Corte transversal em vigas - Escola Superior Náutica Infante D ...

ESCOLA NÁUTICA INFANTE D. HENRIQUE
DEPARTAMENTO DE MÁQUINAS MARÍTIMAS
Engenharia de Máquinas Marítimas
MECÂNICA ESTRUTURAL - M39
Ficha de Trabalho Nº 5-A
Corte transversal em vigas
Victor Franco Correia
(Professor Adjunto)
Ano Lectivo 2001-2002

Corte transversal em vigas rectas
superior
Tensão de corte
transversal
Tensão de corte
longitudinal
inferior
A figura acima ilustra a distribuição das tensões de corte ao longo da secção transversal de
uma viga sujeita a carregementos transversais, que resulta na força interna V - esforço
transverso. Como resultado desta distribuição de tensões de corte transversais surgem
também as tensões de corte longitudinais que actuam ao longo de planos longitudinais da
viga, como ilustrado. Em particular, note-se que nos pontos B e C, situados na face superior e
inferior da viga, respectivamente, as tensões de corte longitudinais têm de ser nulas uma vez
que estas superfícies não estão sujeitas a qualquer força nesta direcção. Consequentemente as
tensões de corte transversal nestes pontos têm igualmente de ser nulas.
não deformada
deformada
No desenvolvimento das equações das tensões
devidas a flexão, foi assumido que as secções se
mantêm planas e perpendiculares ao eixo
longitudinal após deformação. Apesar de esta
consideração ser claramente violada quando
uma viga está sujeita a flexão e corte
transversal, pode normalmente considerar-se
que o empeno da secção transversal é
relativamente pequeno e por isso desprezável.
Esta consideração é perfeitamente aceitável
quando a viga apresenta uma baixa relação
espessura/comprimento mas pode resultar em
erros muito consideráveis para vigas espessas.

A obtenção de uma relação entre a distribuição das tensões de corte transversal, que actuam
na secção transversal da viga, e o esforço transverso resultante na secção é baseado no estudo
dM
das tensões de corte longitudinais e na relação V = . Considere-se a viga genérica
dx
representada na figura abaixo, sujeita a um carregamento arbitrário. Vamos efectuar o
equilibrio das forças horizontais que actuam num elemento infinitésimal de comprimento dx.
Na figura, são apenas indicadas as forças que interferem no equilibrio de forças horizontais,
tendo sido excluído por isso o esforço transverso V e V+dV.
Consideremos a área sombreada A’ cuja base tem a largura t. Então temos
∑ F x = 0 ! σ'
dA'
− σ dA'
− τ ( t dx)
= 0
∫
A'
∫
A'

∫
A'
M + dM
y dA'
−
I
∫
A'
M
I
y dA'
− τ ( t dx)
= 0
dM
⇒ ∫
I
A'
y dA'
= τ ( t dx)
Resolvendo em ordem a τ , obtém-se
1 dM
τ = ∫ y dA'
.
I t dx
A'
dM
Esta equação pode ser simplificada uma vez que V = . Por outro lado o integral
dx
∫ y dA'
representa o primeiro momento da área A’ em relação ao eixo neutro, que vai ser
A'
representado por
por
∫
Q =
∫
A'
y dA'
. Uma vez que a posição do centróide da área A’ é calculada
y ' = y dA'
/ A'
, temos também a relação Q = y' A'
. Substituindo, obtemos a expressão
A'
para a tensão de corte transversal na secção transversal da viga num ponto localizado a uma
distância y’ do eixo neutro (tensão média ao longo da largura t)
V Q
τ =
com Q = y dA'
= y'
A'
I t
∫ (1)
A'
sendo I o momento de inércia de toda a secção em torno do eixo neutro, t a largura ou
espessura da secção transversal no ponto em que vai ser calculada a tensão de corte τ . Q
será o primeiro momento da área A’ que é sempre uma parte (superior ou inferior) da secção
transversal da viga, definida a partir da secção onde se pretende calcular τ .
A obtenção desta equação foi efectuada através das tensões de corte longitudinais, mas aplicase
igualmente às tensões de corte transversais porque, como se verificou atrás, elas são
complementares e numericamente iguais.

Tensões de corte em vigas com secção transversal rectangular
Consideremos a viga com secção transversal rectangular, com largura b e altura h, como
representado na figura abaixo (a). A distribuição de tensões de corte ao longo da secção
transversal pode ser obtida através do cálculo da tensão de corte a uma distância y arbitrária a
partir do eixo neutro (b). Assim, vamos usar a área A’ para o cálculo de τ recorrendo à
equação (1).
(c)
(a)
(b)
Q =
y'
A'
=
⎛
⎜
⎝
y +
1
2
⎛ h
⎜ −
⎝ 2
⎞⎞
y ⎟⎟
⎠⎠
⎛
⎜
⎝
h ⎞
− y ⎟ b =
2 ⎠
1
2
⎛
⎜ h
⎜
⎝
4
2
− y
2
⎞
⎟ b
⎟
⎠
V
V Q
τ = =
I t
⎛ 2
1 ⎞
⎜ h 2
− y ⎟ b
2 ⎜ ⎟
⎝
4
⎠ 6V
=
⎛ 1 3 ⎞
⎜ bh ⎟ b b h
⎝12
⎠
3
⎛
⎜ h
⎜
⎝
4
2
− y
2
⎞
⎟
⎟
⎠
Este resultado mostra que a tensão de corte transversal apresenta uma distribuição parabólica
ao longo da secção transversal (c), variando desde zero para y = ±h / 2 até ao valor máximo
que ocorre no eixo neutro, y=0.
Para a secção rectangular, A = b h, temos para y=0
2
6V h 3V
3 V
τ max = = = .
3
4bh
2bh
2 A

Tensões de corte em vigas com secção I e H
Consideremos as vigas com secção transversal do
tipo I e H, (perfis IPE, IPN, HEA, HEB, etc.) como
ilustrado na figura (a). Recorrendo a uma análise
similar à que foi efectuada para a secção rectangular,
pode obter-se a distribuição das tensões de corte
transversais que actuam na secção transversal da
viga.
Os resultados estão ilustrados nas figuras (b) e (c).
Como no caso da secção rectangular, as tensões de
corte têm uma variação parabólica ao longo da altura
(h) da viga, dado que a secção transversal pode ser
tratada como três troços rectangulares. Um primeiro
com a largura do banzo (b), um segundo com uma
largura igual à espessura da alma (t w ) e de novo um
último troço com a largura do banzo.
Deve notar-se que existe uma descontinuídade na
tensão de corte na zona de junção da alma com o
banzo superior ou inferior, porque a largura t da
secção transversal varia bruscamente nestes pontos.
Em termos comparativos a alma ‘suporta’ uma
parcela muito superior da força de corte transversal
do que os banzos.
(ver exemplo numérico seguinte)
Banzos
(Flanges)
Alma
(Web)
Tensões de corte transversal
(b)
(a)
Distribuição das tensões de corte
transversais numa viga I ou H.
τ max

EXEMPLO 5.1
(Ref. Hibbeler)

EXEMPLO 5.2

Fluxos de Corte em perfis de parede fina
O fluxo de corte é definido como, q = τ t (força por unidade de comprimento). Substituindo
na equação das tensões de corte transversal vem
V Q
q = .
I
Admitamos que pretendemos obter a distribuição do fluxo de corte ao longo do banzo
superior direito da viga I ou H representada abaixo (a). Assim consideremos o fluxo de corte
q que actua no elemento sombreado, localizado a uma distância arbitrária x da linha de
simetria vertical da secção transversal (b).
Temos então,
Q = y´ A'
= d / 2 ⋅ ( b / 2 − x)
t , logo
V Q V ⋅ d / 2 ⋅ ( b / 2 − x)
t V t d ⎛ b ⎞
q = =
= ⎜ − x⎟
I
I
2 I ⎝ 2 ⎠
Verifica-se que esta distribuição apresenta uma variação linear em x, sendo q = 0 em x = b / 2
e
V t d b
qmax = em x = 0 .
I
b
4
q max b
Análises similares podem ser efectuadas
para os restantes banzos da viga,
permitindo obter a variação do fluxo de
corte que se ilustra na figura ao lado.
q max b

A força total de corte que é absorvida em cada parcela dos banzos pode ser obtida por
integração, uma vez que dF = q dx , temos
F b F b
F
b
=
q dx
b / 2
Vtd ⎛ b
2I
⎝ 2
⎞
x dx
⎠
∫ = ∫ ⎜ − ⎟ =
0
Vtdb
16 I
Na figura ao lado estão representadas as forças F b .
2
F b
F a =V
F b
Uma análise similar pode ser efectuada para a alma da viga (c). Neste caso temos
d ⎛ d
Q = ∑ y'
A'
= ⋅b t + ⎜ y +
2 ⎝
/ 2
− y ⎞ ⎛ d ⎞ btd
⎟ t ⎜ − y⎟
=
2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2
t ⎛
⎜
d
+
2 ⎜
⎝
4
2
− y
2
⎞
⎟
⎟
⎠
V Q
q =
I
=
V t
I
⎡bd
⎢
⎢ 2
⎣
1 ⎛
⎜ d
+
2 ⎜
⎝
4
2
− y
2
⎞⎤
⎟⎥
⎟
⎠⎥⎦
q max b
2 q maxb
O fluxo de corte, na alma da viga, apresenta
uma variação parabólica, tal como as tensões
de corte transversal, assumindo o valor de
q = 2 q max = V t d b / 2 I em y = d / 2
e o valor máximo de
b
q = qmax
= ( V t d / I ) /( b / 2 + d /8) em y = 0 . q max b
a
q maxa
2 q maxb
Para calcular a força absorvida na alma da viga, F a , calcula-se o integral
F
a
=
∫
q dy =
V t d
=
4I
2
d
/ 2
∫
−d
/ 2
⎛ d
⎜2b
+
⎝ 3
⎡ ⎛ 2
V t db 1
⎢ + ⎜ d
I ⎢ 2 2 ⎜
⎣ ⎝
4
⎞
⎟
⎠
− y
2
⎞⎤
⎟⎥
dy =
⎟
⎠⎥⎦
V t
I
⎡db
1 ⎛
⎢ ⎜ d
y +
⎢ 2 2 ⎜
⎣ ⎝
4
2
y −
3
y ⎞⎤
⎟⎥
3 ⎟
⎠⎥⎦
d
/ 2
−d
/ 2
=

É possível simplificar a expressão anterior notando que o momento de inércia da secção é
dado por
⎡
2
1 3 ⎛ d ⎞
⎤ 1
I = 2⎢
bt + bt⎜
⎟ ⎥ + td
⎢12
2 ⎥ 12
⎣
⎝ ⎠
⎦
3
desprezando o primeiro termo, uma vez que a espessura dos banzos, t, é pequena, temos
2
td ⎛ d ⎞
I ≈ ⎜2b
+ ⎟ .
4 ⎝ 3 ⎠
Substituindo na equação da força F a , vem
F
2
a ⇒ Fa
=
V t d ⎛ d ⎞
=
⎜2b
+ ⎟
2
td ⎛ d ⎞ ⎝ 3 ⎠
4 ⎜2b
+ ⎟
4 ⎝ 3 ⎠
V .
Este resultado era óbvio. A força na alma da viga tem de equilibrar o esforço transverso V.

Da análise anterior podemos retirar as seguintes conclusões:
1. O valor do fluxo de corte q varia ao longo da secção transversal, uma vez que o valor do
momento de área Q varia consoante a área A’ para a qual é calculado. Como se verificou,
q varia linearmente ao longo de troços que são perpendiculares à direcção de V (banzos) e
tem uma variação parabólica ao longo dos troços que são paralelos, ou eventualmente
inclinados em relação à direcção de V.
2. O fluxo de corte q tem sempre a direcção paralela às faces de um dado troço da secção
transversal da viga.
3. O sentido do fluxo de corte q é tal que aparenta ‘fluir’ ao longo da secção transversal: no
banzo superior no sentido da ligação à alma onde se juntam e ao longo desta na direcção
de V e posteriormente separando-se ‘fluindo’ para o exterior no banzo inferior.
Outros exemplos:

EXEMPLO 5.3

EXEMPLO 5.4

Centros de Corte
Até aqui temos assumido que o esforço transverso V era aplicado segundo um dos eixos
principais de inércia da secção que igualmente representava um eixo de simetria da secção
transversal. Vamos agora analisar o efeito que resulta da aplicação do esforço transverso
segundo um eixo que não é um eixo de simetria da secção. Como anteriormente vamos
assumir secções de parede fina. Um exemplo típico é a secção U representada abaixo (a),
encastrada numa extremidade e sujeita à força P. Se a força P for aplicada segundo o eixo
vertical que passa no centróide da secção transversal C, o perfil irá sofre uma flexão e
igualmente uma torção no sentido horário como ilustrado na figura (a). Para se perceber a
razão pela qual este fenómeno ocorre é necessário estudar a distribuição do fluxo de corte ao
longo dos banzos e da alma do perfil U.
q max a
q max b
q max b
Como no caso do perfil I estudado anteriormente, a distribuição do fluxo de corte ao longo
dos banzos é linear e ao longo da alma é parabólico. Quando estes fluxos de corte são
integrados ao longo das áreas dos banzos dão origem a forças resultantes F b em cada banzo e
a uma força F a = V = P na alma.
Se for efectuado o somatório dos momentos destas forças
em torno do ponto A, pode verificar-se que o momento
resultante das forças nos banzos é responsável pela torção
do perfil.
O perfil efectivamente torce no sentido horário devido às
forças internas de reacção que equilibram as forças F b
representadas.
Fb
F b

Para evitar a torção do perfil é necessário aplicara força P num ponto O localizado a uma
distância e da alma do perfil U (ver figura abaixo), por forma a equilibrar o momento
produzido pelas forças F b nos banzos.
Então o objectivo é
∑
M
= F
d
A b =
P e , ou
F d
e =
b
.
P
F b
F b
Utilizando análises similares às que foram efectuadas anteriormente é possível exprimir F b
em termos das dimensões da secção transversal da viga U e assim exprimir e em função da
geometria da secção transversal. O ponto O é designado por centro de corte (‘shear center /
flexural center’). Vejam-se os exemplos ilustrativos que se seguem.

EXEMPLO 5.5
(Ref. Hibbeler)

EXEMPLO 5.6