 

versjoner av oppgaven 

(en med og en uten 

koordinatsystem). 

Organisering av klassen, 

to elever jobber 

med beskrivelsen av 

logoen, resten av klassen 

følger med i diskusjonen. 

Mulighet for Rikard til 


i matematikk 

siden noen elever er 

upresise i bruk av matematiske 

begreper. 

Diskusjon og konklusjon 

I dette avsnittet ser jeg først tilbake på organiseringen av det første matematiske 

miljøet (verkstedet i desember 2008) sammenlignet med organiseringen 

av de andre matematiske miljøene på barneskole og ungdomsskole, og 

jeg velger å fokusere på valgte didaktiske mål og pedagogiske redskap. Deretter 

går jeg tilbake til bruken av virksomhetsteori som en teoretisk ramme 

for å konseptualisere prosessene bak samarbeidet mellom didaktikere og 

lærere. Til slutt vil jeg oppsummere hvordan jeg videreutviklet sentrale 

begreper for å tilpasse teorien til den spesifikke konteksten som læring og 

undervisning i matematikk tilbyr. 

Ved å sammenligne resultater fra analysen av hvordan T-skjorteoppgaven 

ble designet av didaktikerne, og hvordan den ble implementert både i 

barne- og ungdomsskolen, er det mulig å observere en ombytting mellom 

didaktisk mål og en av egenskapene ved det valgte pedagogiske redskapet 

når man sammenligner disse to matematiske miljøene (se Tabell 5). Hvis vi 

ser på kjennetegnene ved det første matematiske miljøet, er didaktisk mål 

25


«kommunikasjon i matematikk», mens «bruk av koordinatsystem» er ett av 

mange aspekter ved det valgte pedagogiske redskapet – som i dette tilfellet 

er T-skjorteoppgaven. Hvis vi derimot ser på det andre og tredje matematiske 

miljøet, er didaktisk mål «bruk av koordinatsystem», og «kommunikasjon 

i matematikk» er blitt et av aspektene ved det valgte pedagogisk redskapet 

(T-skjorteoppgaven). Dermed ser vi at T-skjorteoppgaven er blitt 

brukt som pedagogisk redskap både i det første, i det andre og i det tredje 

matematiske miljøet. Det vesentlige er grunnen (didaktisk mål) til at oppgaven 

ble valgt. Det medfører at den samme oppgaven er blitt satt i to forskjellige 

kontekster, den ene er kommunikasjon i matematikk, den andre er bruk 

av koordinatsystem. 

Tabell 5: Sammenligning av didaktisk mål og pedagogisk redskap i de tre 

matematiske miljøene 

Aktivitet og motiv 


miljøet: 


ved UiA) 

Motiv: å fremme bedre 

muligheter for elevenes 

læring av 

matematikk i skolen 

Aksjoner og 

didaktisk mål 


av verksted) 


i matematikk 

Verkstedet: tittelen «å 

stille gode spørsmål i 

matematikk» 


i matematikk 


betingelser: 


redskap 

TBM-møtet: diskusjon 

og evaluering av T- 

skjorteoppgaven som 

pedagogisk redskap 

for å kontekstualisere 

det valgte didaktiske 

mål. Diskusjon av 

oppgaven i grupper 

der bruk av koordinatsystem 

er en av flere 

aspekter. 

Verkstedet: praktisk 

organisering med forberedelse 

til plenumspresentasjon 

og 

gruppeinndeling. 

26


Tabell 5: Forts. Sammenligning av didaktisk mål og pedagogisk redskap i de tre 

matematiske miljøene 

Det andre og tredje 

matematiske miljøet: 

(To lærere, én fra barneskole, 

én fra ungdomsskole) 

Motiv: å tilrettelegge 

matematikkundervisning 

best mulig slik at 

elevene får mulighet 

til å utvikle en dyp og 

meningsfylt forståelse 

av matematikkfaget 

(relasjonell forståelse) 

Gjennomføring av undervisning 

Didaktisk mål: bruk av 

koordinatsystem 

Tilpasse og forandre 

T-skjorteoppgaven 

med fokus på bruk av 

koordinatsystem. 

Organisering av klassen 

med mulighet for 


i matematikk 

(elevenes bruk av 

håndbevegelser eller 

mangel på bruk av 

presis terminologi) 

En mulig forklaring på ombyttingen består i å ta hensyn til hvilket virksomhetssystem 

didaktikerne og lærerne er en del av. Ved å erkjenne at 

didaktikerne og lærerne tilhører to forskjellige virksomhetssystemer, kan 

man stille følgende spørsmål: Hvordan kan virksomhetsteori hjelpe oss 

som forskere til å forstå den observerte ombyttingen I begynnelsen av 

artikkelen presenterte jeg hvordan Engeström (1999) definerer et virksomhetssystem 

ved hjelp av følgende dimensjoner: regler (rules), fellesskap 

(community) og arbeidsfordeling (division of labour). Jeg ser på disse 

dimensjonene som mulige retninger for å utvikle en dypere forståelse av 

prosessene bak den observerte ombyttingen av didaktisk mål og pedagogisk 

redskap og dermed for videre forskning. For eksempel ville det være 

aktuelt å undersøke rollen læreplanen spiller i lærernes planlegging av 

undervisning. 

I begynnelsen av artikkelen argumenterte jeg for å bruke virksomhetsteori 

som en teoretisk ramme for å konseptualisere samarbeidet mellom 

didaktikere og lærere. Videre foreslo jeg en videreutvikling av sentrale 

begreper fra virksomhetsteori som tilpasning til den spesifikke konteksten 

innenfor læring og undervisning i matematikk. Jeg vil hevde at ved å introdusere 

begrepene aktivitet og motiv, aksjoner og didaktisk mål, og operasjoner 

og betingelser ved utvikling av pedagogisk redskap er det mulig å danne 

en relevant og tilpasset teoretisk ramme med en hierarkisk struktur for aktivitet 

innenfor læring og undervisning i matematikk. Ved å anvende disse 

begrepene er det mulig å følge prosessene fra design til implementering av 

en bestemt matematisk oppgave. I disse prosessene står inquiry sentralt på 

tre nivåer. For det første står inquiry sentralt i gruppearbeid i verkstedet der 

lærerne ble gradvis oppmerksomme på T-skjortelogoens kompleksitet, og i 

klasserommet der elevene prøvde å gjengi logoen fra T-skjorteoppgaven. 

27


For det andre er inquiry viktig i lærernes gruppearbeidsdiskusjoner i verkstedet 

fordi disse er knyttet til deres planlegging og tilrettelegging av undervisning. 

I Karis tilfelle materialiserte dette forarbeidet seg i at hun forenklet 

logoen og laget en enklere figur (se Figur 3), og i Rikards tilfelle førte det til 

at han kunne presentere to logoer for klassen, en med og en uten koordinatsystem. 

Jeg ser på Karis og Rikards aksjoner og valg av didaktisk mål som 

tegn på inquiry både når det gjelder deres tankeeksperiment og praktiske 

eksperiment. Gjennom Karis og Rikards implementering av T-skjorteoppgaven 

er det dermed mulig å studere prosessene bak hvordan «the outcome 

of an activity will become part of another activity system» (Virkkunen & 

Kuutti, 2000, s. 301), eller, som i dette tilfellet, hvordan en bestemt matematisk 

oppgave, som er en del av resultatet av aktiviteten fra V1, integreres inn 

i V2 med tilsvarende ombytting av didaktisk mål og en av egenskapene ved 

det utvalgte pedagogiske redskapet. For det tredje gjenfinnes inquiry i 

didaktikernes forskning som presentert i denne artikkelen. 

Jeg argumenterer for at man bør ta hensyn til resultatene fra denne forskningen 

for å få dypere innsikt i forskjellige aspekter ved didaktikeres og 

læreres samarbeid. Dessuten gir den innblikk i lærernes for- og etterarbeid 

ved planlegging og gjennomføring av matematikkundervisning, samt 

hvilke kriterier som ligger til grunn for deres valg av undervisningstema og 

arbeidsmetoder. I tillegg åpner den for muligheter til å utvikle et kritisk perspektiv 

på egen undervisning og dermed øke lærernes bevisstgjøring rundt 

valg av undervisningsstrategier. 

Litteratur 

Artigue, M. (1994). Didactical engineering as a framework for the conception of 

teaching products. I R. Biehler, R.W. Scholz, R. Sträßer, & B. Winkelmann 

(red.), Didactics of mathematics as a scientific discipline (s. 27–39). Dordrecht: 

Kluwer Academic Publishers. 

Berg, C.V. (2009). Developing algebraic thinking in a community of inquiry: Collaboration 

between three teachers and a didactician. Upublisert doktorgradsavhandling, 

Universitetet i Agder, Kristiansand. 

Berg, C.V. (2010). Le projet TBM: un exemple de modalité de collaboration entre 

chercheurs et praticiens en Norvège. I S. Kahn, M. Hersant, & D.O. Ravachol 

(red.), Recherches en Education, Hors Série n o 1 (s. 130–146). Nantes: Centre de 

Recherche en Education de Nantes (CREN). 

Berg, C.V. (under utgivelse). Adopting an inquiry approach to teaching practice: 

The case of a primary school teacher. Proceedings of the 7th Conference of the 

European Society for Research in Mathematics Education, February 2011, 

University of Rzeszów, Polen. 

Engeström, Y. (1999). Activity theory and individual social transformation. I Y. 

Engeström, R. Miettinen, & R.-L. Punamäki (red.), Perspectives on activity 

theory (s. 19–38). Cambridge: Cambridge University Press. 

28


Goodchild, S. (2008). A quest for «good» research. I B. Jaworski & T. Wood (red.), 

International handbook on mathematics teacher education: Vol. 4. The mathematics 

teacher educator as a developing professional: Individuals, teams, communities 

and networks (s. 201–220). Rotterdam: Sense Publishers. 

Gravemeijer, K. (1994). Educational development and developmental research in 

mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education, 25(5), 

443–471. 

Jaworski, B. (2006). Theory and practice in mathematics teaching development: 

Critical inquiry as a mode of learning in teaching. Journal of Mathematics 

Teacher Education, 9(2), 187–211. 

Leont’ev, A.N. (1989). The problem of activity in the history of Soviet psychology. 

Soviet Psychology, 27(1), 22–39. 

Skemp, R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. 

Mathematics Teaching, 77, 20–26. 

Stein, M.K., Smith, M.S., Henningsen, M.A., & Silver, E.A. (2009). Implementing 

standards-based mathematics instruction: A casebook for professional development 

(2. utg.). New York: Teachers College Press. 

Virkkunen, J., & Kuutti, K. (2000). Understanding organizational learning by focusing 

on «activity systems». Accounting Management and Information Technologies, 

10, 291–319. 

Wagner, J. (1997). The unavoidable intervention of educational research: A framework 

for reconsidering researcher-practitioner cooperation. Educational Researcher, 

26(7), 13–22. 

Wells, G. (1999). Dialogic inquiry: Towards a sociocultural practice and theory of 

education. Cambridge: Cambridge University Press. 

29


English summary: Investigating the transition from designing to implementing 

mathematical tasks in teaching: Getting insights into the collaboration 

between didacticians and teachers 

In this article I present some results from a research project entitled Teaching 

Better Mathematics (the TBM project), in which the collaboration between researchers/didacticians 

from the University of Agder (UiA) and teachers from 

Norwegian primary and secondary schools is central. Activity theory is used 

as a means to conceptualize the processes from the didacticians’ presentation 

of mathematical tasks to the teachers’ implementation of the same tasks in 

their teaching. Especially, I introduce the ideas of ‘didactical aim’ and ‘pedagogical 

means’ as theoretical constructs in order to analyse didacticians’ aims 

and accomplishment of their collaboration with teachers, and also teachers’ 

aims and realisation of teaching practice. I consider this research to be relevant 

in order to develop better understanding of the processes behind the collaboration 

between didacticians and mathematics teachers. In addition, it opens the 

opportunity for the teacher to develop critical insights into his/her own 

teaching practice and thereby to increase teachers’ awareness concerning their 

choice of teaching strategies. 

Keywords: design and implementation of mathematical tasks, collaboration 

between didacticians and teachers, activity theory, didactical aim, pedagogical 

means 

30

å utvikle innsikt i samarbeidet mellom forskere

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?