2- NOÇÕES DE CONVEXIDADE E FORMULAÇÃO MATEMÁTICA ...

2- NOÇÕES DE CONVEXIDADE E FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DE
PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
2.1 – Noções de Convexidade
2.1.1 - Combinação Convexa de pontos
Considere C um conjunto contendo os pontos x 1 e x 2 e α ∈ [0,1]. Diz-se que o
ponto b = αx 1 + (1 -α)x 2 é o resultado de uma combinação convexa de x 1 e x 2 . Além
disso, se fizer-se α + (1- α) terá como resultado o número 1. Pode-se estender esta
definição para um conjunto de pontos:,
Diz que o ponto
x 1 , x 2 ,...,x n . Então,
α1 + α2 + ........ + αn = α i
Teorema 2.1.1:
b x x nx i n
n
= α1 + α + + α
αi
≥ =
1
2 2
....
é uma combinação convexa dos pontos
0 ( 1, 2,...,
)
n
i=
1
= 1
Sejam os pontos u 1 e u 2 , pertencentes ao ℜ n , e u 3 um ponto qualquer entre u 1 e u 2 .
Para algum 0 ≤ α ≤ 1 tem-se:
α ( u 1 - u 2 ) = u 3 - u 2 .
u 3 =α u 1 + (1-α ) u 2 (1).
Como cada coeficiente de (1) é maior ou igual a 0, e a soma deles é igual a 1,
então u 3 é uma combinação convexa de u 1 e u 2 .
2.1.2- Conjuntos Convexos
Um subconjunto C∈ R n é chamado convexo, se e somente se, para quaisquer
pontos u 1 e u 2 pertencentes a C qualquer combinação convexa
b = α 1 u 1 +α 2 u 2
também pertencer a C. Em outras palavras, se C é convexo, então
1
u ∈C
2
u ∈C
1 2
αu + ( 1 − α)
u ∈C
(0 ≤ α ≤ 1).
Portanto, um conjunto C é considerado convexo se todos os pontos do segmento
de uma reta que une dois pontos de C também pertencem a C.
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2.1.3- Ponto Extremo (ou Vértice)
Seja C um conjunto convexo. Diz-se que u∈ C é um ponto extremo de C se
não for possível expressá-lo como uma combinação convexa de quaisquer outros dois
pontos distintos pertencentes ao conjunto C.
2.1.4- Intersecção de Conjuntos Convexos
Sejam A e B dois conjuntos convexos. Seja S o conjunto intersecção, ou seja,
S = A ∩ B. Se dois pontos p e q pertencem a S, então o segmento pq pertence a S.
Portanto, todos os pontos pertencentes a S satisfazem a condição de
convexidade. É imediato concluir que a intersecção de um número finito de conjuntos
convexos é um conjunto convexo.
2.2 – Formulação Matemática de P.P.L’S em R 2
A formulação matemática para os Problemas de Programação Linear é uma
idealização da realidade, pois emprega símbolos matemáticos para representar as
variáveis do sistema real. Essas variáveis são relacionadas por equações lineares que
expressam as restrições do problema através de sistemas lineares e da função
matemática a ser otimizada, que também é linear.
A solução consiste em encontrar valores adequados das variáveis de decisão que
otimizem o desenvolvimento do sistema, segundo o critério desejado (maximizar ou
minimizar).
A formulação matemática consiste em:
i) Identificar as variáveis de decisão e determinar a grandeza a ser otimizada,
expressando-a como uma função matemática (função objetivo).
ii) Identificar todas as exigências, restrições e limitações estipuladas, expressando-as
matematicamente (restrições).
iii) Expressar todas as condições implícitas. Tais condições não são estipuladas
explicitamente no problema relativo à situação física sendo assim, modeladas.
Exemplo 2.1:
Uma pessoa em dieta necessita ingerir pelo menos:
- 20 unidades de vitamina A; ( Vitamina A ≥ 20)
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- 10 unidades de vitamina B; ( Vitamina B ≥ 10)
- 2 unidades de vitamina C. ( Vitamina C ≥ 2)
Ela deve conseguir estas vitaminas a partir de dois tipos diferentes de alimentos
A1 e A2. A quantidade de vitaminas que esses produtos contém por unidade e o preço de
cada um estão na tabela:
Vitamina A Vitamina B Vitamina C Preço Unitário
Alimento A1 4 1 1 30 u.m.
Alimento A2 1 2 0 20 u.m.
Qual a programação de compras dos alimentos A1 e A2 que essa pessoa deve
fazer para cumprir sua dieta a menor custo possível?
Resolução:
Variáveis de decisão:
x1: quantidade de alimento A1 a ser comprado.
x2: quantidade de alimento A2 a ser comprado.
Função objetivo:
z = 30x1 + 20x2
Conjunto de restrições:
Problema:
4x1 + x2 ≥ 20
x1 + 2x2 ≥ 10
x1 ≥ 2
x2 ≥ 0
min z = 30x1 + 20x2
s.a 4x1 + x2 ≥ 20
Exemplo 2.2:
x1 + 2x2 ≥ 10
x1 ≥ 2
x2 ≥ 0 .
Um fabricante de artigos de plásticos possui um estoque de 1200 caixas de
envôlucos transparentes em uma de suas fábricas e outras 1000 caixas em uma segunda
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fábrica. O fabricante recebeu pedidos deste produto provenientes de três diferentes
varejistas nas quantidades de 1000, 700 e 500 caixas respectivamente. Os custos
unitários de expedição desde as fábricas até os varejistas são os seguintes:
Varejista 1 Varejista 2 Varejista 3
Fábrica 1 14 13 11
Fábrica 2 13 13 12
Determine o programa de expedição que atenda todas as demandas a partir do
estoque disponível a um custo mínimo.
Resolução:
Variáveis de decisão:
xij : número de caixas a serem expedidas da fábrica i para o varejista j.
i = 1, 2 , j = 1, 2, 3.
Função objetivo:
z = 14 x11 + 13 x12 + 11 x13 + 13 x21 + 13 x22 + 12 x23
Conjunto de restrições:
Problema:
x11 + x12 + x13 = 1200
x21 + x22 + x23 = 1000
x11 + x21 = 1000
x12 + x22 = 700
x13 + x23 = 500
xij ≥ 0 , i = 1, 2 ; j = 1,2,3.
min z = 14 x11 + 13 x12 + 11 x13 + 13 x21 + 13 x22 + 12 x23
s.a. x11 + x12 + x13 = 1200
21
x21 + x22 + x23 = 1000
x11 + x21 = 1000
xij ≥ 0 , i = 1, 2 ; j = 1,2,3.
x12 + x22 = 700
x13 + x23 = 500

Exemplo 2.3:
Uma pequena indústria produz artigos A1 e A2 que são vendidos a 200 u.m. e
300 u.m., respectivamente. Na sua produção são utilizados três tipos de matérias-
primas, P1, P2 e P3, que são gastas da seguinte forma:
- 2 unidades de P1 para fabricar 1 unidade de A1;
- 4 unidades de P2 para fabricar 1 unidade de A1;
- 1 unidade de P1 para fabricar 1 unidade de A2;
- 1 unidade de P3 para fabricar 1 unidade de A2.
Por razões econômicas, as matérias-primas P1, P2 e P3, estão disponíveis no
máximo em 20, 32 e 10 unidades, respectivamente.
O dono da empresa deseja saber as quantidades dos produtos A1 e A2 que devem
ser produzidos para que a receita bruta seja a menor possível.
Resolução:
Variáveis de decisão:
x1: quantidade do produto A1 a ser produzida;
x2: quantidade do produto A2 a ser produzida.
Função objetivo:
z = 200 x1 + 300 x2
Conjunto de restrições:
Problema:
2 x1 + x2 ≤ 20
4 x1 ≤ 32
x2 ≤ 10
x1 , x2 ≥ 0
min z = 200 x1 + 300 x2
2 x1 + x2 ≤ 20
4 x1 ≤ 32
x2 ≤ 10
x1 , x2 ≥ 0.
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2.3- Resolução Gráfica dos Problemas de Programação Linear no ℜ 2
A resolução de Problemas de Programação Linear no ℜ 2 , pode ser determinada
graficamente se o problema tem:
- Solução única;
- Múltiplas soluções;
- Solução ilimitada;
- Infactível (não tem solução).
Para isso determina-se inicialmente a região de factiblidade do problema, ou
seja, a região determinada pelas restrições. A seguir, utiliza-se as curvas de nível e o
vetor gradiente da função objetivo para determinar o sentido em que a função cresçe
ou diminui mais rapidamente.
Veja alguns exemplos:
Exemplo 2.3.1 (Solução única):
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x2 -x1+x2 ≤ 1
Curva de Nível
max z = 2 x1 + x2 Solução ótima
s.a -x1 + x2 ≤ 1 x2 ≤ 2
x1 ≤ 3
x2 ≤ 2
x1 e x2 ≥ 0 x1 ≤ 3 x1
Exemplo 2.3.2 (Múltiplas soluções):
max z = x1 + x2
s.a x1 ≤ 3
vetor gradiente
x2 ≤ 4 x2≤4
2x1 + 2x2 ≤ 9 2x1 + 2x2≤9
x1 e x2 ≥ 0
x2 Infinitas Soluções
x* = α x 1 + (1 - α) x 2 (0 ≤ α ≤ 1). x1≤3
x1

Exemplo 2.3.3 (Solução Ilimitada): x2
max z = x1 + 2 x2 x1+2x2 ≥ 10 x1 ≥ 2
4 x1 + x2 ≥ 20
x1 + 2 x2 ≥ 10 soluções ilimitadas
x1 ≥ 2
x1 e x2 ≥ 0
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4x1+x2 ≥ 20 x1
Este problema não possui solução ótima finita, pois o valor da função pode
crescer indefinidamente dentro da região de factibilidade. Dizemos que este é um
problema ilimitado.
Exemplo 2.3.4 (Infactível):
min. z = x1 + x2 -2x1+x2 ≥ 20
s.a -2 x1+ x2 ≥ 20
x1 - x2 ≥ 2 x1-x2 ≥ 2
x1 , x2 ≥ 0
Neste problema, o conjunto de pontos viáveis é um conjunto vazio, pois não há
região no plano que satisfaça as quatro restrições. Diz-se que este é um problema
inviável ou infactível.
2.4– Formulação Geral de um Problema de Programação Linear
Nessa seção, será definida um Problema de Programação Linear (P.P.L.) em sua
forma geral, padrão e canônica, necessárias para a definição de um método para
resolução desses problemas a ser visto no capítulo 3.
.
x2
x1

2.4.1- Diferentes formas de um Problema de Programação Linear
2.4.1.1 Forma Geral
Diz-se que um Problema de Programação Linear está na forma geral se este se
encontrar na seguinte forma:
Max (ou Min) z = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn ;
s.a.
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1
.
.
.
ap1x1 + ap2x2 + ... + apnxn ≤ bp
a(p+1)1x1 + a(p+1)2x2 + ... + a(p+1)nxn ≥ b(p+1)
.
.
.
aq1x1 + aq2x2 + ... + aqnxn ≥ bq
a(q+1)1x1 + a(q+1)2x2 + ... + a(q+1)nxn = b(q+1)
.
.
.
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
x1, ..., xp’ ≥ 0
x(p’+1), , xq’ ≤ 0
xq’, ..., xn : irrestrita, onde 1 ≤ p ≤ m , 1 ≤ p’ ≤ q’ ≤ n, 1≤q≤m
Exemplo 2.4.1:
max z = 5x1+3x2+x3+2x4-4x5
s.a.: x1+5x2-3x3 - x4+7x5 ≤ 10
3x1-2x2+5x3+ x4+4x5 ≥ 15
x1+7x2 - x3+2x4+3x5 ≥ 20
5x1+2x2+2x3+3x4- x5 = 8
x1≥0, x2≥0, x3≤0, x4 : irrestrita, x5 : irrestrita
2.4.1.2- Forma Canônica
Dizemos que um Problema de Programação Linear está na forma Canônica ou
na forma de Desigualdade do tipo “≤” se este se encontrar na seguinte forma:
Max. (ou Min.) z = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn ;
s.a.: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1
....
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm
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Na forma matricial:
max (ou min) z = c T x
s.a. Ax ≤ b
x ≥ 0
onde x,c ∈ ℜ n , b ∈ ℜ m , A ∈ ℜ mxn
Exemplo 2.4.2: Max z 2x1 + 3x2
s.a. 5x1 + x2 ≤ 0
3x1 + 2x2 ≤ 0
x1 + 4x2 ≤ 0
x1, x2 ≥ 0
2.4.1.3- Forma Padrão
Dizemos que um Problema de Programação Linear está na forma Padrão ou na
forma standard se este se encontrar na seguinte forma matricial:
max (ou min) z = c T x
s.a. Ax = b
x ≥ 0
onde x,c ∈ ℜ n , b ∈ ℜ m , A ∈ ℜ mxn
2.4.5- Transformação de PPL´s gerais na forma padrão.
Para transformar um Problema de Programação Linear (que se apresenta em
forma de um sistema de inequações e equações lineares) em um sistema de somente
equações lineares, deve-se fazer:
2.4.5.1) Se bi < 0:
Deve-se multiplicar a linha i do sistema por (-1).
Exemplo 2.4.3:
Max. 5x1 + 3x2 ≈ Max. 5x1 + 3x2
sa 2x1 + x2 ≤ 8 sa 2x1 + x2 ≤ 8
-x1 + 2x2 ≤ -3 (bi < 0) x1 - 2x2 ≥ 3
x1, x2 ≥ 0 x1, x2 ≥ 0
2.4.5.2) Se xi no modelo for livre de sinal ou irrestrito:
xi é qualquer ou livre de sinal xi ≥ 0 ou xi ≤ 0.
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Escreve-se xi em função de xi’ e xi” , ou seja:
Exemplo 2.4.4:
Observação:
xi = xi’ - xi” com xi’ ≥ 0 e xi” ≥ 0.
Max. 5x1 + 3x2 ≈ Max. 5x1 + 3(x2’ – x2’’)
sa 2x1 + x2 ≥ 8 sa 2x1 + (x2’ – x2’’) ≥ 8
x1 + 2x2 ≥ 3 x1 - 2(x2’ – x2’’) ≥ 3
x1 ≥ 0, x2 livre x1, x2’, x2’’ ≥ 0
x2 = x2’ – x2’’
Se xi’ = xi” xi =0.
Se xi’ > xi” xi > 0.
Se xi’ < xi” xi < 0.
2.4.5.3) Ocorrência de xi ≤ 0:
Troca-se xi por - xi’, onde xi’ ≥ 0.
Exemplo 2.4.5:
Max. 5x1 + 3x2 ≈ Max. 5x1 – 3x2’
sa 2x1 + x2 ≥ 8 sa 2x1 – x2’ ≥ 8
n
x1 + 2x2 ≥ 3 x1 – 2x2’ ≥ 3
x1 ≥ 0, x2 ≤ 0 x1, x2, x2’ ≥ 0
x2 = – x2’
2.4.5.4) Se: a x ≤ b ::
j=
1
ij
j
Soma-se xn+i no membro da esquerda da linha i do sistema e considera-se o
novo n = n + i (variável de folga), com xn+i ≥ 0.
i
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Exemplo 2.4.5:
Max. 5x1 + 3x2 ≈ Max. 5x1 + 3x2
sa 2x1 + x2 ≤ 8 sa 2x1 + x2 + x3 = 8
2.4.5.5) Se aijx j ≥ bi
n
j = 1
-x1 + 2x2 ≤-3 x1 - 2x2 + 0x3 + x4 = 3
x1, x2 ≥ 0 x1, x2 ,x3, x4 ≥ 0
Subtrair-se xn+i no membro da esquerda da linha i e considerar-se o novo n
= n + j (variável de excesso), com xn+i ≥ 0.
Exemplo 2.4.6:
Max. 5x1 + 3x2 ≈ Max. 5x1 + 3x2
sa 2x1 + x2 ≥ 8 sa 2x1 + x2 - x3 = 8
x1 + 2x2 ≥ 3 x1 - 2x2 - 0x3 - x4 = 3
x1, x2 ≥ 0 x1, x2 ,x3, x4 ≥ 0
2.4.5.6) Maximizar uma função objetivo é equivalente a minimizar o seu simétrico, ou
seja:
Máx. z = c T x Min. -z = -c T x.
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