Das variáveis complexas rumo às superfícies mínimas
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Propriedade básicas de imersões <strong>mínimas</strong> conformes em R 3<br />
É possivel mostrar que<br />
X : U ⊂ C → R 3 , w ∈ U ↦→ X (w) = (x 1 (w), x 2 (w), x 3 (w))<br />
é uma imersão mínima conforme⇐⇒ X ww = 0, ou seja as coordenadas<br />
x 1 (w), x 2 (w), x 3 (w) são funções harmônicas da variável w.<br />
Assim, é possível determinar uma imersão mínima conforme<br />
X (w) = (x 1 (w), x 2 (w), x 3 (w)), em R 3 usando a famosa representação de<br />
Weierstrass (g(w), f (w) dw).<br />
É preciso levar em conta que g(w) a aplicação normal de Gauss é<br />
meromorfa e que as coordenadas da imersão são funções<br />
harmônicas, fazendo integração complexa e lembrando que a parte real<br />
de uma função holomorfa é harmônica:<br />
⎛<br />
⎞<br />
∫ w<br />
(1 − g<br />
X (w) = ⎝R<br />
2 ∫<br />
)f<br />
w<br />
(1 + g 2 ∫<br />
)f<br />
w<br />
dw, R i<br />
dw, R fg dw⎠<br />
2<br />
2<br />
w 0 w 0<br />
w 0<br />
Ricardo Sá Earp<br />
<strong>Das</strong> <strong>variáveis</strong> <strong>complexas</strong> <strong>rumo</strong> <strong>às</strong> <strong>superfícies</strong> <strong>mínimas</strong><br />
PUC-RIO