Caderno 1 : Domínios de Definição, Limites e Continuidade

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Capítulo 2 Limites e Continuidade 2.1 Tópicos de Teoria • Definição: Seja f : Df ⊆ R 2 −→ R uma função real de domínio Df eseja(a, b) um ponto de acumulação de Df. Diz-se que l ∈ R éolimite de f (x, y) no ponto (a, b) eescreve-selim (x,y)→(a,b) f (x, y) =l se e só se " ∀δ >0, ∃ ε>0: q (x − a) 2 +(y − b) 2
10 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE Adefinição de limite de f (x, y) em (a, b) obriga a: para que exista lim (x,y)→(a,b) f (x, y) é necessário (mas não é suficiente) que existam e tenham o mesmo valor os limites ao longo de todos os caminhos possíveis (limites relativos). ⎧ 1. iterados (ou sucessivos) ⎪⎨ ⎧ • Limites relativos ⎨ a). direcção = recta ⎪⎩ 2. direccionais ⎩ b). direcção = parábola 1. Limites iterados: ⎧ ⎨ ⎩ 2. Limites direccionais l1 =limx→a (limy→b f (x, y)) l2 =limy→b (limx→a f (x, y)) (a) O caminho é uma recta não vertical de declive m que passa por ponto (a, b) e a equação da família de rectas é dada por Nessecasoolimiteacalcularé y = b + m (x − a) , m ∈ R lr = lim f (x, y) = (x,y)→(a,b) lim (x,y)→(a,b) y=b+m(x−a) f (x, y) =limf (x, b + m (x − a)) x→a (b) O caminho é uma parábola de eixo vertical que passa por ponto (a, b) ea equação da família de parábolas é dada por Nessecasoolimiteacalcularé lp = lim (x,y)→(a,b) y = b + m (x − a) 2 , m ∈ R f (x, y) = lim (x,y)→(a,b) y=b+m(x−a) 2 ³ f (x, y) =limf x, b + m (x − a) x→a 2´ • Algumas desigualdades a utilizar em problemas com a definiçãodelimitedefunções de duas variáveis são:
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