rezumat - Universitatea Babes - Bolyai, Cluj - Napoca

Teoreme de punct fix pentru operatori univoci 35
Teorema 4.1.1 (T.A. Lazăr [63]) Fie X = ∅ ¸si d, d ′ două metrici definite pe X.
Presupunem că:
i) (X, d) este un spat¸iu metric complet;
ii) există c > 0 a.î. d(x, y) ≤ cd ′ (x, y), oricare ar fi x, y ∈ X.
Fie f : X → X o ϕ-contract¸ie în raport cu d ′ ¸si presupunem că f : (X, d) →
(X, d) este continuă. Atunci
A) F ix(f) = {x ∗ }.
B) Dacă în plus, funct¸ia ψ : R+ → R+, ψ(t) := t − ϕ(t) este continuă, strict
crescătoare ¸si surjectivă, atunci problema de punct fix pentru f este bine pusă în
raport cu metrica d ′ .
Un rezultat local de acest tip este:
Teorema 4.1.2 (T.A. Lazăr [63]) Fie X = ∅ ¸si d, d ′ două metrici definite pe X.
Presupunem că:
i) (X, d) este un spat¸iu metric complet,
ii) ∃c > 0 a.î. d(x, y) ≤ cd ′ (x, y), ∀ x, y ∈ X.
Fie x0 ∈ X, r > 0 ¸si f : ¯ B d d ′(x0; r) → X o ϕ-contract¸ie în raport cu metrica d ′ .
Presupunem că d ′ (x0, f(x0)) < r−ϕ(r) ¸si f : (X, d) → (X, d) este continuă. Atunci:
A) F ix(f) ∩ ¯ B d d ′(x0, r) = {x ∗ }.
B) Dacă în plus, funct¸ia ψ : R+ → R+, ψ(t) := t − ϕ(t) este continuă, strict
crescătoare ¸si surjectivă atunci problema de punct fix pentru f este bine pusă în
raport cu metrica d ′ .
În continuare vom lua în considerare cazul operatorilor de tip Caristi.
Teorema 4.1.3 (T.A. Lazăr [63]) Fie X = ∅ ¸si d, d ′ două metrici definite pe X.
Presupunem că: