Corte transversal em vigas - Escola Superior Náutica Infante D ...
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ESCOLA NÁUTICA INFANTE D. HENRIQUE<br />
DEPARTAMENTO DE MÁQUINAS MARÍTIMAS<br />
Engenharia de Máquinas Marítimas<br />
MECÂNICA ESTRUTURAL - M39<br />
Ficha de Trabalho Nº 5-A<br />
<strong>Corte</strong> <strong>transversal</strong> <strong>em</strong> <strong>vigas</strong><br />
Victor Franco Correia<br />
(Professor Adjunto)<br />
Ano Lectivo 2001-2002
<strong>Corte</strong> <strong>transversal</strong> <strong>em</strong> <strong>vigas</strong> rectas<br />
superior<br />
Tensão de corte<br />
<strong>transversal</strong><br />
Tensão de corte<br />
longitudinal<br />
inferior<br />
A figura acima ilustra a distribuição das tensões de corte ao longo da secção <strong>transversal</strong> de<br />
uma viga sujeita a carreg<strong>em</strong>entos transversais, que resulta na força interna V - esforço<br />
transverso. Como resultado desta distribuição de tensões de corte transversais surg<strong>em</strong><br />
também as tensões de corte longitudinais que actuam ao longo de planos longitudinais da<br />
viga, como ilustrado. Em particular, note-se que nos pontos B e C, situados na face superior e<br />
inferior da viga, respectivamente, as tensões de corte longitudinais têm de ser nulas uma vez<br />
que estas superfícies não estão sujeitas a qualquer força nesta direcção. Consequent<strong>em</strong>ente as<br />
tensões de corte <strong>transversal</strong> nestes pontos têm igualmente de ser nulas.<br />
não deformada<br />
deformada<br />
No desenvolvimento das equações das tensões<br />
devidas a flexão, foi assumido que as secções se<br />
mantêm planas e perpendiculares ao eixo<br />
longitudinal após deformação. Apesar de esta<br />
consideração ser claramente violada quando<br />
uma viga está sujeita a flexão e corte<br />
<strong>transversal</strong>, pode normalmente considerar-se<br />
que o <strong>em</strong>peno da secção <strong>transversal</strong> é<br />
relativamente pequeno e por isso desprezável.<br />
Esta consideração é perfeitamente aceitável<br />
quando a viga apresenta uma baixa relação<br />
espessura/comprimento mas pode resultar <strong>em</strong><br />
erros muito consideráveis para <strong>vigas</strong> espessas.
A obtenção de uma relação entre a distribuição das tensões de corte <strong>transversal</strong>, que actuam<br />
na secção <strong>transversal</strong> da viga, e o esforço transverso resultante na secção é baseado no estudo<br />
dM<br />
das tensões de corte longitudinais e na relação V = . Considere-se a viga genérica<br />
dx<br />
representada na figura abaixo, sujeita a um carregamento arbitrário. Vamos efectuar o<br />
equilibrio das forças horizontais que actuam num el<strong>em</strong>ento infinitésimal de comprimento dx.<br />
Na figura, são apenas indicadas as forças que interfer<strong>em</strong> no equilibrio de forças horizontais,<br />
tendo sido excluído por isso o esforço transverso V e V+dV.<br />
Consider<strong>em</strong>os a área sombreada A’ cuja base t<strong>em</strong> a largura t. Então t<strong>em</strong>os<br />
∑ F x = 0 ! σ'<br />
dA'<br />
− σ dA'<br />
− τ ( t dx)<br />
= 0<br />
∫<br />
A'<br />
∫<br />
A'
∫<br />
A'<br />
M + dM<br />
y dA'<br />
−<br />
I<br />
∫<br />
A'<br />
M<br />
I<br />
y dA'<br />
− τ ( t dx)<br />
= 0<br />
dM<br />
⇒ ∫<br />
I<br />
A'<br />
y dA'<br />
= τ ( t dx)<br />
Resolvendo <strong>em</strong> ord<strong>em</strong> a τ , obtém-se<br />
1 dM<br />
τ = ∫ y dA'<br />
.<br />
I t dx<br />
A'<br />
dM<br />
Esta equação pode ser simplificada uma vez que V = . Por outro lado o integral<br />
dx<br />
∫ y dA'<br />
representa o primeiro momento da área A’ <strong>em</strong> relação ao eixo neutro, que vai ser<br />
A'<br />
representado por<br />
por<br />
∫<br />
Q =<br />
∫<br />
A'<br />
y dA'<br />
. Uma vez que a posição do centróide da área A’ é calculada<br />
y ' = y dA'<br />
/ A'<br />
, t<strong>em</strong>os também a relação Q = y' A'<br />
. Substituindo, obt<strong>em</strong>os a expressão<br />
A'<br />
para a tensão de corte <strong>transversal</strong> na secção <strong>transversal</strong> da viga num ponto localizado a uma<br />
distância y’ do eixo neutro (tensão média ao longo da largura t)<br />
V Q<br />
τ =<br />
com Q = y dA'<br />
= y'<br />
A'<br />
I t<br />
∫ (1)<br />
A'<br />
sendo I o momento de inércia de toda a secção <strong>em</strong> torno do eixo neutro, t a largura ou<br />
espessura da secção <strong>transversal</strong> no ponto <strong>em</strong> que vai ser calculada a tensão de corte τ . Q<br />
será o primeiro momento da área A’ que é s<strong>em</strong>pre uma parte (superior ou inferior) da secção<br />
<strong>transversal</strong> da viga, definida a partir da secção onde se pretende calcular τ .<br />
A obtenção desta equação foi efectuada através das tensões de corte longitudinais, mas aplicase<br />
igualmente às tensões de corte transversais porque, como se verificou atrás, elas são<br />
compl<strong>em</strong>entares e numericamente iguais.
Tensões de corte <strong>em</strong> <strong>vigas</strong> com secção <strong>transversal</strong> rectangular<br />
Consider<strong>em</strong>os a viga com secção <strong>transversal</strong> rectangular, com largura b e altura h, como<br />
representado na figura abaixo (a). A distribuição de tensões de corte ao longo da secção<br />
<strong>transversal</strong> pode ser obtida através do cálculo da tensão de corte a uma distância y arbitrária a<br />
partir do eixo neutro (b). Assim, vamos usar a área A’ para o cálculo de τ recorrendo à<br />
equação (1).<br />
(c)<br />
(a)<br />
(b)<br />
Q =<br />
y'<br />
A'<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
y +<br />
1<br />
2<br />
⎛ h<br />
⎜ −<br />
⎝ 2<br />
⎞⎞<br />
y ⎟⎟<br />
⎠⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
h ⎞<br />
− y ⎟ b =<br />
2 ⎠<br />
1<br />
2<br />
⎛<br />
⎜ h<br />
⎜<br />
⎝<br />
4<br />
2<br />
− y<br />
2<br />
⎞<br />
⎟ b<br />
⎟<br />
⎠<br />
V<br />
V Q<br />
τ = =<br />
I t<br />
⎛ 2<br />
1 ⎞<br />
⎜ h 2<br />
− y ⎟ b<br />
2 ⎜ ⎟<br />
⎝<br />
4<br />
⎠ 6V<br />
=<br />
⎛ 1 3 ⎞<br />
⎜ bh ⎟ b b h<br />
⎝12<br />
⎠<br />
3<br />
⎛<br />
⎜ h<br />
⎜<br />
⎝<br />
4<br />
2<br />
− y<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Este resultado mostra que a tensão de corte <strong>transversal</strong> apresenta uma distribuição parabólica<br />
ao longo da secção <strong>transversal</strong> (c), variando desde zero para y = ±h / 2 até ao valor máximo<br />
que ocorre no eixo neutro, y=0.<br />
Para a secção rectangular, A = b h, t<strong>em</strong>os para y=0<br />
2<br />
6V h 3V<br />
3 V<br />
τ max = = = .<br />
3<br />
4bh<br />
2bh<br />
2 A
Tensões de corte <strong>em</strong> <strong>vigas</strong> com secção I e H<br />
Consider<strong>em</strong>os as <strong>vigas</strong> com secção <strong>transversal</strong> do<br />
tipo I e H, (perfis IPE, IPN, HEA, HEB, etc.) como<br />
ilustrado na figura (a). Recorrendo a uma análise<br />
similar à que foi efectuada para a secção rectangular,<br />
pode obter-se a distribuição das tensões de corte<br />
transversais que actuam na secção <strong>transversal</strong> da<br />
viga.<br />
Os resultados estão ilustrados nas figuras (b) e (c).<br />
Como no caso da secção rectangular, as tensões de<br />
corte têm uma variação parabólica ao longo da altura<br />
(h) da viga, dado que a secção <strong>transversal</strong> pode ser<br />
tratada como três troços rectangulares. Um primeiro<br />
com a largura do banzo (b), um segundo com uma<br />
largura igual à espessura da alma (t w ) e de novo um<br />
último troço com a largura do banzo.<br />
Deve notar-se que existe uma descontinuídade na<br />
tensão de corte na zona de junção da alma com o<br />
banzo superior ou inferior, porque a largura t da<br />
secção <strong>transversal</strong> varia bruscamente nestes pontos.<br />
Em termos comparativos a alma ‘suporta’ uma<br />
parcela muito superior da força de corte <strong>transversal</strong><br />
do que os banzos.<br />
(ver ex<strong>em</strong>plo numérico seguinte)<br />
Banzos<br />
(Flanges)<br />
Alma<br />
(Web)<br />
Tensões de corte <strong>transversal</strong><br />
(b)<br />
(a)<br />
Distribuição das tensões de corte<br />
transversais numa viga I ou H.<br />
τ max
EXEMPLO 5.1<br />
(Ref. Hibbeler)
EXEMPLO 5.2
Fluxos de <strong>Corte</strong> <strong>em</strong> perfis de parede fina<br />
O fluxo de corte é definido como, q = τ t (força por unidade de comprimento). Substituindo<br />
na equação das tensões de corte <strong>transversal</strong> v<strong>em</strong><br />
V Q<br />
q = .<br />
I<br />
Admitamos que pretend<strong>em</strong>os obter a distribuição do fluxo de corte ao longo do banzo<br />
superior direito da viga I ou H representada abaixo (a). Assim consider<strong>em</strong>os o fluxo de corte<br />
q que actua no el<strong>em</strong>ento sombreado, localizado a uma distância arbitrária x da linha de<br />
simetria vertical da secção <strong>transversal</strong> (b).<br />
T<strong>em</strong>os então,<br />
Q = y´ A'<br />
= d / 2 ⋅ ( b / 2 − x)<br />
t , logo<br />
V Q V ⋅ d / 2 ⋅ ( b / 2 − x)<br />
t V t d ⎛ b ⎞<br />
q = =<br />
= ⎜ − x⎟<br />
I<br />
I<br />
2 I ⎝ 2 ⎠<br />
Verifica-se que esta distribuição apresenta uma variação linear <strong>em</strong> x, sendo q = 0 <strong>em</strong> x = b / 2<br />
e<br />
V t d b<br />
qmax = <strong>em</strong> x = 0 .<br />
I<br />
b<br />
4<br />
q max b<br />
Análises similares pod<strong>em</strong> ser efectuadas<br />
para os restantes banzos da viga,<br />
permitindo obter a variação do fluxo de<br />
corte que se ilustra na figura ao lado.<br />
q max b
A força total de corte que é absorvida <strong>em</strong> cada parcela dos banzos pode ser obtida por<br />
integração, uma vez que dF = q dx , t<strong>em</strong>os<br />
F b F b<br />
F<br />
b<br />
=<br />
q dx<br />
b / 2<br />
Vtd ⎛ b<br />
2I<br />
⎝ 2<br />
⎞<br />
x dx<br />
⎠<br />
∫ = ∫ ⎜ − ⎟ =<br />
0<br />
Vtdb<br />
16 I<br />
Na figura ao lado estão representadas as forças F b .<br />
2<br />
F b<br />
F a =V<br />
F b<br />
Uma análise similar pode ser efectuada para a alma da viga (c). Neste caso t<strong>em</strong>os<br />
d ⎛ d<br />
Q = ∑ y'<br />
A'<br />
= ⋅b t + ⎜ y +<br />
2 ⎝<br />
/ 2<br />
− y ⎞ ⎛ d ⎞ btd<br />
⎟ t ⎜ − y⎟<br />
=<br />
2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2<br />
t ⎛<br />
⎜<br />
d<br />
+<br />
2 ⎜<br />
⎝<br />
4<br />
2<br />
− y<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
V Q<br />
q =<br />
I<br />
=<br />
V t<br />
I<br />
⎡bd<br />
⎢<br />
⎢ 2<br />
⎣<br />
1 ⎛<br />
⎜ d<br />
+<br />
2 ⎜<br />
⎝<br />
4<br />
2<br />
− y<br />
2<br />
⎞⎤<br />
⎟⎥<br />
⎟<br />
⎠⎥⎦<br />
q max b<br />
2 q maxb<br />
O fluxo de corte, na alma da viga, apresenta<br />
uma variação parabólica, tal como as tensões<br />
de corte <strong>transversal</strong>, assumindo o valor de<br />
q = 2 q max = V t d b / 2 I <strong>em</strong> y = d / 2<br />
e o valor máximo de<br />
b<br />
q = qmax<br />
= ( V t d / I ) /( b / 2 + d /8) <strong>em</strong> y = 0 . q max b<br />
a<br />
q maxa<br />
2 q maxb<br />
Para calcular a força absorvida na alma da viga, F a , calcula-se o integral<br />
F<br />
a<br />
=<br />
∫<br />
q dy =<br />
V t d<br />
=<br />
4I<br />
2<br />
d<br />
/ 2<br />
∫<br />
−d<br />
/ 2<br />
⎛ d<br />
⎜2b<br />
+<br />
⎝ 3<br />
⎡ ⎛ 2<br />
V t db 1<br />
⎢ + ⎜ d<br />
I ⎢ 2 2 ⎜<br />
⎣ ⎝<br />
4<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
− y<br />
2<br />
⎞⎤<br />
⎟⎥<br />
dy =<br />
⎟<br />
⎠⎥⎦<br />
V t<br />
I<br />
⎡db<br />
1 ⎛<br />
⎢ ⎜ d<br />
y +<br />
⎢ 2 2 ⎜<br />
⎣ ⎝<br />
4<br />
2<br />
y −<br />
3<br />
y ⎞⎤<br />
⎟⎥<br />
3 ⎟<br />
⎠⎥⎦<br />
d<br />
/ 2<br />
−d<br />
/ 2<br />
=
É possível simplificar a expressão anterior notando que o momento de inércia da secção é<br />
dado por<br />
⎡<br />
2<br />
1 3 ⎛ d ⎞<br />
⎤ 1<br />
I = 2⎢<br />
bt + bt⎜<br />
⎟ ⎥ + td<br />
⎢12<br />
2 ⎥ 12<br />
⎣<br />
⎝ ⎠<br />
⎦<br />
3<br />
desprezando o primeiro termo, uma vez que a espessura dos banzos, t, é pequena, t<strong>em</strong>os<br />
2<br />
td ⎛ d ⎞<br />
I ≈ ⎜2b<br />
+ ⎟ .<br />
4 ⎝ 3 ⎠<br />
Substituindo na equação da força F a , v<strong>em</strong><br />
F<br />
2<br />
a ⇒ Fa<br />
=<br />
V t d ⎛ d ⎞<br />
=<br />
⎜2b<br />
+ ⎟<br />
2<br />
td ⎛ d ⎞ ⎝ 3 ⎠<br />
4 ⎜2b<br />
+ ⎟<br />
4 ⎝ 3 ⎠<br />
V .<br />
Este resultado era óbvio. A força na alma da viga t<strong>em</strong> de equilibrar o esforço transverso V.
Da análise anterior pod<strong>em</strong>os retirar as seguintes conclusões:<br />
1. O valor do fluxo de corte q varia ao longo da secção <strong>transversal</strong>, uma vez que o valor do<br />
momento de área Q varia consoante a área A’ para a qual é calculado. Como se verificou,<br />
q varia linearmente ao longo de troços que são perpendiculares à direcção de V (banzos) e<br />
t<strong>em</strong> uma variação parabólica ao longo dos troços que são paralelos, ou eventualmente<br />
inclinados <strong>em</strong> relação à direcção de V.<br />
2. O fluxo de corte q t<strong>em</strong> s<strong>em</strong>pre a direcção paralela às faces de um dado troço da secção<br />
<strong>transversal</strong> da viga.<br />
3. O sentido do fluxo de corte q é tal que aparenta ‘fluir’ ao longo da secção <strong>transversal</strong>: no<br />
banzo superior no sentido da ligação à alma onde se juntam e ao longo desta na direcção<br />
de V e posteriormente separando-se ‘fluindo’ para o exterior no banzo inferior.<br />
Outros ex<strong>em</strong>plos:
EXEMPLO 5.3
EXEMPLO 5.4
Centros de <strong>Corte</strong><br />
Até aqui t<strong>em</strong>os assumido que o esforço transverso V era aplicado segundo um dos eixos<br />
principais de inércia da secção que igualmente representava um eixo de simetria da secção<br />
<strong>transversal</strong>. Vamos agora analisar o efeito que resulta da aplicação do esforço transverso<br />
segundo um eixo que não é um eixo de simetria da secção. Como anteriormente vamos<br />
assumir secções de parede fina. Um ex<strong>em</strong>plo típico é a secção U representada abaixo (a),<br />
encastrada numa extr<strong>em</strong>idade e sujeita à força P. Se a força P for aplicada segundo o eixo<br />
vertical que passa no centróide da secção <strong>transversal</strong> C, o perfil irá sofre uma flexão e<br />
igualmente uma torção no sentido horário como ilustrado na figura (a). Para se perceber a<br />
razão pela qual este fenómeno ocorre é necessário estudar a distribuição do fluxo de corte ao<br />
longo dos banzos e da alma do perfil U.<br />
q max a<br />
q max b<br />
q max b<br />
Como no caso do perfil I estudado anteriormente, a distribuição do fluxo de corte ao longo<br />
dos banzos é linear e ao longo da alma é parabólico. Quando estes fluxos de corte são<br />
integrados ao longo das áreas dos banzos dão orig<strong>em</strong> a forças resultantes F b <strong>em</strong> cada banzo e<br />
a uma força F a = V = P na alma.<br />
Se for efectuado o somatório dos momentos destas forças<br />
<strong>em</strong> torno do ponto A, pode verificar-se que o momento<br />
resultante das forças nos banzos é responsável pela torção<br />
do perfil.<br />
O perfil efectivamente torce no sentido horário devido às<br />
forças internas de reacção que equilibram as forças F b<br />
representadas.<br />
Fb<br />
F b
Para evitar a torção do perfil é necessário aplicara força P num ponto O localizado a uma<br />
distância e da alma do perfil U (ver figura abaixo), por forma a equilibrar o momento<br />
produzido pelas forças F b nos banzos.<br />
Então o objectivo é<br />
∑<br />
M<br />
= F<br />
d<br />
A b =<br />
P e , ou<br />
F d<br />
e =<br />
b<br />
.<br />
P<br />
F b<br />
F b<br />
Utilizando análises similares às que foram efectuadas anteriormente é possível exprimir F b<br />
<strong>em</strong> termos das dimensões da secção <strong>transversal</strong> da viga U e assim exprimir e <strong>em</strong> função da<br />
geometria da secção <strong>transversal</strong>. O ponto O é designado por centro de corte (‘shear center /<br />
flexural center’). Vejam-se os ex<strong>em</strong>plos ilustrativos que se segu<strong>em</strong>.
EXEMPLO 5.5<br />
(Ref. Hibbeler)
EXEMPLO 5.6