rezumat - Universitatea Babes - Bolyai, Cluj - Napoca

Teoreme de punct fix pentru operatori multivoci 31
Teorema 3.2.3 Fie (X, d) un spat¸iu metric complet ¸si F : X → Pcl(X) o ϕ-
contract¸ie multivocă, unde ϕ : R+ → R+ este o funct¸ie de comparat¸ie strictă. Atunci
F ix(F ) = ∅ ¸si ∀ x0 ∈ X există un ¸sir al aproximat¸iilor succesive al lui F ce porne¸ste
din punctul x0 ¸si care converge către un punct fix al operatorului multivoc F .
Un rezultat local pentru ϕ-contract¸ii s-a obt¸inut prin teorema următoare:
Teorema 3.2.4 (T.A. Lazăr, A. Petru¸sel ¸si N. Shazhad în [65]) Fie (X, d) un spat¸iu
metric complet, x0 ∈ X ¸si r > 0. Fie ϕ : R+ → R+ o funct¸ie de comparat¸ie strictă
a.î. funct¸ia ψ : R+ → R+, ψ(t) := t − ϕ(t) este strict crescătoare, continuă în
∞
r ¸si ϕ n (ψ(s)) ≤ ϕ(s), ∀ s ∈]0, r[. Fie F : B(x0; r) → Pcl(X) o ϕ-contract¸ie
n=1
multivocă a.î. D(x0, F (x0)) < r − ϕ(r). Atunci F ix(F ) = ∅.
Un rezultat similar este ¸si următoarea teoremă.
Teorema 3.2.5 (T.A. Lazăr, A. Petru¸sel ¸si N. Shazhad [65]) Fie (X, d) un spat¸iu
metric complet, x0 ∈ X ¸si r > 0. Fie F : B(x0; r) → Pcl(X) o ϕ-contract¸ie multivocă
a.î. δ(x0, F (x0)) < r − ϕ(r). Atunci F ix(F ) ∩ B(x0; r) = ∅.
Un rezultat auxiliar este:
Lema 3.2.1 (T.A. Lazăr, A. Petru¸sel ¸si N. Shazhad [65]) Fie X spat¸iu normat.
Atunci pt. ∀ x, y ∈ X ¸si ∀ A ∈ Pcl(X) avem relat¸ia: D(x, A + y) = D(y, x − A).
Folosind T.3.2.4 putem demonstra următorul rezultat asupra operatorilor multi-
voci deschi¸si.
Teorema 3.2.6 (T.A. Lazăr, A. Petru¸sel ¸si N. Shazhad [65]) Fie X un spat¸iu Ba-
nach ¸si U ∈ Pop(X). Fie ϕ : R+ → R+ o funct¸ie de comparat¸ie strictă a.î. funct¸ia
ψ : R+ → R+, ψ(t) := t − ϕ(t) este strict crescătoare ¸si continuuă pe R+.