Beer e Johnston - Mecânica Vetorial para Engenheiros - Dinâmica - 9 ed. - eBook

Capítulo 11 Cinemática de partículas 611
11.3 Determinação do movimento de uma partícula
Vimos na seção anterior que o movimento de uma partícula é tido como
conhecido se a posição dessa partícula for conhecida para cada valor do
tempo t. Na prática, entretanto, um movimento é raramente definido por
uma relação entre x e t. Mais frequentemente, as condições do movimento
serão especificadas pelo tipo de aceleração que a partícula possui.
Por exemplo, um corpo em queda livre terá uma aceleração constante,
dirigida para baixo e igual a 9,81 m/s 2 ; uma massa presa a uma mola que
foi estirada terá uma aceleração proporcional ao alongamento instantâneo
da mola medido em relação à posição de equilíbrio; etc. Em geral, a
aceleração da partícula pode ser expressa como uma função de uma ou
mais das variáveis x, v e t. Para determinar a coordenada de posição x em
termos de t, será então necessário efetuar duas integrações sucessivas.
Vamos considerar três classes comuns de movimento:
1. a f(t). A aceleração é uma dada função de t. Resolvendo (11.2) para
dv e substituindo a por f(t), escrevemos
dv a dt
dv f(t) dt
Integrando os membros, obtemos a equação
∫
que define v em função de t. Deve-se notar, entretanto, que uma
constante arbitrária será introduzida como um resultado da integração.
Isto é devido ao fato de que existem muitos movimentos que
correspondem à aceleração dada a f(t). Para definir de forma unívoca
o movimento da partícula, é necessário especificar as condições
iniciais do movimento, isto é, o valor v 0
da velocidade e o valor x 0
da
coordenada de posição em t 0. Substituindo as integrais indefinidas
por integrais definidas com os limites inferiores correspondentes
às condições iniciais t 0 e v v 0
e com os limites superiores correspondentes
a t t e v v, escrevemos
que fornece v em termos de t.
A Eq. (11.1) pode agora ser resolvida para dx,
dx v dt
e a expressão obtida anteriormente substituída para v. Ambos os membros
são, então, integrados: o membro do lado esquerdo em relação a x,