Programação Funcional e Concorrente com Scheme

notas de aula - Jerônimo C. Pellegrini
(test-stats test-data)
(1 1)
1.9.2 Laços e indução
Os procedimentos que desenvolvemos até agora eram simples o suficiente para que
possamos crer em sua corretude. Há algoritmos cuja corretude não é óbvia.
O procedimento power visto na seção 1.6.1 não é muito eficiente. O algoritmo que ele
usa é:
⎧
⎨1 se n = 0,
power(x, n) =
⎩x (power(x, n − 1)) caso contrário.
Quando chamado com argumentos x, n, fará n chamadas recursivas. O seguinte procedimento
também calcula a potência de números reais com expoentes inteiros, mas fará
log 2
(n) chamadas recursivas:
⎧
1 se n = 0,
⎪⎨
fast_power(x, n) = x ( fast_power(x, ⌊n/2⌋) 2) se n é ímpar,
⎪⎩ fast_power(x, ⌊n/2⌋) 2 caso contrário.
Não é imediatamente claro que este procedimento realmente calcula a potência x n , e
menos ainda que fará log 2
(n) chamadas recursivas. É importante, então, conseguirmos
demonstrar que o procedimento realmente retornará o valor que queremos. Provaremos
aqui a corretude do procedimento fast_power (ou seja, que fast_power(x, n) = x n para
todo x ∈ R e para todo n ∈ N). A prova é por indução em n.
A base de indução é trivialmente verdadeira: para n = 0, temos fast_power(x, n) = 1.
Nossa hipótese de indução é: fast_power(x, k) = x k para 0 k n − 1.
Versão Preliminar
[ 27 de outubro de 2010 at 15:47 ]
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