rezumat - Universitatea Babes - Bolyai, Cluj - Napoca

Aproximarea punctului fix 18
pentru care se obt¸ine relat¸ia:
d(x1, x2) ≤ ψ −1 (d(x1, f(x1)) + d(x2, f(x2))) (2.1.5)
unde ψ : R+ → R+ , ψ(t) := t − ϕ(t) este o funct¸ie strict crescătoare ¸si surjectivă.
Folosind acestă relat¸ie putem demonstra următoarele leme:
Lema 2.1.4 (J. Matkowski [72], I.A. Rus [124], T.A. Lazăr [67]) Fie (X, d) un
spat¸iu metric ¸si fie f : X → X o ϕ-contract¸ie. Atunci, card(F ix(f)) ≤ 1.
Lema 2.1.5 (J. Matkowski [72], I.A. Rus [124], T.A. Lazăr [67]) Fie (X, d) un
spat¸iu metric ¸si fie f : X → X o ϕ-contract¸ie. Presupunem că ψ : R+ → R+,
ψ(t) = t − ϕ(t) este un operator continuu, strict crescător ¸si surjectiv. Atunci
∀ x ∈ X, ¸sirul aproximat¸iilor succesive (f n (x))n∈N este un ¸sir Cauchy.
Rezultatul de bază privind cazul ϕ-contract¸iilor este următoarea teoremă (a se
vedea pentru rezultate de acest fel ¸si lucrările: J. Matkowski [72], I.A. Rus [124] ¸si
J. Jachymski, I. Jó´zwik [58]).
Teorema 2.1.3 (J. Matkowski [72], I.A. Rus [124], T.A. Lazăr [67]) Fie (X, d) un
spat¸iu metric complet, f : X → X o ϕ-contract¸ie ¸si dacă funct¸ia ψ : R+ → R+,
ψ(t) = t − ϕ(t) este continuă, strict crescătoare ¸si surjectivă, atunci f are un punct
fix unic x ∗ ∈ X ¸si pentru ∀ x ∈ X ¸sirul (f n (x))n∈N converge către x ∗ . Mai mult,
avem că
d(f n (x), x ∗ ) ≤ ψ −1 (ϕ n (d(x, f(x)))), pentru fiecare x ∈ X.
cu Regula de oprire: Pentru x ∈ X luat arbitrar, considerăm n ∈ N ∗ ce
satisface relat¸ia ϕ n (d(x, f(x))) < ψ(ɛ). Atunci, ∀ɛ > 0 avem că d(f n (x), x ∗ ) < ɛ.