Caderno 1 : Domínios de Definição, Limites e Continuidade

Instituto Superior de Ciências do Trabalho e Empresa
Curso: Gestão e GEI, 1 o Ano
Cadeira: Optimização
Caderno 1 : Domínios de Definição, Limites e Continuidade
(Tópicos de teoria e exercícios)
Elaborado por: Diana Aldea Mendes
Departamento de Métodos Quantitativos
Fevereiro de 2009

Capítulo 1
Noções Topológicas e Domínios de
Definição de Funções
1.1 Tópicos de Teoria
Definição 1: Seja (R n ,d) um espaço métrico com a distância d entre dois pontos x =
(x1,...,xn) ∈ Rn e y =(y1,...,yn) ∈ Rn definida por:
q
d (x, y) = (x1 − y1) 2 + ...+(xn − yn) 2 .
Seja a =(a1,...,an) ∈ R n e ε>0. A bola aberta de centro a eraioε designa-se por
B (a, ) ou B (a) eédefinida pelo seguinte conjunto de pontos
0 a
A A
a-ε a+ε
Bola aberta em R
R
B (a, ε) ={x ∈ R n : d (x, a)

2CAPÍTULO 1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES
por:
• a éumponto interior de A se existe pelo menos uma bola aberta de centro a eraio
ε contida em A, istoé
∃ ε>0 tal que B (a, ) ⊆ A
• a éumponto exterior de A se existe pelo menos uma bola aberta de centro a eraio
ε contida em R n \A (ou seja: existe pelo menos uma bola aberta de centro a eraio
ε que não contém pontos pertencentes a A), isto é
∃ ε>0 tal que B (a, ) ⊆ R n \A ou seja B (a, ) ∩ A = ∅
• a éumponto fronteiro de A se em qualquer bola aberta de centro a eraioε existe
pelo menos um ponto de A eexistepelomenosumpontodeR n \A, istoé
∀ ε>0 : B (a, ) ∩ A 6= ∅ e B (a, ) ∩ R n \A 6= ∅
• a éumponto de acumulação de A se em qualquer bola aberta de centro a eraioε
existem infinitos elementos de A, istoé
∀ ε>0 : B (a, ) ∩ Aé umconjuntoinfinito
• a éumponto isolado se não é um ponto de acumulação.
y
exterior
h−
fronteiro
h−
interior
exterior
h−
A
h−
h−
1
fronteiro
y = 2
isolado
h−
0 2
x
Definição 3: Seja (R n ,d) um espaço métrico com a distância d e A ⊆ R n . Designa-se
• Interior de A (IntA) oconjuntodospontosinterioresdeA

1.1. TÓPICOS DE TEORIA 3
• Exterior de A (ExtA) o conjunto dos pontos exteriores de A
• Fronteira de A (FrontA) o conjunto dos pontos fronteiros de A
• Fecho ou aderência de A (FechAou Ā) à união do interior de A com a fronteira de
A, istoé
FechA = IntA ∪ FrontA
• Derivado de A (A 0 ) o conjunto dos pontos de acumulação de A.
• OconjuntoA ⊆ R n diz-se aberto se IntA = A ediz-sefechado se FechA = A.
Definição 4: Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Se para cada x ∈ A se faz corre-
sponder um e só um y = f (x) ∈ B então tem-se uma função f de A em B (f : A −→ B) .
• f : R n → R diz-se função real de n variáveis reais.e representa-se por uma expressão
com n variáveis
• f : R n → R m diz-se função vectorial de n variáveis reais e representa-se por um
sistema de m funções com n variáveis.
Definição 5: Seja a função f : Df ⊆ R n −→ R m . OconjuntoDf éodomínio ou
campo de existência da função f e representa o conjunto dos todos os pontos de R n para os
quais se podem efectuar todas as operações indicadas nas m expressões, isto é, corresponde
à intersecção dos domínios das m funções coordenadas f1,...,fm..: Df = Df1 ∩ .... ∩ Dfm .
• Sejam F e G duas funções quaisquer. Para calcular os domínios de definição temos
que ter em consideração que
— F
=⇒ G 6= 0
G
— n√ F =⇒ F ≥ 0 se n par
— log F =⇒ F>0
— F G =⇒ F>0
— arcsin F ou arccos F =⇒ −1 ≤ F ≤ 1

4CAPÍTULO 1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES
1.2 As equações e os gráficos de algumas curvas no plano
real
• Recta
Exemplo 1.2.1 : y = x − 1
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o y=x-1
o
o o
o
y
o
-1
o
o
1
• Circunferência de centro (a, b) eraior :
Exemplo 1.2.2 : x 2 + y 2 =1
o
o
o
o
o
y
o
o
o
o
o
o
o o
o
x
o
2 +y2 =1
o
o
o
o
o
o
o
o
x
x
y − b = m (x − a)
o o o
o o o
(x − a) 2 +(y − b) 2 = r 2
o o o
o o o
x 2 +y 2 1

1.2. AS EQUAÇÕES E OS GRÁFICOS DE ALGUMAS CURVAS NO PLANO REAL 5
• Parábola: orientada na direcção do eixo dos yy :
e orientada na direcção do eixo dos xx :
Exemplo 1.2.3 : y = x 2
o
y
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
y − b = m (x − a) 2
x − a = m (y − b) 2 =⇒ y = b ±
y=x 2
o
o
o
o
x
o o o
o o o
Exemplo 1.2.4 : x = y 2 , ou equivalente y = ± √ x
o o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
y
o
o
o
o
o
o
o
o
x=y 2
x
o o o
o o o
• Hipérbole: orientada na direcção do eixo dos xx :
(x − a) 2
p2 −
(y − b)2
q 2
y>x 2
yy 2
x

6CAPÍTULO 1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES
e orientada na direcção do eixo dos yy :
(y − b) 2
q2 −
Exemplo 1.2.5 : Hipérbole equilateral: y = 1
x
y=1/x
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
y
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
1.3 Exercícios Propostos
x
(x − a)2
p 2
=1
y1/x
o o o
1. Representa graficamente os conjuntos e indique o interior, o exterior, a fronteira, o
fecho e o derivado. Diga se são abertos e (ou) fechados:
(a) A = © (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4 ª ∪ {(6, 7)}
(b) B = © (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 1 ≥ 0 ∧ x − y +1> 0 ∧ x2 − y ≤ 0 ª
(c) C = © (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 4 ∧ y>0 ª ∪ © (x, y) ∈ R 2 : y ≥ x 2 − 4 ∧ y

1.3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7
(c) f (x, y) =log(1− x + y), comx, y ≥ 0
(d) f (x, y) =
(e) f (x, y) =
log (4 − x − y)
4√ xy − 3
1
p 4 − x 2 − y 2
q
(f) f (x, y) =1+ − (x − y) 2
(g) f (x, y) = √ x 2 − 4+ p 4 − y 2
(h) f (x, y) = √ 1 − x 2 + p 1 − y 2
(i) f (x, y) =
(j) f (x, y) =
(k) f (x, y) =
1
x 2 + y 2
1
p y − √ x
x 2 y 2
q
(x 2 + y 2 ) 3
(l) f (x, y) =arcsin y
x
(m) f (x, y) =log ¡ 1 − x 2¢ +cos(xy)
(n) f (x, y) =
µ
x + y
x2 1/2
− y
(o) f (x, y) =
xy
|x| + |y|
(p) f (x, y) = ¡ −x2 − y2 +4 ¢ xy
3. Determine o domínio de definição das seguintes funções:
⎧
1
⎪⎨
log (x + y)
(a) f (x, y) =
⎪⎩ √
1 − x − y
,
,
(x, y) :x + y>0
(x, y) :x + y ≤ 0
⎧
⎪⎨
2x
(b) f (x, y) =
⎪⎩
3 +3y4 2x3 − y3 1
,
,
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) =(0, 0)

8CAPÍTULO 1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES
⎧
⎪⎨
log (3x + y) , (x, y) :3x + y>0
(c) f (x, y) =
⎪⎩
1
x + y
, (x, y) :3x + y ≤ 0
⎧ p
⎪⎨
x2 + y2 (d) f (x, y) =
3y
⎪⎩
2 − x
0
,
,
(x, y) :x 6= 3y
(x, y) :x =3y
⎧
⎪⎨
log
(e) f (x, y) =
⎪⎩
¡ x2 + y2¢ 2y − 1
1
,
,
(x, y) :y 6= 1
(x, y) :y =1
⎧ x−y
⎪⎨ xye x+y
(f) f (x, y) =
⎪⎩
0
,
,
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) =(0, 0)
(g) f (x, y) = x2 sin2 y + y3 cos2 x
x4 + y4 +2x2y2 ⎧
⎪⎨
(h) f (x, y) =
⎪⎩
⎧
⎪⎨
(i) f (x, y) =
⎪⎩
⎧
⎪⎨
(j) f (x, y) =
⎪⎩
2y 2
3x + y
, (x, y) :y 6= x
1 , (x, y) :y = x
xy
x 2 − y 2 , (x, y) :x 6= ±y
0 , (x, y) :x = ±y
x 3 +4y 2
x 2 − 5y 2 , (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) =(0, 0)
q
4. Seja a função f (x, y) =log(xy − 1) + 9 − (x − 1) 2 − y2 .
(a) Determine o seu domínio de definição e represente-o graficamente.
(b) Indique, justificando, se Df é um conjunto aberto e/ou fechado.

Capítulo 2
Limites e Continuidade
2.1 Tópicos de Teoria
• Definição: Seja f : Df ⊆ R 2 −→ R uma função real de domínio Df eseja(a, b) um
ponto de acumulação de Df. Diz-se que l ∈ R éolimite de f (x, y) no ponto (a, b)
eescreve-selim (x,y)→(a,b) f (x, y) =l se e só se
"
∀δ >0, ∃ ε>0:
q
(x − a) 2 +(y − b) 2

10 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE
Adefinição de limite de f (x, y) em (a, b) obriga a: para que exista lim (x,y)→(a,b) f (x, y)
é necessário (mas não é suficiente) que existam e tenham o mesmo valor os limites ao longo
de todos os caminhos possíveis (limites relativos).
⎧
1. iterados (ou sucessivos)
⎪⎨
⎧
• Limites relativos
⎨ a). direcção = recta
⎪⎩
2. direccionais
⎩
b). direcção = parábola
1. Limites iterados:
⎧
⎨
⎩
2. Limites direccionais
l1 =limx→a (limy→b f (x, y))
l2 =limy→b (limx→a f (x, y))
(a) O caminho é uma recta não vertical de declive m que passa por ponto (a, b) e
a equação da família de rectas é dada por
Nessecasoolimiteacalcularé
y = b + m (x − a) , m ∈ R
lr = lim f (x, y) =
(x,y)→(a,b)
lim
(x,y)→(a,b)
y=b+m(x−a)
f (x, y) =limf
(x, b + m (x − a))
x→a
(b) O caminho é uma parábola de eixo vertical que passa por ponto (a, b) ea
equação da família de parábolas é dada por
Nessecasoolimiteacalcularé
lp = lim
(x,y)→(a,b)
y = b + m (x − a) 2 , m ∈ R
f (x, y) = lim
(x,y)→(a,b)
y=b+m(x−a) 2
³
f (x, y) =limf
x, b + m (x − a)
x→a 2´
• Algumas desigualdades a utilizar em problemas com a definiçãodelimitedefunções
de duas variáveis são:

2.1. TÓPICOS DE TEORIA 11
|x| ≤ p x 2 + y 2
|y| ≤ p x2 + y2 |x × y| = |x|×|y| ≤ 1 ¡
x2 + y2 2
¢
|x ± y| ≤ |x| + |y| ≤ 2 p x2 + y2 ¯
¯x3 − y3¯¯ ≤ ¡ x2 + y2¢ 3/2
• Definição: Seja f : Df ⊆ R n −→ R m uma função definida pelas m funções co-
ordenadas y1 = f1 (x1,...,xn) ,...,ym = fm (x1,...,xn) , esejaA =(a1,...,an) um
ponto de acumulação de Df. Diz-se que o limite de f no ponto A é o ponto
B =(b1,...,bm) ∈ R m eescreve-se lim
x→A f (x) =B, se cada uma das funções coordenadas
fi tem limite no ponto A e esse limite é bi, istoé, lim
x→A fi (x) =bi.
• Definição (Continuidade): Seja f : Df ⊆ R 2 −→ R uma função real de duas
variáveis reais de domínio Df. A função f diz-se contínua num ponto (a, b) (que seja
ponto de acumulação do Df) se as seguintes três condições são verificadas
— Existe f (a, b) ou seja (a, b) ∈ Df
— Existe lim (x,y)→(a,b) f (x, y)
— lim (x,y)→(a,b) f (x, y) =f (a, b)
• Definição: Diz-se que uma função f : Df ⊆ R 2 −→ R é prolongável por con-
tinuidade ao ponto (a, b) (ou que f tem em (a, b) uma descontinuidade removível)
se
— (a, b) /∈ Df
— Existe lim (x,y)→(a,b) f (x, y)
• Sendo f prolongável por continuidade ao ponto (a, b), a função f ∗ , prolongamento
de f por continuidade ao ponto (a, b), édefinida como segue:
f ∗ ⎧
⎨ f (x, y)
(x, y) =
⎩
lim (x,y)→(a,b) f (x, y)
,
,
se (x, y) ∈ Df
se (x, y) =(a, b)

12 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE
• Definição: Uma função f : Df ⊆ R 2 −→ R é descontínua no ponto (a, b) (ponto de
acumulação de Df) sef não é contínua em (a, b), nem prolongável por continuidade
ao ponto (a, b) .
• Definição: Uma função f : Df ⊆ R 2 −→ R diz-se contínua no seu domínio Df ⊆
R 2 , se fôr contínua em todos os pontos desse domínio.
2.2 Exercícios Propostos
1. Seja a função
Calcule, se existirem:
⎧
⎪⎨
f (x) =
⎪⎩
1
x +1
, x ≤ 0
e −x , x > 0
(a) limx→1 f (x);limx→−1 f (x); limx→0 f (x); limx→+∞ f (x); limx→−∞ f (x)
2. Seja a função: f (x, y) =
3. Considere a seguinte função
⎧
⎪⎨
f (x, y) =
⎪⎩
x + y
. Calcule o seu limite no ponto (1, 2) .
6x − y2 x 2 y
y + x sin x
Calcule o seu limite na origem dos eixos.
, (x, y) :y 6= −x sin x
1 , (x, y) :y = −x sin x
4. Seja a função
⎧
xy
⎪⎨ p
x2 + y2 f (x, y) =
⎪⎩
1
,
,
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) =(0, 0)
Estude o seu limite na origem dos eixos.
5. Provar pela definição que lim (x,y)→(0,0) f (x, y) 6= 0, para a função
xy
f (x, y) = q
(x2 + y2 ) 3

2.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13
6. Dada a função
⎧
⎪⎨
f (x, y) =
⎪⎩
Verifique se a função tem limite em (0, 0) .
⎪⎩
xy
x 2 − y 2 , (x, y) :x 6= ±y
1 , (x, y) :x = ±y
7. Calcule α ∈ R\{0} , ∀ β de modo que a função
⎧
⎪⎨
sin (αx)
x
, x < 0
f (x) = α + β , x =0
seja contínua em x =0.
8. Verifiqueseafunção
écontínuaemR.
9. Dada a função
e αx − cos x
βx +sinx
, x > 0
⎧
⎪⎨ (1 + sin x)
f (x) =
⎪⎩
1
x2 , x 6= 0
1 , x =0
⎧
⎪⎨
f (x, y) =
⎪⎩
x 3 +4y 2
x 2 − 5y 2 , (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) =(0, 0)
Verifique se a função é contínua na origem dos eixos.
10. Faça o estudo da continuidade da função
⎧
⎪⎨
y − 2
, (x, y) 6= (0, 0)
x +3
f (x, y) =
⎪⎩
0 , (x, y) =(0, 0)

14 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE
11. Dada a função f : R 2 −→ R 2
⎧
⎪⎨
Z1 =
f :
⎪⎩ Z2 =
x − 4
2y +2
y − 3
x 2 +1
Estude-a quanto à continuidade no ponto (0, 0).
12. Considere a função
f (x, y) =
xy
p x 2 + y 2
Diga, justificando, se é prolongável, por continuidade, no ponto (0, 0) .
13. Seja a função
⎧
⎪⎨
f (x, y) =
⎪⎩
Estude a continuidade da função.
14. Dada a função
3x 2 + y 2
x 4 + y 4 , se x 4 + y 4 6=0
0 , se x 4 + y 4 =0
⎧
x sin y + y sin x
⎪⎨
, (x, y) 6= (0, 0)
2(x + y)
f (x, y) =
⎪⎩
1 , (x, y) =(0, 0)
Estude-a quanto à continuidade na origem dos eixos.
15. Seja a função
⎧
⎪⎨
f (x, y) =
⎪⎩
2y 2
3x + y
, (x, y) :y 6= x
1 , (x, y) :y = x
Que pode concluir quanto à continuidade da função? Justifique.

2.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 15
16. Seja a função
Estude-a quanto à continuidade.
⎧
⎪⎨
3x
f (x, y) =
⎪⎩
3 +2y3 x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) =(0, 0)
17. Estude a continuidade das seguintes funções:
⎧
⎪⎨
x
(a) f (x, y) =
⎪⎩
2y x4 + y2 0
,
,
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) =(0, 0)
⎧
xy
⎪⎨ p
x2 + y2 (b) f (x, y) =
⎪⎩
1
,
,
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) =(0, 0)
⎧
⎪⎨
xy − 2
y +4
(c) f (x, y) =
⎪⎩
2
,
,
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) =(0, 0)
18. Dada a função f : R 2 −→ R 2
⎧
⎪⎨
f :
⎪⎩
Estude-a quanto à continuidade na origem.
19. Considere a função
⎧
⎪⎨
f (x, y) =
⎪⎩
x 2 y
y + x sin x
Z1 = x2 y
x 4 + y 2
Z2 = 2xy
x 2 + y 2
, (x, y) :y 6= −x sin x
1 , (x, y) :y = −x sin x
Prove que a função não é contínua em (0, 0) . Justifique.

16 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE
2.3 Exercícios de Revisão
1. Considere a função f : R 2 −→ R 2
⎧
xy sin y
⎪⎨
Z1 =
x
f :
⎪⎩
2 +2
Z2 = x
x + y
(a) Estude-a quanto ao limite na origem dos eixos.
(b) Estude-a quanto à continuidade na origem.
2. Considere a função
⎧ p
⎪⎨
x2 + y2 +2xy
f (x, y) =
3y − x
⎪⎩
1
,
,
(x, y) :x 6= 3y
(x, y) :x =3y
(a) Determine o seu domínio.
(b) Calcule o limite da função no ponto (3, 1) .
(c) Estude a continuidade da função nesse ponto.
3. Considere a função
⎧
⎪⎨
log
f (x, y) =
⎪⎩
¡ x2 + y2¢ 2y − 1
1
,
,
(x, y) :y 6= 1
(x, y) :y =1
(a) Calcule o limite da função no ponto (0, 1) .
(b) Verifique se existe uma descontinuidade removível no ponto (0, 1) .
(c) Estude a função quanto à continuidade no seu domínio de definição. Justifique.
4. Para a função
⎧
⎪⎨
x
f (x, y) =
⎪⎩
2y2 x2y2 +(x− y) 2 , (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) =(0, 0)

2.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 17
(a) Determine o seu domínio.
(b) Verifique se a função tem limite na origem dos eixos.
(c) Estude a continuidade da função. Justifique.
5. Seja a seguinte função
(a) Determine o seu domínio.
5xy
f (x, y) =
3
q
(x2 + y2 ) 3
(b) Calcule o limite da função no ponto (0, 0) .
(c) Estude a continuidade da função.
(d) Diga se a função é prolongável, por continuidade, ao ponto (0, 0) . Justifique.
6. Considere a função
f (x, y) = y2 sin 3 x + x 3 sin 2 y
x 4 + y 4 +2x 2 y 2
(a) Determine o seu domínio. Justifique.
(b) Estude a topologia do domínio da função.
(c) Calcule o limite da função na origem dos eixos.
(d) Estude a função quanto à continuidade. Justifique.
(e) Diga se a função é prolongável, por continuidade. Justifique.
(f) Considere a nova função
⎧
⎨ f (x, y) , (x, y) 6= (0, 0)
g (x, y) =
⎩
0 , (x, y) =(0, 0)
Verifiqueseafunçãog (x, y) é contínua na origem dos eixos. Justifique.
7. Resolva o exercício anterior para a seguinte função
f (x, y) = y2 cos 3 x + x 3 sin 2 y
x 4 + y 4 +2x 2 y 2

18 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE
8. (Exame 2 a Época - 11/09/96) Considere a função f : R 2 −→ R, comn natural e p
real, definida por
⎧
⎪⎨
xy
f (x, y) =
⎪⎩
n + py
x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) =(0, 0)
(a) Indique o domínio da função, referindo se é um conjunto aberto e/ou fechado.
Justifique.
(b) Mostre que f (x, y) écontínuaem(0, 0) se e só se n ≥ 2 e p =0.
9. (Frequência - 11/06/97) Considere a função definida por:
⎧
⎪⎨
2y
f (x, y) =
⎪⎩
3 − x3 x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0)
β , (x, y) =(0, 0)
(a) Calcule o domínio da função e verifique se é um conjunto aberto e/ou fechado.
(b) Existe algum valor de β para o qual a função f écontínuaemtodooseu
domínio? Justifique.
10. (Exame 1 a Época - 09/07/97) Considere a função f : R 2 −→ R definida por
⎧
⎪⎨
f (x, y) =
⎪⎩
x 2 + y 2
log (x 2 + y 2 )
,
(x, y) 6= (0, 0)
e x 2 + y 2 < 1
0 , (x, y) =(0, 0)
(a) Calcule o domínio da função e represente-o graficamente. Verifiqueseodomínio
é um conjunto aberto e/ou fechado.
(b) Estude a continuidade da função na origem.
11. (Frequência - 15/06/98) Seja a função
⎧
⎨ log
f (x, y) =
⎩
¡ y − x2¢ , se k(x, y)k ≥ 2
p
1 − x2 − y2 , se k(x, y)k < 2

2.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 19
em que k(x, y)k = p x 2 + y 2 . Represente graficamente o domínio da função e veri-
fique se o conjunto é aberto e/ou fechado.
12. (Frequência - 15/06/98) Considere a função
f (x, y) =
x 2
|x| + |y|
(a) Mostre que f é contínua no seu domínio. Justifique.
(b) Verifique que a função tem limite na origem dos eixos.

20 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE

Capítulo 3
Soluções dos Exercícios Propostos
3.1 Noções Topológicas e Domínios de Funções
1. Tem-se
(a)
(b)
IntA = © (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 < 4 ª ,FrontA= © (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 =4 ª ∪{(6, 7)}
A 0 = © (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 4 ª ,FechA= © (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 4 ª ∪{(6, 7)}
ExtA = R 2 \FechA e {(6, 7)} é um ponto isolado em A. A éumconjunto
fechado porque A = FechA.
-2
y
7
2
-2
0 h
2
A
x 2 + y 2 = 4
h (6,7)
IntB = © (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 > 1 ∧ yx 2ª
21
6
x

22 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
(c)
(d)
FrontB = © (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 =1 ∧ y ≤ x +1 ∧ y ≥ x 2ª ∪
∪ © (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≥ 1 ∧ y = x +1 ∧ y ≥ x 2ª ∪
∪ © (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≥ 1 ∧ y ≤ x +1 ∧ y = x 2ª
FechB = B 0 = © (x, y) :x 2 + y 2 ≥ 1 ∧ y ≤ x +1 ∧ y ≥ x 2ª
ExtB = R 2 \ FechB,IntB 6= B =⇒ B não é aberto e FechB 6= B =⇒ B não
é fechado.
IntC = © (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 < 4 ∧ y>0 ª ∪ © (x, y) ∈ R 2 : y>x 2 − 4 ∧ yx 2 ∧ y

3.1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES 23
2. Temos os seguintes domínios de definição
(a) Df = © (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1 ª
(b) Df = © (x, y) ∈ R 2 : y>−x ª
y = - x
-1
y
1
0
-1
x 2 + y 2 = 1
(c) Df = © (x, y) ∈ R 2 : y>x− 1 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ª
y
0
y
0
1
y = x - 1
x
x
x

24 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
½
(d) Df = (x, y) ∈ R2 : y 3
¾
,x6= 0
x
(e) Df = © (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 < 4 ª
(f) Df = © (x, y) ∈ R 2 : y = x ª
-2
y = 3 / x
y
2
0
-2
0
y = 4 - x
2
(3,1)
x 2 + y 2 = 4
(g) Df = {(x, y) :(x ≤−2 ∧−2 ≤ y ≤ 2)} ∪ {(x, y) :(x ≥ 2 ∧−2 ≤ y ≤ 2)}
-2
y
2
0
-2
x
2 x

3.1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES 25
(h) Df = © (x, y) ∈ R 2 :(−1 ≤ x ≤ 1) ∧ (−1 ≤ y ≤ 1) ª
(i) Df = R 2 \{(0, 0)}
(j) Df = © (x, y) ∈ R 2 : y> √ x ∧ x ≥ 0 ª
(k) Df = R 2 \{(0, 0)}
-1
y
1
0
-1
0 x
(l) Df = © (x, y) ∈ R 2 : − |x| ≤ y ≤ |x| ª \{(0, 0)}
y
y = - |x|
y
0
n
1
y = |x|
y = x
x
x

26 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
(m) Df = © (x, y) ∈ R 2 : −1

3.1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES 27
3. Temos os seguintes domínios de definição
(a) Df = © (x, y) ∈ R 2 : y 6= 1− x ª
(b) Df = © (x, y) ∈ R 2 : y 6= 3√ 2 x ª ∪ {(0, 0)}
(c) Df = R 2 \{(x, y) :y = −x ∧ x ≤ 0} ou Df = © (x, y) ∈ R 2 : y 6= x ª
(d) Df = © (x, y) ∈ R 2 : x 6= 3y 2ª ∪ {(0, 0) , (3, 1)}
(e) Df = R2 µ½
\
(x, y) :y = 1
2
¾ ½
∪ {(0, 0)} ou Df =
(x, y) :y 6= 1
2
¾
\{(0, 0)}
(f) Df = ¡ R 2 \{(x, y) :y = −x} ¢ ∪ {(0, 0)} ou Df = {(x, y) :y 6= −x} ∪ {(0, 0)}
(g) Df = R 2 \{(0, 0)} ,IntDf = R 2 \{(0, 0)} ,FrontDf = {(0, 0)} ,FechDf =
D 0 f = R2 .Df éumconjuntoabertoporqueDf = IntDf = R 2 \{(0, 0)} .
(h) Df = © (x, y) ∈ R 2 : y 6= −3x ª ∪ {(0, 0)} ,IntDf = © (x, y) ∈ R 2 : y 6= −3x ª ,
FrontDf = © (x, y) ∈ R 2 : y = −3x ª ,D 0 f = FechDf = R 2 ,Df não é um con-
juntoabertoporqueDf 6= IntDf, não é fechado porque FechDf 6= Df.
(i) Df = R 2 ,IntDf = R 2 ,FrontDf = ∅,ExtDf = ∅ e FechDf = D 0 f = R2 ,Df
éumconjuntoabertoporqueIntDf = Df = R 2 .Df é um conjunto fechado
porque FechDf = Df = R 2 .
(
√
5
(j) Df = (x, y) :y 6= ±
5 x
)
(
√
5
∪{(0, 0)} ,IntDf = (x, y) :y 6= ±
5 x
)
,FrontDf =
(
√
5
(x, y) :y = ±
5 x
)
,ExtDf = ∅ e FechDf = D0 f = R2 .
4. Tem-se

28 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
(a) Df =
½
(x, y) ∈ R2 : y> 1
x ∧ (x − 1)2 + y2 ¾
≤ 9,x6= 0
( x-1 ) 2 + y 2 = 9
3.2 Limites e Continuidade
-3
y
y = 1 / x
h
0 1 4
1. (a) l =1/e; Não existe limite; l =1; l =0; l =0
2. l =3/2
3. Não existe limite
4. l =0
5.
1
p
x2 + y2 limite.

3.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 29
12. É prolongável por continuidade em ponto (0, 0) , bastaria, para ser contínua, que
f (0, 0) = 0.
13. É contínua em R 2 \{(0, 0)}
14. A função é descontínua na origem
15. A função é contínua para © (x, y) ∈ R 2 : y 6= −3x ∧ y 6= x ª ∪ {(2, 2)}
16. É contínua em R 2
17. Tem-se
(a) A função é contínua em R 2 \{(0, 0)}
(b) A função é contínua em R 2 \{(0, 0)}
(c) A função é contínua em © (x, y) ∈ R 2 : y 6= −4 ª \{(0, 0)}
18. A função é descontínua na origem
19. Não existe limite (|y + x sin x| ≤ |y| + |x sin x| ≤ |y| + |x||x|).
3.3 Exercícios de Revisão
1. (a) Não existe limite em (0, 0) .
(b) A função não é contínua na origem.
2. Tem-se
(a) Df = © (x, y) ∈ R 2 : x 6= 3y 2ª ∪ {(0, 0) , (3, 1)}
(b) l = ∞
(c) A função é descontínua em (3, 1)
3. Tem-se

30 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
(a) l =0.
(b) Existe uma descontínuidade removível.
(c) A função é contínua em {(x, y) :y 6= 1/2 ∧ y 6= 1}∪ ©¡ ± √ e − 1, 1 ¢ª \{(0, 0)} .
4. Tem-se
(a) Df = R 2
(b) Não existe limite na origem.
(c) A função é contínua em R 2 \{(0, 0)} .
5. Tem-se
(a) Df = R 2 \{(0, 0)}
(b) l =0.
(c) A função é contínua no seu domínio.
(d) A função é prolongável por continuidade a (0, 0), bastaria, para ser contínua,
6. Tem-se
que f (0, 0) = (0, 0) .
(a) Df = R 2 \{(0, 0)}
(b) IntDf = R 2 \{(0, 0)} ,FrontDf = {(0, 0)} ,ExtDf = ∅, D 0 f = FechDf = R 2 ,
não existem pontos isolados. Df é um conjunto aberto, mas não é fechado.
(c) l =0
(d) A função é contínua no seu domínio, ou seja R 2 \{(0, 0)}
(e) É prolongável por continuidade em (0, 0) .
(f) A função g écontínuaem(0, 0), porqueexistelimiteem(0, 0)
7. Tem-se

3.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 31
(a) Df = R 2 \{(0, 0)}
(b) IntDf = R 2 \{(0, 0)} ,FrontDf = {(0, 0)} ,ExtDf = ∅, D 0 f = FechDf = R 2 ,
não existem pontos isolados. Df é um conjunto aberto, mas não é fechado.
(c) Não existe limite em (0, 0) .
(d) A função é contínua no seu domínio, ou seja R 2 \{(0, 0)} .
(e) Não é prolongável, porque não existe limite em (0, 0) .
(f) A função g é descontínua em (0, 0), porque não existe limite em (0, 0) .
8. Df = R 2 , o domínio é um conjunto aberto e fechado.
9. Tem-se
(a) Df = R 2 , o domínio é um conjunto aberto e fechado.
(b) Para β =0a função é contínua em (0, 0) , logoécontínuaemtodooseudomínio
10. Tem-se
(R 2 ).
(a) Df = © (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 < 1 ª ,IntDf = © (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 < 1 ª ,FrontDf =
© (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 =1 ª ,IntDf = Df =⇒ Df é um conjunto aberto. Df
não é fecahdo.
(b) A função é contínua na origem.
-1
y
1
0
-1
x 2 + y 2 = 1
1
x

32 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
11. Df = © (x, y) ∈ R 2 : y>x 2 ∧ x 2 + y 2 ≥ 4 ª ∪ © (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1 ª . Oconjunto
Df não é aberto e não é fechado
12. Tem-se
-2 -1 0 1 2
x -1
2 + y2 = 4
y
2
1
-2
y = x 2
x 2 + y 2 = 1
(a) Df = R 2 \{(0, 0)} . A função é contínua em R 2 \{(0, 0)} e é prolongável por
continuidade ao (0, 0) .
(b) l =0.
x