Alguns Problemas e Exames Resolvidos de´Algebra Linear

III) {2 + x, −4 + x 2 } é uma base de V .
A lista completa de afirmações correctas é
I II III ⊠ II, III
Resolução: Sendo p(x) = 1 + x − x 2 , p(−2) = 1 − 2 − (−2) 2 = 1 − 2 − 4 = −5 portanto p(−2) = 0 logo a
afirmação I é falsa. Dado um elemento p(x) = a+bx+cx 2 em P2, p ∈ V sse p(−2) = a−2b+4c = 0,
pelo que
p(x) = (2b − 4c) + bx + cx 2 = b(2 + x) + c(−4 + x 2 )
portanto {2 + x, −4 + x 2 } gera V , como são linearmente independentes (não são colineares) concluimos
que a afirmação III é verdadeira.
⎡
1
⎢
5. Considere a seguinte matriz A = ⎣1
0
2
⎤
0
⎥
0⎦.
1 1 1
a) Determine o polinómio característico e os valores próprios de A.
b) Encontre bases para os espaços próprios de A
c) Verifique se A é diagonalizável.
6. Seja E = {f : R → R} o espaço linear das funções reais de variável real munido com as operações
habituais. Considere V =L({f1, f2}) o subespaço de E gerado pelas funções f1, f2, onde para cada
a, b ∈ R define-se f1(t) = e at e f2(t) = e bt . Determine dim(V ), para cada a, b.
Resolução:
5 a) O polinómio característico de A é
⎡
1 − λ
⎢
p(λ) = det(A − λI) = det ⎣ 1
0
2 − λ
0
0
⎤
⎥
⎦ = (1 − λ)
1 1 1 − λ
2 (2 − λ).
Como os zeros de p(λ) são os valores próprios de A, concluimos que {1, 2} são os valores próprios de A.
5 b) O espaço próprio associado a λ = 1 é
⎡
0
⎢
E(1) = Nuc(A − 1I) = Nuc ⎣1
0
1
⎤ ⎡
0 1
⎥ ⎢
0⎦
= Nuc ⎣0
1
0
⎤
0
⎥
0⎦
= {(x, y, z) ∈ R
1 1 0 0 0 0
3 : x + y = 0}
pelo que {(−1, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base de E(1).
= {(−y, y, z) ∈ R 3 : y, z ∈ R},
O espaço próprio E(2) associado ao valor próprio λ = 2 é
⎡
−1
⎢
E(2) = Nuc(A − 2I) = Nuc ⎣ 1
0
0
⎤ ⎡
0
1
⎥ ⎢
0 ⎦ = Nuc ⎣0
0
1
⎤
0
⎥
−1⎦
= {(x, y, z) ∈ R
1 1 −1 0 0 0
3 : x = 0, y − z = 0}
portanto {(0, 1, 1)} é uma base de E(2).
= {(0, z, z) ∈ R 3 : z ∈ R}
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