+ v - DECOM - Unicamp

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPCapítulo 5Teoremas de Rede

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMP5.1 Circuitos LinearesPropriedade da Proporcionalidade:Se x e y são variáveis associadas a um elemento de dois terminais, entãoeste elemento é dito linear se a multiplicação de x por uma constante Kresulta na multiplicação de y pela mesma constante.Exemplo de elementos lineares:onde a é uma constante.yy = axdydt==axdxadtCircuito é linear se ele contém somente fontes independentes e/ou elementoslineares.

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPAs equações que descrevem um circuito linear são obtidas pela aplicação dasleis de Kirchhoff para tensões e correntes.Estas equações são, por exemplo, da forma:av1 1+ a2v2+ ! + an vn=fonde f é a soma algébrica das tensões das fontes independentes no laço ea i = 0, -1 ou +1.

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPExemplo:2 Ωv g1+–i 1v 3+ v 1 – i 2 +5 Ω v 2–+– v g2+ –3i 62Lei de Kirchhoff:v+ v− v= v g − v1 2 3 1 ga v a v + a v =1 1 + 2 2 3 3fEntão, a 1 = +1, a 2 = +1, a 3 = -1 e f = v g1 – v g2 .Note que:a Kv a Kv + a Kv =11 + 2 2 3 3KfO mesmo vale para a equação de correntes.

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPExemplo: Propriedade de Proporcionalidade2 Ωiv g1+-4 Ω i g2Lei de Kirchhoff de tensões:2( i − i g2 ) + 4i = v g1 i = v g16 + i g23v g1 [V] i g2 [A] i [A]18 3 436 6 8

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPExemplo:2 Ωiv g++-v–R (não linear) v = i 2 = i⋅iR = iR s = 2 + iCalculo da corrente que sai do terminal positivo da fonte para:a) v g = 8 [V]2( 2 + i) i ⇒ v = 2iivg = Rsi=g +228 = 2i+ i ⇒ i + 2i− 8 = 0 ⇒ i=2[ A]b) v g = 16 [V]i2+ 2i−16= 0 ⇒ i= 3,1231[ A]v g dobrou mas i não!Proporcionalidade não se aplica!

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMP5.2 SuperposiçãoCircuitos lineares com mais de 1 entrada (fonte).Propriedade de linearidade torna possível obter a resposta nestes circuitos pelaanálise de apenas uma entrada.Exemplo:2 Ωiv g1+-4 Ω i g2Lei de Kirchhoff de tensões:2( i − i g2 ) + 4i = v g1 i = v g16 + i g23

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPSe i 1 é a componente de i devido apenas a v g1 , isto é, i g2 = 0, então:2( i − i g2 ) + 4i = v g12( i 1− 0) + 4i 1= v g1i 1= v g16Se i 2 é a componente de i devido apenas a i g2 , isto é, v g1 = 0, então:2( i − i g2 ) + 4i = v g12( i 2− i g2 ) + 4i 2= 0 i 2= i g232( i 1− 0) + 4i 1= v+g12( i 2− i g2 ) + 4i 2= 02"#( i 1+ i 2 ) − i $g2 % + 4 ( i 1 + i 2) = v g1i = i 1+ i 2 i = v g12( i − i g2 ) + 4i = v 6 + ig23g1

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPProcesso alternativo para obtenção de i:2 Ωv g1+-2 Ωi 14 Ωv g 1i 1 =6i 24 Ω i g2igi 2 = ig2=2 + 4 32 2v g 1 ig2i = +6 3

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPSuperposição:Em qualquer circuito resistivo linear contendo duas ou mais fontesindependentes, qualquer tensão (ou corrente) do circuito pode ser calculadacomo a soma algébrica de todas as tensões (ou correntes) individuais causadaspelas atuação isolada de cada fonte independente, isto é, com todas as outrasfontes independentes mortas.Obs.: As equações envolvidas no circuito são de primeiro grau (lineares).

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPExemplo: Circuito com três fontes independentesv g1 = 6 V+ -2 Ω b 3 Ωac+ v -+6 Ω v g3 = 18 Vi-g2 = 2 AResolução tradicional:dnó de referênciav g1= 6 !" V # $i g2= 2 !" A # $v g3=18 !" V # $tensão no nó b :tensão no nó c :tensão no nó a :vvvg3g3g3− v− v + vg1Equação nodal (nó genérico):vg3− v + vg1− v + v+6 22 1v = vg1+ vg3 6g13v = 4 + 3− 2 = 5v− − i3− ig2"# V $ %g2= 0

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPResolução por superposição:6 V+ -6 V+ -a6 Ω2 Ωb3 Ω+ v 1 -ca2 Ω6 Ωb, d3 Ω+ v 1 -cdR eq=2 ⋅ 62 + 6=32[ Ω]6 V+ -Divisão de tensão:a3/2 Ωb, d3 Ω+ v 1 -cv 1= 3 ⋅6 = 4 "3# V $ %2 + 3

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPa2 Ωb3 Ω+ v 2 -c6 Ω 2 A3 resistores em paralelo:dac-6 Ω 2 Ω 3 Ω v 2+2 Abd1Req=16+12+13= 1⇒Req= 1[ Ω]v 2= −R eq⋅ 2 = −1⋅ 2 = −2 #$ V % &

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPa6 Ω2 Ω18 Vb+-3 Ω+ v 3 -cd3 Ω // 2 Ω em série com 6 Ω:3 Ω2 Ωa, c b6 Ω- v 3 +18 V+-R eq= 2⋅32 + 3 = 6 5#Ω $ % &v 3=65 ⋅18 = 3 "6# V $ %5 + 6dv = v 1+ v 2+ v 3= 4 − 2 + 3 = 5 V "# $ %

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPExemplo: Circuito com uma fonte dependente. Potência entregue a R = 3 Ω.i12 V– +1 Ω3 Ω+–+v–2i V6 AA potência não é uma combinação linear de tensões ou correntes.p =2v3Superposição não pode ser diretamente aplicada para a potência.Mas superposição pode ser aplicada para a tensão.

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPi 1+1 Ω12 V– +3 Ω+v 1––2i 1 V−12 + v + 2i1+ 1i1v1 = 3⋅i 11 =0−12 + 3i 1+ 2i 1+1i 1= 0 ⇒ i 1= 12 6 = 2 A #$ % &v 1= 3⋅i 1= 6 "# V $ %

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMP1 Ωi 23 Ω++v 2–6 A–2i 2 Viv+ 6 =2⇒ v2= 3i232 +182ii2 + v2= −1⋅i2⇒ v2= −32v− v= 32+ 18⇒v232 =9[ V]v = v 1+ v 2= 6 + 9 =15 ! V153" # $ = = 75 [ W]2p = v32

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMP5.3 Teoremas de Thévenin e de NortonO uso destes teoremas permite a troca de um circuito inteiro, visto de seusterminais, por um circuito equivalente, composto de uma fonte e um resistor.Circuito Linear Aia+v-bCircuito BCircuito A: fontes independentes e/ou dependentes, resistores.Circuito B: pode também ter elementos não lineares.Restrição adicional: nenhuma fonte dependente do circuito A pode sercontrolada por uma tensão ou corrente do circuito B e vice-versa.

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPPode-se substituir o circuito A por um circuito equivalente:• uma fonte e um resistor,• relações de tensão e corrente nos terminais a-b sejam as mesmasEm relação ao circuito A, pode-se trocar o circuito B por uma fonte de tensão:iaCircuito Linear A+v-+-vbAplicando o princípio da superposição ao circuito linear obtido, temos:i = i 1 +i sc

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPi 1 = corrente produzida pela fonte de tensão v com o circuito A morto (todas asfontes independentes foram mortas).i 1aCircuito A morto+-vbR th = resistência equivalente de ALei de Ohm:i1=−vR th

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPi sc = corrente de curto circuito produzida por alguma fonte no circuito A com afonte v morta (curto-circuitada).i scaCircuito AbDescreve o circuito A, no caso geral:vi = i 1 + isc= − + iRthsci = i +scvRthSuponha que os terminais a-b estejam abertos, entãoCircuito Ai = 0v0 = −Rv = v oc tensão de circuito abertoab+v oc_octh+ isc⇒ voc=Rthiscththvi sc =Rocthv vi + =oc⇒ v = −Rth⋅i+ vR Roc

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPCircuito equivalente de Thévenin é descrito pela equação:v = −R⋅i+th v ocsendo a tensão v e corrente i orientadas como na figura:Circuito Linear Aia+v-bCircuito BNote que v é a soma de dois termos representando 2 elementos em sériecujas tensões somadas dão o valor v.

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPCircuito equivalente de Thévenin do circuito A:iR thav oc+-+v- bv = −R⋅i+th v oc

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPCircuito equivalente de Norton do circuito A:iai sc+R thvi =scvRocthb- vv = −Rth⋅i+ voc⇒ i = − +RthvRocthvi = − + iRthscCircuito equivalente de Norton é o dual do Thévenin.

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPExemplo: Circuito de Thévenin e de Norton6 V- +2 Ωa+i2 A6 Ω3 Ω v R–bObter i em termos da carga R.

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPCircuito morto e obtenção R th :2 Ω a6 Ω 3 ΩbR thR th3⋅6= 2 +3 + 6= 4Ω

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPObtenção v oc :v oc - 66 V- +v oc2 Ωa+2 A6 Ω 3 Ωv oc–bv oc − 6 v+6 3oc= 2iR thav oci= 6[ V]v=ocR + Rthv oc+-+v- bR

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPCircuito equivalente de Thévenin:4 Ωav oc = 6 V+-+viR-b6i = R +4[ A]

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPCircuito equivalente de Norton:R th= 4Ωvoc6⇒ 6 = 4isc⇒ i = = 1,54= Rthiscsc[ A]ai1,5 A4 ΩRbi =⎛⎛⎜⎜⎝⎝4 ⎞⎞⎟⎟ ⋅1,5=R + 4 ⎠⎠6R + 4[ A]

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPExemplo: Circuito equivalente de Norton.2i 1 V- +3 Ωai 110 A4 Ω 6 ΩCircuito morto e obtenção R th :2i 1 V- +bProblema3 Ω iai 1+4 Ω 6 Ωv- bR th

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPR =thviocsc2i 1 V- +3 Ωai 2i 1i sc10 A4 Ω 1 6 Ω 2i2 = 10 − i1−i sc!#"$#− 4i− 2i1+ 6i1−2 =0−6i 1+ 3i sc= 0 ⇒ i sc= 2i 1i sc= 5 !" A # $b( 10 − i − i ) − 2i+ 6i04 1 sc 1 1 =

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMP2i 1 V- +3 Ωai 1 +10 A4 Ω 6 Ωv oc- bv oc= 6 ⋅i 1− ( 10 − i ) − 2i+ 6i0i sc= 5 A !" # $4 1 1 1 =−40 + 4i 1− 2i 1+ 6i 1= 0 ⇒ i 1= 408 = 5 #$ A%&v oc= 6⋅5 = 30 "# V $ %R th= v oc= 30i = 6 ! Ω5 " # $sc

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPCircuito equivalente de Norton:ia5 A6 Ω+vb-

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPExemplo: Circuito equivalente de Thévenin2i 1 V- +ai 14 Ω 6 ΩbPor inspeção: v oc = 0 e i sc = 0 (não há fontes independentes).Não podemos achar R th através de v oc = R th i scSolução: Excitar o circuito com uma fonte nos terminais a e b e calcular R th .

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMP2i 1 Vv – 2i 15- +vachutei 1+4 Ω 6 Ωv-b1 AR th =v1v − 2 i1 v 12 + 6i+ = 1⇒v =14 6v = 6i 1R thv = 3 [ V]= 3 [ Ω]R th3 ΩCircuito equivalente de Thévenin

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMP5.4 Fontes PráticasNa prática uma fonte de tensão fornece uma tensão V somente quando seusterminais estão sem carga (abertos).Quando uma corrente flui através de seus terminais a tensão fornecida é menorque V.Modelo:Fonte de tensãopráticaR g++v g-viR Lv = vg −RCircuito aberto (i = 0):v = v ggi- Curto circuito (v = 0):vi =Rgg

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPFixados os valores de v g e R g , a carga R L determina o valor da corrente que fluinos terminais.Assim, corrente de carga é i =Rgvg+ RLE a tensão de saída év=RL⋅ i=RLRgvg+RLvfonte idealv gfonte práticaR L

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPPode-se substituir a fonte de tensão prática por uma fonte de corrente prática,reescrevendo a equação:Fazendov = vg− Rgi ⇒ i =i =gvRggvRgg−vRgObtemosi= ig−vRgv = RL ⋅iFonte decorrentepráticaa+ii=RgRg+RLigi gR gvR L- b

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPFixados os valores de i g e R g , a carga R L determina o valor da corrente que fluinos terminais.ifonte ideali gfonte práticaR Li =RgRg+RLig

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPExemplo: Encontrar a corrente i.3 Ωi4 Ω 1 Ω+32 V-6 Ω 6 Ω2 Ω4 AResolução pelo método de troca sucessiva de fontes:i4 Ω 1 Ω2 Ω32/3 A 6 Ω 6 Ω3 Ω+-8 V

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPi4 Ω 3 Ω32/3 A 2 Ω 6 Ω+-8 V2 Ωi4 Ω+64/3 V-6 Ω3 Ω8/3 A

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMP2 Ωi4 Ω+64/3 V-2 Ω8/3 A2 Ωi4 Ω2 Ω64/3 V+-+-16/3 Vi =64 16−3 32 + 4 + 2=2[ A]

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPExemplo: Combinação de fontes em série.2 Ωi4 Ω2 Ω64/3 V+-+-16/3 Vi8 Ω16 V+-i16 = =82[ A]

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMP5.5 Transferência Máxima e PotênciaFonte de tensãopráticaR g++v g-v-iR LPotência p L entregue ao resistor R L :pL= i2⋅ RL⎛⎛= ⎜⎜⎜⎜⎝⎝Rgvg+ RL⎞⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎠2RLQueremos maximizar p L !!!

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPTensão v g e R g fixas, então,dpdRLL==ddRL⎡⎡⎛⎛⎢⎢⎜⎜⎢⎢⎜⎜⎣⎣⎝⎝R( Rg− RL) v( R + R )ggvg+ R2g3LL⎞⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎠= 02RL⎤⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎦=v2g⎡⎡⎢⎢⎢⎢⎣⎣( )2Rg+ RL− 2( Rg+ RL)( )4R + RgLRL⎤⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎦R L = R gd2pL2LdRRL2vg= −8 3= RRgg

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPTeorema da Máxima Transferência de Potência:• a máxima potência é entregue por uma fonte prática quando a carga R Lpossui valor igual a resistência interna da fonte.Potência máxima que uma fonte de tensão prática pode entregar a uma carga édada por:p22⎛⎛ vg⎞⎞ ⎛⎛ vg⎞⎞L max = ⎜⎜ ⎟⎟ RL= ⎜⎜ ⎟⎟ Rg=⎜⎜ Rg+ R ⎟⎟ ⎜⎜L Rg+ R ⎟⎟g⎝⎝⎠⎠⎝⎝⎠⎠v2g4RgPotência máxima que uma fonte de corrente prática pode entregar a uma cargaé dada por:2gigRp L max =4

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPPode-se estender o Teorema da Máxima Transferência de Potência para umcircuito linear:§ máxima potência é obtida em um dado par de terminais quando estesterminais possuir carga igual à resistência de Thévenin do circuito.

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPExemplo: Potência máxima do circuito abaixo conectando nos terminais a-buma carga com a resistência de Thévenin:2i 1 V- +3 Ωai 110 A4 Ω 6 ΩbR L = R th= 6[ Ω]i sc= 5[ A]

EA-513 – Circuitos Elétricos IDECOM-FEEC-UNICAMPCircuito equivalente de Norton:a5 A6 Ω R L = 6 ΩbPotência fornecida para a carga:⎛⎛ Rgigp = ⎜⎜⎜⎜⎝⎝RL+ Rg⎞⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎠2RLp900= R LL=900( R + 6) 2( 6 + 6)2⋅6= 37,5[ W]Qualquer outro valor de R L fornece potência menor.Por exemplo: Se R L = 5 Ω ⇒ p = 37,19 [W]; se R L = 7 Ω ⇒ p = 37,28 [W]