Das variáveis complexas rumo às superfícies mínimas

Exemplos de superfícies mínimas de R 3
A família catenóide-helicóide : Neste caso
U = C \ {0}, g(w) = w, f (w) dw = e iθ /w 2 dw, quando θ = 0, obtemos
o catenóide X 0 (w), quando θ = π/2, obtemos o helicóide X π/2 (w):
Em geral X θ (w) = cos θX 0 (w) + sen θX π/2 (w) devido a representaçao de
Weierstrass dada por
X θ =
( ∫ w
R
1
( 1 ζ
− 1)e iθ
2 dζ, R i
2
∫ w
1
( 1 ζ
+ 1)e iθ
2 dζ, R
2
∫ w
1
)
e iθ /ζ dζ
Tal família é constituída de superfícies isométricas e é chamada de
associada. O catenóide é conjugado ao helicóide.
A metrica é dada por ds 2 = (1 + 1/|w| 2 ) 2 | dw| 2 /4|w| 4 e não depende de
θ.
Ricardo Sá Earp
Das variáveis complexas rumo às superfícies mínimas
PUC-RIO