Caderno 1 : Domínios de Definição, Limites e Continuidade

10 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE
Adefinição de limite de f (x, y) em (a, b) obriga a: para que exista lim (x,y)→(a,b) f (x, y)
é necessário (mas não é suficiente) que existam e tenham o mesmo valor os limites ao longo
de todos os caminhos possíveis (limites relativos).
⎧
1. iterados (ou sucessivos)
⎪⎨
⎧
• Limites relativos
⎨ a). direcção = recta
⎪⎩
2. direccionais
⎩
b). direcção = parábola
1. Limites iterados:
⎧
⎨
⎩
2. Limites direccionais
l1 =limx→a (limy→b f (x, y))
l2 =limy→b (limx→a f (x, y))
(a) O caminho é uma recta não vertical de declive m que passa por ponto (a, b) e
a equação da família de rectas é dada por
Nessecasoolimiteacalcularé
y = b + m (x − a) , m ∈ R
lr = lim f (x, y) =
(x,y)→(a,b)
lim
(x,y)→(a,b)
y=b+m(x−a)
f (x, y) =limf
(x, b + m (x − a))
x→a
(b) O caminho é uma parábola de eixo vertical que passa por ponto (a, b) ea
equação da família de parábolas é dada por
Nessecasoolimiteacalcularé
lp = lim
(x,y)→(a,b)
y = b + m (x − a) 2 , m ∈ R
f (x, y) = lim
(x,y)→(a,b)
y=b+m(x−a) 2
³
f (x, y) =limf
x, b + m (x − a)
x→a 2´
• Algumas desigualdades a utilizar em problemas com a definiçãodelimitedefunções
de duas variáveis são: