Transformari liniare
Transformari liniare
Transformari liniare
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Transformări<br />
1 No¸tiunea de transformare liniară<br />
Proprietă¸ti. Opera¸tii<br />
Nucleul ¸si imagine<br />
Rangul ¸si defectul unei transformări<br />
2 Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Matricea unei transformări<br />
Rela¸tia dintre rang ¸si defect<br />
Schimbarea matricei unei transformări <strong>liniare</strong><br />
3 Valori ¸si vectori proprii<br />
Diagonalizarea matricei unei transformări<br />
Polinom caracteristic<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Proprietă¸ti. Opera¸tii<br />
Nucleul ¸si imagine<br />
Rangul ¸si defectul unei transformări<br />
Fie V ¸si W spa¸tii <strong>liniare</strong> peste Γ, unde Γ = R sau complexe<br />
Γ = C.<br />
Defini¸tie<br />
Se nume¸ste transformare (operator) liniară func¸tia f : V → W<br />
dacă satisface<br />
1 f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ V<br />
2 f (α · u) = α · f (u), ∀u ∈ V , α ∈ Γ.<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Proprietă¸ti<br />
Propozi¸tie<br />
Proprietă¸ti. Opera¸tii<br />
Nucleul ¸si imagine<br />
Rangul ¸si defectul unei transformări<br />
Dacă f este o transformare liniară, atunci au loc<br />
1. f (0V ) = 0W<br />
2. f (−u) = −f (u), ∀u ∈ V .<br />
Demonstra¸tie. 1. f (0V ) = f (0 · 0V ) = 0 · f (0V ) = 0W .<br />
2. Din u + (−u) = 0V deducem f (u) + f (−u) = 0W , adică<br />
f (−u) = −f (u).<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Spa¸tiul transformărilor <strong>liniare</strong><br />
Proprietă¸ti. Opera¸tii<br />
Nucleul ¸si imagine<br />
Rangul ¸si defectul unei transformări<br />
Fie V ¸si W spa¸tii <strong>liniare</strong> peste Γ, unde Γ = R sau complexe<br />
Γ = C. Notăm<br />
Teoremă<br />
L(V , W ) = {f : V → W , f transformare liniară}.<br />
L(V , W ) este spa¸tiu liniar peste Γ.<br />
Demonstra¸tie.<br />
Definim opera¸tiile<br />
f , g ∈ L(V , W ) (f + g)(u) = f (u) + g(u), ∀u ∈ V .<br />
f ∈ L(V , W ), α ∈ Γ, (α · f )(u) = α · f (u).<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Alte opera¸tii cu transformări<br />
Teoremă<br />
Proprietă¸ti. Opera¸tii<br />
Nucleul ¸si imagine<br />
Rangul ¸si defectul unei transformări<br />
Fie U, V , W spa¸tii <strong>liniare</strong> peste Γ ¸si f ∈ L(U, V ), g ∈ L(V , W ).<br />
Atunci g ◦ f ∈ L(U, W )<br />
Teoremă<br />
Fie f ∈ L(U, V ) o transformare liniară bijectivă. Atunci există<br />
f −1 ¸si f −1 ∈ L(V , U).<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Nucleul ¸si imagine<br />
Defini¸tie<br />
Proprietă¸ti. Opera¸tii<br />
Nucleul ¸si imagine<br />
Rangul ¸si defectul unei transformări<br />
Numim nucleu al transformării <strong>liniare</strong> f : V → W mul¸timea<br />
Defini¸tie<br />
Ker f = {u ∈ V | f (u) = 0W .}<br />
Numim imagine a transformării <strong>liniare</strong> f : V → W mul¸timea<br />
Im f = {v ∈ W | ∃u ∈ V , f (u) = v}.<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Proprietă¸ti<br />
Propozi¸tie<br />
Fie f : V → W o transformare liniară atunci<br />
1. Ker f este subspa¸tiu liniar în V .<br />
2. Im f este subspa¸tiu liniar în W .<br />
Propozi¸tie<br />
Proprietă¸ti. Opera¸tii<br />
Nucleul ¸si imagine<br />
Rangul ¸si defectul unei transformări<br />
Fie f : V → W o transformare liniară atunci<br />
1. f este injectivă dacă ¸si numai dacă Ker f = {0V }<br />
2. f este surjectivă dacă ¸si numai dacă Im f = W .<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Teoremă<br />
Proprietă¸ti. Opera¸tii<br />
Nucleul ¸si imagine<br />
Rangul ¸si defectul unei transformări<br />
1. Dacă f ∈ L(V , W ) atunci f transformă un sistem de vectori<br />
liniar dependen¸ti într-un sistem de vectori liniar dependen¸ti.<br />
2. Dacă f ∈ L(V , W ) este injectivă atunci f transformă un<br />
sistem de vectori liniar independen¸ti într-un sistem de vectori<br />
liniar independen¸ti.<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Proprietă¸ti. Opera¸tii<br />
Nucleul ¸si imagine<br />
Rangul ¸si defectul unei transformări<br />
Demonstra¸tie. 1. Presupunem că u1, u2, · · · , un sunt liniar<br />
dependen¸ti; există αi ∈ Γ nu to¸ti nuli astfel ca<br />
n<br />
Aplicăm f ¸si avem<br />
f (<br />
i=1<br />
n<br />
αiui) =<br />
i=1<br />
αiui = 0V .<br />
n<br />
αif (ui) = 0W .<br />
2. Presupunem că u1, u2, ·, un sunt liniar independen¸ti. Fie<br />
n<br />
αif (ui) = 0W ,<br />
care implică<br />
n<br />
i=1<br />
f (<br />
i=1<br />
n<br />
αiui) = 0W ,<br />
i=1<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
Morfisme<br />
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Defini¸tie<br />
Proprietă¸ti. Opera¸tii<br />
Nucleul ¸si imagine<br />
Rangul ¸si defectul unei transformări<br />
Fie f : V → W o transformare liniară atunci f se nume¸ste<br />
izomorfism dacă f este bijectivă.<br />
Dacă V = W , atunci f se nume¸ste endomorfism. Notam L(V )<br />
mul¸timea tuturor endomorfismelor.<br />
Endomorfismul liniar f : V → V se nume¸ste automorfism, dacă<br />
f este bijectivă.<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Proprietă¸ti. Opera¸tii<br />
Nucleul ¸si imagine<br />
Rangul ¸si defectul unei transformări<br />
Rangul ¸si defectul unei transformări<br />
Defini¸tie<br />
Numim rangul transformării f : V → W <strong>liniare</strong> dimensiunea<br />
subspa¸tiului Im f .<br />
Defini¸tie<br />
Numim defectul transformării f : V → W <strong>liniare</strong> dimensiunea<br />
subspa¸tiului Ker f .<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Matricea unei transformări<br />
Rela¸tia dintre rang ¸si defect<br />
Schimbarea matricei unei transformări <strong>liniare</strong><br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Fie V , W două spa¸tii <strong>liniare</strong> finit dimensionale, astfel ca<br />
dim V = n, dim W = m, m, n ∈ N.<br />
Fie B1 = {e1, e2, · · · , en} o bază în V ¸si B2 = {g1, g2, · · · , gm} o<br />
bază în W . Au loc<br />
f (e1) = a11f1 + a21f2 + · · · + am1fm<br />
f (e2) = a12f1 + a22f2 + · · · + am2fm<br />
· · ·<br />
f (en) = a1nf1 + a2nf2 + · · · + amnfm<br />
Rela¸tiile sunt echivalente cu:<br />
f (ei) =<br />
m<br />
ajigj, ∀i = 1, · · · , n. (1)<br />
j=1<br />
Transformări <strong>liniare</strong><br />
.
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Defini¸tie<br />
Matricea<br />
A = A B 1,B 2<br />
f<br />
Matricea unei transformări<br />
Rela¸tia dintre rang ¸si defect<br />
Schimbarea matricei unei transformări <strong>liniare</strong><br />
= (aji), j = 1, · · · m, i = 1, · · · , n<br />
se nume¸ste matricea transformării în perechea de baze B1, B2.<br />
Observa¸tie. Matricea are pe coloane coordonatele vectorilor<br />
f (ei) în baza din W .<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Teoremă<br />
Matricea unei transformări<br />
Rela¸tia dintre rang ¸si defect<br />
Schimbarea matricei unei transformări <strong>liniare</strong><br />
Între mul¸timea transformărilor <strong>liniare</strong> L(V , W ) ¸si mul¸timea<br />
matricelor Mm,n(Γ) există o coresponden¸tă bijectivă.<br />
Demonstra¸tie.⇒ Fie f ∈ L(V , W ), unde<br />
dim(V ) = n, dim(W ) = m. Dacă folosim nota¸tiile predente,<br />
avem pentru orice u ∈ V , w ∈ W<br />
u =<br />
n<br />
xiei w =<br />
i=1<br />
m<br />
yjfj. (2)<br />
j=1<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Demonstra¸tie.<br />
Au loc<br />
Deducem<br />
w = f (u) = f (<br />
=<br />
n<br />
m<br />
n<br />
xiei) =<br />
i=1<br />
xi ajifj =<br />
i=1 j=1 j=1<br />
yj =<br />
Matricea unei transformări<br />
Rela¸tia dintre rang ¸si defect<br />
Schimbarea matricei unei transformări <strong>liniare</strong><br />
n<br />
xif (ei) =<br />
i=1<br />
m n<br />
( ajixi)fj<br />
i=1<br />
n<br />
ajixi, j = 1, · · · , m (3)<br />
i=1<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Dacă notăm Y =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
y1<br />
y2<br />
· · ·<br />
ym<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
X =<br />
Matricea unei transformări<br />
Rela¸tia dintre rang ¸si defect<br />
Schimbarea matricei unei transformări <strong>liniare</strong><br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
x1<br />
x2<br />
· · ·<br />
xn<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ , rela¸tia (3) devine<br />
Y = A · X. (4)<br />
⇐ Oricare ar fi matricele<br />
A ∈ Mm,n(Γ), X ∈ Mn,1(Γ), Y ∈ Mm,1(Γ), rela¸tia (4)<br />
define¸ste o transformare liniară.<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Consecin¸te<br />
Matricea unei transformări<br />
Rela¸tia dintre rang ¸si defect<br />
Schimbarea matricei unei transformări <strong>liniare</strong><br />
1. Tranformarea identic nulă, f : V → W , f (u) = 0W , are<br />
matricea Om,n<br />
2. Transformarea identică f : V → V , f (u) = u are matricea<br />
A = In.<br />
3. Dacă f , g ∈ L(V , W ) au matricele A, B ∈ Mm,n(Γ) atunci<br />
f + g are matricea A + B ∈ Mm,n(Γ).<br />
4. Dacă α ∈ Γ, f ∈∈ L(V , W ), iar f are matricea A ∈ Mm,n(Γ),<br />
atunci transformarea α · f are matricea α · A ∈ Mm,n(Γ).<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Compunerea transformărilor<br />
Matricea unei transformări<br />
Rela¸tia dintre rang ¸si defect<br />
Schimbarea matricei unei transformări <strong>liniare</strong><br />
5. Fie U, V , W spa¸tii <strong>liniare</strong> peste Γ cu<br />
dim(U) = n, dim(V ) = m, dim(W ) = p, m, n, p ∈ N.<br />
Fie f ∈ L(U, V ), g ∈ L(V , W ). Are sens compunerea<br />
g ◦ f ∈ L(U, W ).<br />
f g<br />
U → V → W<br />
↓ ↓<br />
A ∈ Mm,n(Γ) B ∈ Mp,m(Γ)<br />
Atunci transformării g ◦ f îi corespunde matricea<br />
B · A ∈ Mp,n(Γ).<br />
Transformări <strong>liniare</strong><br />
.
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Inversarea unei transfromări<br />
Matricea unei transformări<br />
Rela¸tia dintre rang ¸si defect<br />
Schimbarea matricei unei transformări <strong>liniare</strong><br />
6. Dacă V = W ¸si f ∈ L(V ) cu matricea A ∈ Mn(Γ) este o<br />
transformare inversabilă, atunci transformării f −1 îi corespunde<br />
matricea A −1 .<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Rela¸tia dintre rang ¸si defect<br />
Matricea unei transformări<br />
Rela¸tia dintre rang ¸si defect<br />
Schimbarea matricei unei transformări <strong>liniare</strong><br />
Fie V , W spa¸tii <strong>liniare</strong> peste Γ cu dim(U) = n ¸si dim(W ) = m.<br />
Teoremă<br />
Fie f ∈ L(U, W ) atunci are loc<br />
dim(Im(f )) + dim(ker f ) = n.<br />
Demonstra¸tie. Fie A ∈ Mm,n(Γ) matricea lui f într-o pereche<br />
de baze. Atunci f (u) = w înseamnă<br />
A · X = Y .<br />
Dacă w ∈ Im(f ) atunci sistemul de mai jos este compatibil<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
a11x1 + · · · + a1n = y1<br />
a21x1 + · · · + a2n = y2<br />
· · ·<br />
am1x1 + · · · + amn = ym<br />
Transformări <strong>liniare</strong><br />
.
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Sistemul este echivalent cu<br />
Matricea unei transformări<br />
Rela¸tia dintre rang ¸si defect<br />
Schimbarea matricei unei transformări <strong>liniare</strong><br />
C1x1 + · · · + Cnxn = Y , (5)<br />
unde C1, · · · , Cn sunt coloanele matricei A.<br />
Rela¸tia (5) exprimă faptul că Y ∈ Sp{C1, · · · , Cn}.<br />
¸Stim că rang(A) = dim(Sp{C1, · · · , Cn}), deci<br />
rang(A) = dim(Im(f )).<br />
Pe de altă parte ker f reprezintă mul¸timea solu¸tiilor unui sistem<br />
liniar omogen, cu dimensiunea n − rang(A), de unde concluzia.<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Teoremă<br />
Matricea unei transformări<br />
Rela¸tia dintre rang ¸si defect<br />
Schimbarea matricei unei transformări <strong>liniare</strong><br />
Fie f ∈ L(V ) cu dim(V ) = n ¸si B = {ei, · · · , en} o bază în V , în<br />
care f are matricea A ∈ Mn(Γ).<br />
Fie B ′ = {e ′ i , · · · , e′ n} o altă bază în V , în care f are matricea<br />
A ′ ∈ Mn(Γ).<br />
Fie C matricea de schimbare de la baza B la B ′ .<br />
Are loc<br />
A ′ = C −1 · A · C. (6)<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Demonstra¸tie.<br />
Calculăm în două moduri f (e ′ j ).<br />
Rezultă<br />
f (e ′ j ) =<br />
=<br />
f (e ′ j<br />
n<br />
) = f (<br />
n<br />
n<br />
i=1<br />
cijei) =<br />
Matricea unei transformări<br />
Rela¸tia dintre rang ¸si defect<br />
Schimbarea matricei unei transformări <strong>liniare</strong><br />
n<br />
cijf (ei) =<br />
i=1<br />
cij akiek =<br />
i=1 k=1<br />
k=1 i=1<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n n<br />
( akicij)ek.<br />
n n<br />
(<br />
a<br />
i=1<br />
′ ije′ i = a<br />
i=1<br />
′ ij ckiek = ckia<br />
k=1<br />
k=1 i=1<br />
′ ij )ek.<br />
A · C = C · A ′ .<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Defini¸tie<br />
Diagonalizarea matricei unei transformări<br />
Polinom caracteristic<br />
Fie V un spa¸tiu liniar peste Γ, unde Γ = R sau C ¸si f ∈ L(V ).<br />
λ ∈ Γ se nume¸ste valoare proprie dacă există u ∈ V , u = 0V<br />
astfel ca<br />
f (u) = λu. (7)<br />
Vectorul u se nume¸ste vector propriu.<br />
Mul¸timea tuturor vectorilor proprii se nume¸ste spectrul<br />
operatorului ¸si se notează cu σ(f ).<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Diagonalizarea matricei unei transformări<br />
Polinom caracteristic<br />
Teoremă<br />
Fie λ ∈ Γ o valoare proprie.<br />
1. Mul¸timea Vλ = {u ∈ V |f (u) = λu} este subspa¸tiu liniar în V .<br />
2. Oricare ar fi u ∈ Vλ are loc f (u) ∈ Vλ.<br />
Demonstra¸tie. 1. Dacă u, u ′ ∈ Vλ rezultă că u + u ′ ∈ Vλ. Dacă<br />
α ∈ Vλ, u ∈ Vλ atunci αu ∈ Vλ.<br />
2. Fie u ∈ V astfel ca f (u) = λu. Rezultă f (f (u)) = λf (u).<br />
Vλ se nume¸ste subspa¸tiu propriu.<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Teoremă<br />
Diagonalizarea matricei unei transformări<br />
Polinom caracteristic<br />
Dacă λ, λ ′ ∈ Γ sunt valori proprii distincte, iar u, u ′ sunt vectorii<br />
proprii corespunzatori, atunci u ¸si u ′ sunt liniar independen¸ti.<br />
Demonstra¸tie. Dacă u, u ′ ar fi liniar dependen¸ti, ar exista<br />
α ∈ Γ, α = 0 astfel ca u ′ = αu, Aplicând f deducem :<br />
De unde<br />
λ ′ αu = λ ′ u ′ = f (u ′ ) = f (αu) = αf (u) = αλu<br />
α(λ ′ − λ)u = 0V<br />
ceea ce antrenează , prin absurd, λ = λ ′ .<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Teoremă<br />
Diagonalizarea matricei unei transformări<br />
Polinom caracteristic<br />
Dacă V este spa¸tiu liniar n-dimensional peste Γ, atunci orice<br />
f ∈ L(V ) are cel pu¸tin o valoare proprie în Γ.<br />
Demonstra¸tie. Fie A ∈ Mn(Γ) matricea transformării într-o<br />
bază fixată B = {e1, · · · , en}. Dacă u = x1e1 + · · · + xnen din<br />
condi¸tia f (u) = λu găsim<br />
⎛<br />
⎜<br />
A ⎜<br />
⎝<br />
x1<br />
x2<br />
· · ·<br />
xn<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
= λ ⎜<br />
⎝<br />
x1<br />
x2<br />
· · ·<br />
xn<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Ecua¸tia caracteristică<br />
Se ob¸tine<br />
⎛<br />
a11 − λ<br />
⎜ a21 ⎜<br />
⎝ · · ·<br />
a12<br />
a22 − λ<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1n<br />
a2n<br />
an1 an2 · · · ann − λ<br />
Diagonalizarea matricei unei transformări<br />
Polinom caracteristic<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
x1<br />
x2<br />
· · ·<br />
xn<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Sistemul are solu¸tie nebanală dacă<br />
<br />
a11 <br />
− λ<br />
a21 <br />
<br />
· · ·<br />
an1<br />
a12<br />
a22 − λ<br />
an2<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
<br />
a1n <br />
<br />
a2n<br />
<br />
<br />
= 0<br />
<br />
ann − λ <br />
(8)<br />
Ecua¸tia (8) se nume¸ste ecua¸tie caracteristică.<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Forma diagonală<br />
Defini¸tie<br />
Diagonalizarea matricei unei transformări<br />
Polinom caracteristic<br />
Spunem că o transformare liniară admite forma diagonală,<br />
dacă există o bază în care matricea este diagonală.<br />
Teoremă<br />
Dacă spa¸tiul liniar V admite o bază de vectori proprii, atunci în<br />
această bază transformarea liniară admite formă diagonală.<br />
Demonstra¸tie. Fie λi ∈ Γ valori proprii ¸si {u1, · · · , un} o bază<br />
de vectori proprii. Atunci f (ui) = λiui, adică matricea are pe<br />
diagonală valorile proprii λi, iar în rest 0.<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Lema lui Gersgorin<br />
Lemă<br />
Fie A ∈ Mn(C). Pentru orice i = 1, · · · , n fie<br />
Are loc<br />
ri =<br />
n<br />
j=1,j=i<br />
Diagonalizarea matricei unei transformări<br />
Polinom caracteristic<br />
|aij| Di = {z ∈ C | |z − aii| ≤ ri}.<br />
σ(A) ⊂<br />
n<br />
Di,<br />
unde σ(A) este spectrul transformării <strong>liniare</strong> de matrice A.<br />
i=1<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Diagonalizarea matricei unei transformări<br />
Polinom caracteristic<br />
Demonstra¸tie. Fie λ o valoare proprie, astfel ca există<br />
xi, i = 1, · · · , n nu to¸ti nuli astfel ca<br />
⎛<br />
A ⎝<br />
x1<br />
· · ·<br />
xn<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ = λ ⎝<br />
x1<br />
· · ·<br />
xn<br />
⎞<br />
⎠ .<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Diagonalizarea matricei unei transformări<br />
Polinom caracteristic<br />
Fie i astfel ca |xi| = max(|x1|, · · · , |xn|) de unde xi = 0. Ecua¸tia<br />
i este<br />
ai1x1 + · · · + (aii − λ)xi + · · · + ain = 0.<br />
Deducem<br />
de unde<br />
Urmează<br />
(aii − λ)xi = −<br />
|aii − λ||xi| ≤<br />
|aii − λ| ≤<br />
n<br />
j=1,j=i<br />
n<br />
j=1,j=i<br />
n<br />
j=1,j=i<br />
aijxj,<br />
|aij||xj|.<br />
|aij| |xj|<br />
≤ ri.<br />
|xi|<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Polinom caracteristic<br />
Defini¸tie<br />
Fie A ∈ Mn(Γ). Polinomul<br />
se nume¸ste polinom caracteristic.<br />
Teoremă<br />
Diagonalizarea matricei unei transformări<br />
Polinom caracteristic<br />
P(λ) = det(A − λIn) (9)<br />
Fie A ∈ Mn(Γ) ¸si P(λ) polinomul caracteristic. Atunci au loc:<br />
1. A ¸si A t au acela¸si polinom carateristic.<br />
2.<br />
P(λ) = (−1) n λ n + (−1) n−1 λ n−1 (a11 + a22 + · · · + ann) + · · · + an<br />
unde an = det(A).<br />
3. Date A, B ∈ Mn(Γ) ¸si C ∈ Mn(Γ) nesingulară astfel ca<br />
B = C −1 AC atunci A ¸si B au acela¸si polinom caracteristic.<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Demonstra¸tie<br />
Diagonalizarea matricei unei transformări<br />
Polinom caracteristic<br />
P(λ) = (a11−λ)(a22−λ) · · · (ann−λ)+polinom de grad ≤ n−2 =<br />
(−1) n λ n + (−1) n−1 (a11 + a22 + · · · + ann)λ n−1 + · · · + an.<br />
Dacă λ = 0 deducem an = det(A).<br />
Consecin¸te.<br />
1 λ1 + λ2 + · · · + λn = Tr(A)<br />
2. λ1 · λ2 · · · λn = det(A).<br />
Transformări <strong>liniare</strong>
No¸tiunea de transformare liniară<br />
Transformări <strong>liniare</strong> între spa¸tii finit dimensionale<br />
Valori ¸si vectori proprii<br />
Teorema Cayley-Hamilton<br />
Teoremă<br />
Diagonalizarea matricei unei transformări<br />
Polinom caracteristic<br />
Fie A ∈ Mn(Γ) ¸si P polinomul caracteristic. Atunci<br />
P(A) = 0.<br />
Transformări <strong>liniare</strong>