ELE610 FPGA-del, 2013. Lab. 3, Multiratefilter. Innhold

Altså får vi formelen for sum av ei endelig geometrisk rekke 1N−1∑k=0z k = zN − 1z − 1 . (8)Når vi setter resultatet fra ligning 8 inn i ligning 6 får viH(z) = z −(N−1) zN − 1z − 1 = z − z−(N−1)z − 1= 1 − z−N. (9)1 − z−1 En liten digresjon, nå kan vi enkelt faktorisere H(z) i ligning 5 og 6. Fraalgebraen om polynomer har vi at ploynomet (z N − 1) har røtter jevnt fordeltpå enhetssirkelen. Dere kan lett kontrollere at dette er riktig, selv om jeg ikketar noe formelt bevis her men bare skriver resultatet.N−1∏z N − 1 = (z − wN), k der w N = e j2π/N . (10)k=0Ved å sette dette inn i ligning 9, og husker at (z − wN 0 ) = (z − 1), får viN−1H(z) = z −(N−1) 1 ∏N−1∏(z − w kz − 1N) = z −(N−1) (z − wN) k (11)k=0k=1N−1∏H(z) = (1 − wNz k −1 ) (12)k=1Med dette er digresjonen slutt og vi forstsetter i retning mot CIC-filteret.Siden filteret i ligning 5 og 6 alternativt kan skrives som i ligning 9 så kanboxcar-filteret implementeres som→ boxcarN → ⇔ → 11−z −1 → 1 − z −N →Det er altså en integrator etterfulgt av et filter som tar nåværende sampleog trekker fra samplet for N tidsteg siden. En rett fram implementering avboxcar-filteret, som vi gjorde i øving 2 og øving 4 krever (N − 1) forsinkelserog like mange addisjoner. Implementeringen på høyre side over trenger kun 2addisjonsblokker men en forsinkelse mer, altså N forsinkelser. Det er likeveltilsynelatende et problem, resultatet av integratoren kan vokse til uendelig og gioverflyt samme hvor mange bit en bruker. Imidlertid er det slik at når resultatetut fra integratoren brukes for å ta differansen mellom to sampler med en gittavstand seg imellom så kan en med en 2-er komplement representasjon av1 Vi kunne selvsagt brukt denne formelen direkte. Utledning her er enkel og gjelder foralle z unntatt z = 1.26