Alguns Problemas e Exames Resolvidos de´Algebra Linear

podemos concluir que, por definiç~ao de representaç~ao matricial, a matriz M(Tγ; Bc, Bc) que
representa Tγ em relaç~ao à base canónica de R 3 é a matriz Aγ.
b) Como Aγ representa Tγ na base canónica de R 3 , os valores e vectores próprios da matriz
Aγ coincidem com os valores e vectores da transformaç~ao linear Tγ. Seja p(λ) o polinómio
característico de Aγ. Ent~ao:
p(λ) = det(Aγ − λI) = det
γ − λ 0 2
0 −1 − λ 2
0 0 1 − λ
= (γ − λ)(−1 − λ)(1 − λ),
uma vez que o determinante de uma matriz triangular superior é igual ao produto das entradas
na diagonal principal. Portanto {−1, 1, γ} s~ao os valores próprios de Aγ. Temos 3 casos
a considerar:
Caso 1: Se γ /∈ {−1, 1}, ent~ao temos 3 valores próprios diferentes em R 3 , pelo que a
matriz Aγ é diagonalizável. Note que nestes casos a multiplicidade algébrica (ma) de cada
valor próprio é igual a 1 e portanto a multiplicidade geométrica (mg) de cada valor próprio
valor próprio ma mg
também é 1. Em resumo:
−1
1
1
1
1
1
γ 1 1
Caso 2: Seja γ = 1. Ent~ao {−1, 1} s~ao os valores próprios de A1 em que a multiplicidade
algébrica do primeiro valor próprio é 1 enquanto que a do segundo valor próprio é 2. Vamos
determinar a multiplicidade geométrica do segundo valor próprio (a do primeiro é obviamente
1): o espaço próprio associado ao valor próprio λ = 1 é
0 0 2
E(1) = Nuc(A1 − 1I) = Nuc 0 −2 2 .
0 0 0
Como car(A1 − 1I) = 2, dim Nuc(A1 − 1I) = 1 e portanto a multiplicidade geométrica deste
valor próprio ma mg
valor próprio é 1. Em resumo: −1 1 1
1 2 1
pelo que a matriz Aγ para γ = 1 n~ao é diagonaizável, pois a multiplicidades algébrica
e geométrtica do valor próprio λ = 1 s~ao diferentes.
Caso 3: Seja γ = −1. Ent~ao {−1, 1} s~ao os valores próprios de A1 em que a multiplicidade
algébrica do primeiro valor próprio é 2 enquanto que a do segundo valor próprio é 1. Vamos
determinar a multiplicidade geométrica do primeiro valor próprio O Espaço próprio associado
ao valor próprio λ = −1 é
0 0 2
E(−1) = Nuc(A−1 − (−1)I) = Nuc 0 0 2
0 0 2
pelo que a multiplicidade geométrica é igual a 2 (note que car(A−1 − (−1)I) = 1). Em
valor próprio ma mg
resumo −1 2 2
1 1 1
e portanto Aγ para γ = −1 é diagonalizável.
Conclusão: Aγ é diagonalizável se e só se γ = 1.
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