Alguns Problemas e Exames Resolvidos de´Algebra Linear

GRUPO II (4 valores)
Considere as transformações lineares T1 : R 2 → R 3 e T2 : R 3 → R 2 definidas como se segue:
T1 (x, y) = (5y, x − 3y, −2y), T2 (x, y, z) = (x + y + z, x + 2z).
a) Determine as representações matricias de T1 e T2 nas bases canónicas.
b) Determine bases para Im(T1) e Nuc(T2) e verifique que dim Im(T1) ∩ Nuc(T2) = 0.
c) Resolva a equação linear T2 (x, y, z) = (3, 3).
(x, y) .
d) Determine T2 ◦ T1
Resolução:
GRUPO III (5 valores)
⎡
α 0 0
⎢
Para cada parâmetro real α, seja A = ⎣ 0 2α α
α2 ⎤
⎥
⎦, e 〈·, ·〉 : R
− 1 α 2α
3 × R3 ⎡ ⎤
→ R a aplicação definida por:
a
⎢ ⎥
〈(x, y, z), (a, b, c)〉 = x y z A ⎣b⎦
.
c
a) Calcule det(A) e verifique que o sistema homogéneo Au = 0 é indeterminado se e só se α = 0.
b) Determine o polinómio característico e os valores próprios de A, em função de α.
c) Para α = 3 encontre bases para os espaços próprios de A e verifique se A é diagonalizável (para α = 3).
d) Determine os valores de α para os quais 〈·, ·〉 define um produto interno em R 3 .
e) Usando o(s) produto(s) interno(s) em R 3 da alínea d), calcule ||(0, 1, 0)||.
Resolução:
GRUPO IV (3 valores)
Seja S = {v1, v2, · · · , vk} um conjunto não vazio de vectores linearmente independentes em R n ,
E = L(S) o subespaço linear de R n gerado por S e PE a projecção ortogonal sobre E. Considere a
matriz A = [v1 v2 · · · vk] ∈ Matn×k(R) cuja coluna j é o vector vj escrito em coluna, j = 1, · · · , k, e seja
Q = A(A T A) −1 A T .
a) Prove que Q = Q T e Q 2 = Q.
b) Prove que PE(u) = Q(u) para todo u ∈ R n .
Resolução:
Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
Secção de Álgebra e Análise
EXAME DE ÁLGEBRA LINEAR (25/JANEIRO/2008)
LEAmb, LEMat, LQ, MEBiol, MEQ Duração: 3H
Nome do Aluno:−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Número:−−−−−−−−−−−
Curso:−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Turma:−−−−−−−−−−−−−−−−−
Advertência: há 5 enunciados parecidos...mas distintos
GRUPO I (8 valores)
Perguntas de escolha múltipla
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