Alguns Problemas e Exames Resolvidos de´Algebra Linear

Assim, se a = 2, o sistema tem infinitas soluções e diz-se possível e indeterminado.
Se a = −2, o sistema não tem solução e diz-se impossível.
Se a = −2 e a = 2, o sistema tem a solução única:
e diz-se possível e determinado.
X =
⎡
⎢
⎣
x
y
z
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
(a + 5)/(a + 2)
a/(a + 2)
1/(a + 2)
1.4 (Inversão⎡ de Matrizes) ⎤
1 1 1
⎢ ⎥
(i) Seja A = ⎣ 2 1 4 ⎦. Tem-se
2 3 5
⎡
1
⎢
[A | I] = ⎣ 2
2
1
1
3
1
4
5
|
|
|
1
0
0
0
1
0
⎤ ⎡
0
1
⎥ ⎢
0 ⎦ −→ ⎣ 0
−2L1+L2
1 −2L1+L3 0
1
−1
1
1
2
3
|
|
|
1
−2
−2
0
1
0
⎤
0
0
1
⎡
1
⎢
−→ ⎣ 0
0
1
−1
0
1
2
5
|
|
|
1
−2
−4
0
1
1
⎤
0
⎥
0 ⎦ −→
1
5 1
L3
⎡
1
⎢
⎣ 0
0
1
−1
0
1
2
1
|
|
|
1
−2
−4/5
0
1
1/5
⎤
0
0
1/5
⎡
1
⎢
−→ ⎣ 0
0
1
−1
0
0
0
1
|
|
|
9/5
−2/5
−4/5
−1/5
3/5
1/5
⎤
−1/5
⎥
−2/5 ⎦ −→
L2+L1
1/5
⎡
1
⎢
−→ ⎣ 0
0
0
−1
0
0
0
1
|
|
|
7/5
−2/5
−4/5
2/5
3/5
1/5
⎤
−3/5
⎥
−2/5 ⎦ −→
−L2
1/5
⎡
1
⎢
−→ ⎣ 0
0
1
0
0
|
|
7/5
2/5
2/5
−3/5
⎤
−3/5
⎥
2/5 ⎦ .
0 0 1 | −4/5 1/5 1/5
Portanto A é invert´vel e
(ii) Seja A =
⎡
⎢
⎣
[A | I] =
1 2 3
1 1 2
0 1 1
⎡
⎢
⎣
⎤
A −1 =
⎥
⎦. Tem-se
⎡
⎢
⎣
1 2 3 | 1 0 0
1 1 2 | 0 1 0
0 1 1 | 0 0 1
4
7/5 2/5 −3/5
2/5 −3/5 2/5
−4/5 1/5 1/5
⎤
⎥
⎦ −→
−L1+L2
⎡
⎢
⎣
⎤
⎤
⎥
⎦
⎥
⎦ .
1 2 3 | 1 0 0
0 −1 −1 | −1 1 0
0 1 1 | 0 0 1
⎥
⎦ −→
L2+L3
⎥
⎦ −→
−2L3+L2
−L3+L1
⎤
⎥
⎦ −→
L2+L3