Caderno 1 : Domínios de Definição, Limites e Continuidade

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Capítulo 1 Noções Topológicas e Domínios de Definição de Funções 1.1 Tópicos de Teoria Definição 1: Seja (R n ,d) um espaço métrico com a distância d entre dois pontos x = (x1,...,xn) ∈ Rn e y =(y1,...,yn) ∈ Rn definida por: q d (x, y) = (x1 − y1) 2 + ...+(xn − yn) 2 . Seja a =(a1,...,an) ∈ R n e ε>0. A bola aberta de centro a eraioε designa-se por B (a, ) ou B (a) eédefinida pelo seguinte conjunto de pontos 0 a A A a-ε a+ε Bola aberta em R R B (a, ε) ={x ∈ R n : d (x, a)
2CAPÍTULO 1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES por: • a éumponto interior de A se existe pelo menos uma bola aberta de centro a eraio ε contida em A, istoé ∃ ε>0 tal que B (a, ) ⊆ A • a éumponto exterior de A se existe pelo menos uma bola aberta de centro a eraio ε contida em R n \A (ou seja: existe pelo menos uma bola aberta de centro a eraio ε que não contém pontos pertencentes a A), isto é ∃ ε>0 tal que B (a, ) ⊆ R n \A ou seja B (a, ) ∩ A = ∅ • a éumponto fronteiro de A se em qualquer bola aberta de centro a eraioε existe pelo menos um ponto de A eexistepelomenosumpontodeR n \A, istoé ∀ ε>0 : B (a, ) ∩ A 6= ∅ e B (a, ) ∩ R n \A 6= ∅ • a éumponto de acumulação de A se em qualquer bola aberta de centro a eraioε existem infinitos elementos de A, istoé ∀ ε>0 : B (a, ) ∩ Aé umconjuntoinfinito • a éumponto isolado se não é um ponto de acumulação. y exterior h− fronteiro h− interior exterior h− A h− h− 1 fronteiro y = 2 isolado h− 0 2 x Definição 3: Seja (R n ,d) um espaço métrico com a distância d e A ⊆ R n . Designa-se • Interior de A (IntA) oconjuntodospontosinterioresdeA
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Page 33: 32 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXER

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