Alguns Problemas e Exames Resolvidos de´Algebra Linear

⎡ ⎤
⎡ ⎤
1 k k ⎡ ⎤
1
⎢
⎢1
1 k
⎥ x
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3
⎥
Para cada parâmetro real k, seja Ak = ⎢ ⎥ , u = ⎣y⎦
e b = ⎢ ⎥
⎣k
1 1⎦
⎣−1⎦
z
k k 1
−3
.
a) Discuta a característica de Ak em função do parâmetro k.
b) Faça a discussão das dimensões do espaço das colunas e do núcleo de Ak.
c) Determine uma base para Nuc(A−1) (onde A−1 é a matriz Ak para k = −1).
d) Verifique se (2, 1, 0) é solução do sistema linear A−1u = b. Encontre o conjunto solução de A−1u = b.
GRUPO III (1,5 valores)
Seja E = {f : R → R} o espaço linear das funções reais de variável real munido com as operações
habituais. Considere os subconjuntos E+ e F de E definidos como se segue:
E+ = {f ∈ E : f(x) > 0, para qualquer x ∈ R},
F = {g ∈ E : g(x) = log(f(x)), para alguma função f ∈ E+}.
a) Prove que E+ não é subespaço linear de E.
b) Prove que F é subespaço linear de E.
Resolução do Teste
Escolha múltipla: Grupo I
A chave para esta vers~ao de teste é:
1
D
2
C
3
B
4
A
Problema 1. Aplicando o método de eliminaç~ao de Gauss temos:
1 0 1 2
0 3 γ 0
−1 0 −1 −γ 2
−→
L1+L3
1 0 1 2
0 3 γ 0
0 0 0 2 − γ 2
Portanto o sistema Sγ é possível se e só se 2 − γ2 = 0. Em ambos os casos γ = ± √ 2
cada sistema Sγ é possível e determinado. Além disso, para estes casos o número de variáveis
livres é igual a 1 = grau de indeterminaç~ao. O sistema Sγ é impossível para cada γ tal
que γ = ± √ 2. Portanto a única afirmaç~ao verdadeira é a afirmaç~ao D).
Problema 2. Se A =
1 1
1 0
ent~ao A −1 =
(AB) −1 = B −1 A −1 =
1 1
0 1
0 1
1 −1
0 1
1 −1
. Portanto
=
.
1 0
1 −1
pelo que a afirmaç~ao I) é verdadeira. A afirmaç~ao II) é verdadeira porque a matriz B é
invertível. Finalmente a afirmaç~ao III) é falsa, pois Nuc(A)+Nuc(B−1 ) = {(0, 0)} uma vez
que A e B−1 s~ao matrizes invertíveis e
Nuc(A + B −1 ) = Nuc
18
2 2
1 1
,
,