Eletromagnetismo I Aula 26 Magnetização Um meio material ... - IFSC

Eletromagnetismo I
Aula 26
Magnetização
Um meio material magnético pode ser modelado por uma distribuição contínua
de dipolos magnéticos com densidade volumétrica dada por:
M (r) =
dm
d 3 r ,
onde dm é o momento dipolar magnético líquido no volume d 3 r do material. A
quantidade
M (r)
é a magnetização do material no ponto r. O potencial vetorial de um material
magnetizado é, portanto, dado por:
A (r) = µ ˆ
0
4π
= µ 0
4π
= µ 0
4π
− µ 0
4π
= µ 0
4π
− µ 0
4π
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
V
V
V
V
V
V
d 3 r M (r′ ) × (r − r ′ )
|r − r ′ | 3
d 3 r M (r ′ ) × ∇ ′ 1
|r − r ′ |
d 3 r ∇′ × M (r ′ )
|r − r ′ |
⎡
d 3 r ∇ ′ ×
M ⎤
⎣ (r′ )
|r − r ′ ⎦
|
d 3 r ∇′ × M (r ′ )
|r − r ′ |
d 3 r ˆn′ × M (r ′ )
,
|r − r ′ |
onde usamos o lema de Gauss na última igualdade. Definamos:
J M (r ′ ) = ∇ ′ × M (r ′ ) ,
j M (r ′ ) = M (r ′ ) × ˆn ′ ,
onde J M é a densidade de corrente de magnetização dentro do material magnetizado
e j M é a densidade de corrente superficial na superfície do material magnetizado.
Logo,
A (r) = µ ˆ
0
4π V
d 3 r J M (r ′ )
|r − r ′ | + µ ˆ
0
4π V
d 3 r j M (r ′ )
|r − r ′ | .
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Assim, um material magnetizado é equivalente a uma distribuição de corrente J M
interna ao material e uma corrente superficial j M .
Dentro do material magnetizado, portanto, temos:
ou seja,
∇ × B (r) = µ 0 [J (r) + J M (r)]
⎡
= µ 0 [J (r) + ∇ × M (r)] ,
∇ ×
B (r) ⎣ − M (r) ⎦ = J (r) .
µ 0
Definimos o campo intensidade magnética por:
e a Lei de Ampère agora fica:
H (r) =
⎤
B (r)
µ 0
− M (r)
∇ × H (r) = J (r) ,
onde J é a densidade de corrente livre, sobre a qual em geral temos controle,
enquanto que não temos controle direto sobre J M .
Empiricamente, sabemos que para materiais magnéticos podemos escrever:
M = χ m H,
onde χ m é a susceptibilidade magnética do material. Quando
χ m > 0,
dizemos que o material é paramagnético. Quando
χ m < 0,
dizemos que o material é diamagnético. Quando
χ m = χ m (H) ,
dizemos que o material é não linear. Nesse caso, há memória no material, pois
uma vez aplicado um campo H externo, o material fica magnetizado após o campo
externo ser desligado. Esse é o fenomeno da histerese.
Neste curso, vamos considerar materiais paramagnéticos, lineares, isotrópicos,
homogêneos e de baixa susceptibilidade magnética, isto é,
0 < χ m ≪ 1.
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Nesse caso, temos:
H =
B µ 0
− M
= B µ 0
− χ m H,
ou seja,
B = µ 0 (1 + χ m ) H
= µH,
onde
µ = µ 0 (1 + χ m )
é a permeabilidade magnética do material.
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