Capítulos 5,6 - Departamento de Ciência da Computação

• Grupos de curvas elípticas E(Zp) -
E(Zp) = { P=(x,y) ∈ Zp× Zp | y 2 = x 3 +ax+b } ∪ {O}
onde a operação algébrica do grupo, denotada por “+”, é assim definida:
1. P+O = O+P = P
2. Dado P =(x,y), denotamos -P =(x,-y), onde P+(-P) = O
3. Dados P =(x1,y1), Q =(x2,y2), então P+Q = (x3,y3) é dado por
x3 = λ 2 -x1-x2 ;
y3 = λ (x1-x3)-y1 onde
λ = (y2-y1)/(x2-x1) se P ≠ Q , ou
λ = (3x1 2 +a)/(y1+y1) se P = Q .
4. nP = P+P+...+P (n vezes)
• Comparações entre aritméticas de Zp e E(Zp) -
Operação Zp E(Zp)
“Produto” a * b mod p P+Q
“Exponenciação” a n mod p nP
Logaritmo discreto Encontrar n tal que
a n mod p = b
Encontrar n tal que
nP = Q
• Chaves públicas com nível de segurança equivalentes -
Tempo p/ recuperar
chave privada
Fatoração em Zp:
Number field sieve
Logaritmo em E(Zp):
Pollard - Rho
3x10 8 MIPS - ano ~960 bits 155 bits
3x10 18 MIPS - ano ~1820 bits 210 bits
3x10 28 MIPS - ano ~2500 bits 239 bits
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