UNICAMP Lista de exerc´ıcios No. - DECOM - Unicamp

IE 009 - Processamento Adaptativo de SinaisQuestões 8 e 9:1o. Semestre de 2008Prof. Paulo CardieriFEEC - UNICAMPLista de exercícios No. 2Exercícios 8 e 12Considere o processo aleatório AR {u(n)} real de ordem três:u(n) + a 1 u(n − 1) + a 2 u(n − 2) + a 3 u(n − 3) = v(n), (1)onde v(n) é um processo ruído branco de média nula e variância σv 2 = 1. Oscoeficientes a i são dados por:a 1 = 0, 3a 2 = −0, 36a 3 = −0, 108.As raizes da equação característica deste processo AR são −0.6, 0.6 e −0.3. Para oprocesso acima, responda as seguintes questões.8(a) Determine a sequência de autocorrelação de {u(n)} na forma3∑r(k) = C m p k m, (2)onde p m , m = 1, 2, 3, são os zeros da equação característica do processo {u(n)}.Mostre a expressão de r(k) e um gráfico com os valores de r(k) (para o intervalo0 ≤ k ≤ 15).8(b) Determine a densidade espectral de potência S u (ω) do processo {u(n)} (apresenteS u (ω) na forma de um gráfico). Determine os valores máximo e mínimode S u (ω).9. Nesta parte do exercício verificaremos o comportamento dos valores máximo emínimo dos autovalores da matriz autocorrela cão R do processo {u(n)} paradiversos tamanhos da matriz R. Para os valores L = 2, ..., 70 (escolha os valoresintermediários de forma conveniente), construa a matriz R de tamanho L × Le determine os valores máximo e mínimo dos autovalores de R. Mostre, em1m=1

Comente as condições assumidas nesta derivação. (Sugestão: escreva y(n)como função apenas das amostras do processo v(n).)11(a). Determine os valores ótimos dos coeficientes do filtro F (z), segundo o critériodo mínimo erro quadrático médio.11(b). Derive a expressão do erro quadrático médio mínimo ɛ min , ou seja, ɛ quandoos coeficientes de F (z) são ajustados para os seus valores ótimos calculadosacima. Comente sobre esta expressão.11(c). Calcule os valores mínimos do erro quadrático médio para valores de L nafaixa L = 1, ..., 15, para α = 0, 75. Apresente este resultado na forma de umgráfico.12. Para L = 2 (ou seja, F (z) com apenas dois coeficientes) e α = 0, 75, apresentea superfície de erro médio quadrático para valores de w 0 e w 1 próximos dosseus valores ótimos.Sugestão: Utilize MATLAB, em particular a função mesh para a geração dosgráficos.3