Coleção IME-ITA_2017 - Matemática - Livro 3

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Matemática – Livro 3 2 4 6 2n 1 cos cos cos cos . 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2 14. (URSS) Prove que a) sensen sen 2 sen n n1 n sen sen 2 2 sen 2 b) coscos cos 2 cos n n1 n sen cos 2 2 sen 2 15. Mostre que: a) 2 k 1acosa cos2 a cosk k2 k1 a cosk a cos(k 1) acos 1 2 a 2acos1 0 16. Mostre que 72 é o menor ângulo positivo que satisfaz simultaneamente às equações: 1cosx cos2x cos3x cos4x 0 senx sen2x sen3x sen4x 0 17. (IME 1992) Mostre que 2n 1x sen 1 cosx cos2x cosnx 2 . 2 x 2sen 2 18. Obter o conjunto imagem de f(x) = 3cos2x + 4sen2x. 19. Sejam f e g funções definidas por f(x) = cos 2x e g(x) = sen 2 (x) 1. Então f(x) + g(x) é: a) cos 2 (x) 1 b) sem x (2cos x + sem x) – 1 c) sen 2 (x) d) sen 2 (x) e) 0 idêntida a: a) sec 2x b) tg 2x c) tg 4x d) não sei 21. Dado sen(18 ) ( 5 1) / 4 , calcular y sen 2 (24 ) sen 2 (6 ) . 22. (ITA 2001) Para x no intervalo [0, / 2] , o conjunto de todas as soluções da inequação sen(2 x) sen(3 x ) 0 é o intervalo? 2 23. (FEFAAP 1977) Provar que [ sen( A) cos( A)] 4 4cos 4 ( A ) . 4 24. (Iezzi) Calcular o valor numérico da expressão: 13 11 y sen .cos . 23 12 25. (Iezzi) Provar que 1 cos(40 ).cos(80 ).cos(160 ) 8 . 26. (FGV 1973) A expressão sen(x) cos(x) é idêntica a: a) 2. sen( x ) 4 b) 1 . ( ) 2 sen x 2 c) 2. sen( x ) 4 d) 2. sen( x ) 2 e) 3. sen( x ) 3 27. (IME 1999) Demonstrar que é isósceles o triângulo ABC cujos ângulos A e B verificam a equação A 3 B B 3 A sen( ).cos ( ) sen ( ).cos ( ) 2 2 2 2 20. (CESCEA 1973) A expressão: 32 tgx tgx 1tgx 1tgx é
IME/ITA 28. (ITA 2010) Se os números reais e , com 4 3 , 0 , maximizam a soma sen( ) sen ( ) , então é igual a a) d) 3 3 5 8 b) e) 2 3 7 12 29. (ITA 2004) Prove que, se os ângulos internos , e de um triângulo satisfazem a equação sen3 sen3 sen 3 0 , então, pelo menos, um dos três ângulos , ou é igual a 60°. EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 30. (ITA 1996) Seja a ∈ , 4 4 um número real dado. A solução (x 0 , y 0 ) do sistema de equações senax cosay tga cosax senay 1 é tal que: a) x 0 .y 0 = tga b) x 0 .y 0 = - sec a c) x 0 .y 0 = 0 d) x 0 .y 0 = sen 2 a e) x 0 .y 0 = sen a 31. (ITA 1998) A soma das raízes da equação ( 3 )tgx - ( 3 )sen2x + cos2x = 0, que pertencem ao intervalo [0, 2π], é: 17 16 15 a) b) c) 4 3 4 d) 14 3 e) 13 4 c) 3 5 32. (ITA 2003) Encontre todos os valores de a ∈ - , 2 2 para os quais a equação na variável real x, arctg 2 - 1 + x e 2 x e 2 = a, admite solução. + arctg 2 - 1 - 33. (ITA 2004) Prove que, se os ângulos internos α, β e γ de um triângulo satisfazem a equação: sen (3α) + sen (3β) + sen (3γ) = 0, então, pelo menos, um dos três ângulos α, β ou γ é igual a 60 ° . 34. (ITA 2005) Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 3 2 cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa é cm 3 . Determine os ângulos deste triângulo. 35. (ITA 2006) O conjunto solução de (tg 2 x - 1)(1 - cotg 2 x) = 4, x ≠ kπ/2, k ∈ Z, é a) {(π/3) + (kπ/4), k ∈ Z} b) {(π/4) + (kπ/4), k ∈ Z} c) {(π/6) + (kπ/4), k ∈ Z} d) {(π/8) + (kπ/4), k ∈ Z} e) {(π/12) + (kπ/4), k ∈ Z} 36. (ITA 2006) Seja f : R R definida por f(x) = 77 sen {5 [x + ( ) ] } e seja B o conjunto 6 dado por B = {x ∈ R : f(x) = 0}. Se m é o maior elemento de B ⋂ (-∞, 0) e n é o menor elemento de B ⋂ (0, +∞), então m + n é igual a 2 a) b) c) 15 15 30 2 d) e) 15 15 37. (ITA 2008) A soma de todas as soluções distintas da equação cos 3x + 2 cos 6x + cos 9x = 0, que estão no intervalo 0 ≤ x ≤ ð/2, é igual a a) 2π b) (23/12) π c) (9/6) π d) (7/6) π e) (13/12) π 38. (ITA 2010) Considere a equação 2 2 x x (3 2cos x) 1 tg 6tg 0. 2 2 a) Determine todas as soluções x no intervalo [0, [. b) Para as soluções encontradas em a), determine cotg x. 33
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