rezumat - Universitatea Babes - Bolyai, Cluj - Napoca

More documents

Recommendations

Info

Capitolul 4 Teoreme de punct fix pe mult¸imi înzestrate cu două metrici Scopul acestui capitol este de a prezenta o teorie a punctului fix pentru operatori univoci ¸si multivoci definit¸i pe spat¸ii înzestrate cu două metrici. 4.1 Teoreme de punct fix pentru operatori univoci Începem acest paragraf prin prezentarea not¸iunii de problemă de punct fix bine pusă pentru operatori univoci. Definit¸ia 4.1.1 (Reich-Zaslawski, I.A. Rus [127]) Fie (X, d) un spat¸iu metric, Y ⊆ X ¸si f : Y → X. Spunem că problema de punct fix este bine pusă pentru f relativ la d , dacă F ix(f) = x ∗ ¸si oricare ar fi un ¸sir (xn) n∈(N) din Y a.î. d(xn, f(xn)) → 0 când n → ∞, rezultă că ¸sirul xn d → x ∗ când n → ∞. Primul rezultat al acestui paragraf este o extensie a teoremei Matkowski-Rus (3.1.3), extensie ce tratează cazul în care mult¸imea X este înzestrată cu două metrici. 34
Teoreme de punct fix pentru operatori univoci 35 Teorema 4.1.1 (T.A. Lazăr [63]) Fie X = ∅ ¸si d, d ′ două metrici definite pe X. Presupunem că: i) (X, d) este un spat¸iu metric complet; ii) există c > 0 a.î. d(x, y) ≤ cd ′ (x, y), oricare ar fi x, y ∈ X. Fie f : X → X o ϕ-contract¸ie în raport cu d ′ ¸si presupunem că f : (X, d) → (X, d) este continuă. Atunci A) F ix(f) = {x ∗ }. B) Dacă în plus, funct¸ia ψ : R+ → R+, ψ(t) := t − ϕ(t) este continuă, strict crescătoare ¸si surjectivă, atunci problema de punct fix pentru f este bine pusă în raport cu metrica d ′ . Un rezultat local de acest tip este: Teorema 4.1.2 (T.A. Lazăr [63]) Fie X = ∅ ¸si d, d ′ două metrici definite pe X. Presupunem că: i) (X, d) este un spat¸iu metric complet, ii) ∃c > 0 a.î. d(x, y) ≤ cd ′ (x, y), ∀ x, y ∈ X. Fie x0 ∈ X, r > 0 ¸si f : ¯ B d d ′(x0; r) → X o ϕ-contract¸ie în raport cu metrica d ′ . Presupunem că d ′ (x0, f(x0)) < r−ϕ(r) ¸si f : (X, d) → (X, d) este continuă. Atunci: A) F ix(f) ∩ ¯ B d d ′(x0, r) = {x ∗ }. B) Dacă în plus, funct¸ia ψ : R+ → R+, ψ(t) := t − ϕ(t) este continuă, strict crescătoare ¸si surjectivă atunci problema de punct fix pentru f este bine pusă în raport cu metrica d ′ . În continuare vom lua în considerare cazul operatorilor de tip Caristi. Teorema 4.1.3 (T.A. Lazăr [63]) Fie X = ∅ ¸si d, d ′ două metrici definite pe X. Presupunem că:
Page 1 and 2: Universitatea ”Babe¸s-Bolyai”,
Page 3 and 4: 4.2 Teoreme de punct fix pentru ope
Page 5 and 6: Introducere Teoria punctului fix pe
Page 7 and 8: demonstrate de R.S. Palais [82] în
Page 9 and 10: ative Math.& Inf. 17 (2008), No. 3,
Page 11 and 12: Pb(X) := {Y ∈ P (X)|δ(Y ) < +∞
Page 13 and 14: S¸irul aproximat¸iilor succesive
Page 15 and 16: Capitolul 2 Teoria teoremei metrice
Page 17 and 18: Aproximarea punctului fix 17 din or
Page 19 and 20: Teoria teoremei de punct fix a lui
Page 25 and 26: Teoreme de punct fix pentru operato
Page 33: Teoreme de punct fix pentru operato
Page 45 and 46: Bibliografie 45 [13] G. Beer, Topol
Page 47 and 48: Bibliografie 47 [44] M. Frigon, A.
Page 49 and 50: Bibliografie 49 [75] G. Mot¸, A. P
Page 51 and 52: Bibliografie 51 [105] R. Precup, A
Page 53: Bibliografie 53 [137] S.P. Singh, O

rezumat - Universitatea Babes - Bolyai, Cluj - Napoca

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?