Das variáveis complexas rumo às superfícies mínimas

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A curvatura média: H = k 1+k 2 2 , k 1 ,k 2 são as curvaturas principais. Mínima: H = 0 N(z) X(z) S Ricardo Sá Earp Das variáveis complexas rumo às superfícies mínimas PUC-RIO
Propriedade básicas de imersões mínimas conformes em R 3 É possivel mostrar que X : U ⊂ C → R 3 , w ∈ U ↦→ X (w) = (x 1 (w), x 2 (w), x 3 (w)) é uma imersão mínima conforme⇐⇒ X ww = 0, ou seja as coordenadas x 1 (w), x 2 (w), x 3 (w) são funções harmônicas da variável w. Assim, é possível determinar uma imersão mínima conforme X (w) = (x 1 (w), x 2 (w), x 3 (w)), em R 3 usando a famosa representação de Weierstrass (g(w), f (w) dw). É preciso levar em conta que g(w) a aplicação normal de Gauss é meromorfa e que as coordenadas da imersão são funções harmônicas, fazendo integração complexa e lembrando que a parte real de uma função holomorfa é harmônica: ⎛ ⎞ ∫ w (1 − g X (w) = ⎝R 2 ∫ )f w (1 + g 2 ∫ )f w dw, R i dw, R fg dw⎠ 2 2 w 0 w 0 w 0 Ricardo Sá Earp Das variáveis complexas rumo às superfícies mínimas PUC-RIO
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