Probleme de extrem local - Analiza matematica. MPT

90
ω∆x
Demonstraţie: Pentru funcţia ω dată, se construiesc funcţiile ω1
=
d şi
ω∆y
ω2
=
d , iar pentru ω1 şi ω ω1∆x+ ω2∆y
2 date ω =
.
d
Ţinând seama de Lema 1 relaţia (18) de definiţie a diferenţiabilităţii, se mai scrie
sub forma:
∆fx , y = λ∆ x+ µ∆y+ ω ∆x+ ω ∆y.
(22) ( )
0 0 1 2
Propoziţia 2. Dacă funcţia f definită pe mulţimea deschisă X ⊂ R 2 cu valori în
R este diferenţiabilă în punctul ( x0 y0)
punctul ( x , y ) şi mai mult λ= f′ ( x , y ) şi µ= f′ ( x y )
0 0
, ∈ X, atunci ea are derivate parţiale în
x 0 0
y 0, 0 .
Demonstraţie: Din relaţia (22) pentru ( xy , ) ∈V(
x , y )
obţinem:
0 0
fxy ( , 0) − fx ( 0, y0)
= λ( x− x0) + ω ( x, y0) x−x0 .
x−x0 Trecând la limită pentru x tinzând la x0 , obţinem fx( x0 y0)
că f′ ( x , y ) = µ .
, x ≠ x0
şi y = y0
′ , = λ . La fel se arată
y 0 0
Observaţia 7. Afirmaţia reciprocă, în general nu este adevărată, adică există
funcţii care au derivate parţiale într-un punct, dar care sunt diferenţiabile în acel
2 2
punct. Un astfel de exemplu este funcţia f:R → R ,
⎧ xy
⎪
daca ( x, y)
≠ ( 00 , )
fxy ( , ) = 2 2
⎨ x + y
⎪
⎩ 0 daca ( x, y)
= ( 00 , )
care are derivate parţiale în (0, 0) dar nu este diferenţiabilă în (0, 0).
Propoziţia 3. Dacă funcţia f:X → R, ( X ⊂ R ) 2 este diferenţiabilă în punctul
( x0, y0) ∈ X,
atunci funcţia f este continuă în punctul ( x0 y0)
( x , y ) ∈ IntX .
( 0 0 )
, ,
Demonstraţia rezultă imediat din relaţia de definiţie a diferenţiabilităţii (22).
Observaţia 8. Afirmaţia reciprocă nu este adevărată, în sensul că există funcţii
continue care nu sunt diferenţiabile. De exemplu funcţia ( )
2 2 este
fxy , = x + y
continuă în (0, 0) dar nu are derivate parţiale în acest punct deci nu poate fi
diferenţiabilă.
Următoarea propoziţie dă o condiţie suficientă de diferenţiabilitate a unei
funcţii într-un punct (din o mulţime deschisă).

91
Propoziţia 4. Dacă funcţia f: X ⊂ R → R
vecinătate V( x0, y0)
a punctului ( x0 y0)
punct, atunci funcţia f este diferenţiabilă în punctul ( x y )
2
are derivate parţiale continue pe o
, ∈ X şi acestea sunt continue în acest
, .
0 0
Demonstraţie: Aplicând formula lui Lagrange pentru fiecare punct (x, y) ∈
, există un punct ξ cuprins între x0 şi x un punct η cuprins între y0 şi
∈ V( x , y )
0 0
y, astfel încât să aibă loc relaţia:
fxy ( , ) − fx ( 0, y0) = fx′ ( x0, y0)( x− x0) + fy′ ( x0, y0)( y− y0)
+
[ ] ( )
[ x( ξ, ) x( , ) ]( ) y( , η)
y(
, )
+ f′ y − f′ x0 y0 x− x0 + f′ x0 − f′ x0 y0 ⋅ y−y0 care este de forma (22) şi condiţiile diferenţiabilităţii sunt satisfăcute.
Observaţia 9. Afirmaţia reciprocă, în general nu este adevărată, în sensul că
există funcţii diferenţiabile într-un punct care nu au derivate parţiale continue în
acel punct. De exemplu, funcţia:
⎧ 2 2 1
⎪(
x + y ) sin daca ( x, y)
≠ ( 00 , )
fxy ( , ) =
2 2
⎨
x + y
⎪
⎩0
daca ( x, y)
= ( 00 , )
care este diferenţiabilă în origine, dar nu are derivate parţiale continue în origine.
n
Observaţia 10. Pentru funcţii de n variabile, n > 2, fX : →R, X⊂
R şi un punct
0 0
( 2 )
x = x , x ,..., xndin Int X relaţia de definiţie a diferenţiabilităţii în punctul
0
0 1
x0 este:
( 1 2 n) ( 1 n)
0 0 0
, ,..., , 2 ,...,
fx x x − fx x x =
n
0 ( x x ) ( x1 x2 xn) ( xk xk)
∑ ∑
k k k
k = 1
k = 1
n
0 2
= λ − + ω , ,..., ⋅ − ,
pe baza căreia se obţin aceleaşi proprietăţi ca în cazul funcţiilor de două variabile.
Dacă considerăm din nou o funcţie de două variabile definită pe o
submulţime deschisă X a lui R 2 cu valori reale şi revenim asupra relaţiei (18) de
definiţie a diferenţiabilităţii funcţiei f, într-un punct ( x y )
0, 0 din X ţinând seama
de Propoziţia 2, obţinem relaţia de aproximare:
(23) fxy ( , ) −fx ( 0, y0) ≈ fx′ ( x0, y0)( x− x0) + fy′ ( x0, y0)( y−y0 ) .
Să notăm cu u şi v creşterile variabilelor u = x − x , v = y − y .
0 0
Definiţia 3. Funcţia liniară de două variabile reale df( x0, y0)
:R × R → R definită
prin:
df x , y u, v = f ′ x , y u + f ′
x , y v
(24) ( )( ) ( ) ( )
0 0 x 0 0 y 0 0

92
se numeşte diferenţiala funcţiei f în punctul ( x y )
0, 0 .
Observăm că df( x0, y0)
este definită pe R 2 , dar numai când (u,v) ∈ V( 0,0 ) are
loc relaţia de aproximare:
fxy , −fx, y ≈ dfx , y uv ,
(25) ( ) ( ) ( )( )
0 0 0 0 .
Să considerăm funcţiile ϕ(x, y) = x, ψ(x, y) = y. Observăm că
( , ) 1, ψ′ x ( xy , ) = 0, ϕ′ y ( xy , ) = 0, ψ′ x ( xy , ) = 1, iar ϕ( 0 0)
( )
ϕ′ x xy =
ψ 0 0
d x , y = u,
d x , y = v.
Înlocuind funcţia ϕ cu x şi ψ cu y obţinem dx = u şi dy = v,
care înlocuită în (24) dau relaţia de definiţie a diferenţialei:
(26) df( x0, y0)( dx, dy) = fx′ ( x0, y0) dx + fy′ ( x0, y0) dy .
Considerând că funcţia f este diferenţiabilă pe întreaga mulţime deschisă X
şi considerând ( x y )
0, 0 = (x, y) arbitrar şi omiţându-l împreună cu dx şi dy din
membrul stâng al relaţiei (26) obţinem pentru diferenţiala funcţiei f exprimarea:
f
(27) df
x dx
f
y dy
∂ ∂
= + ,
∂ ∂
operatorul de diferenţiere pentru funcţii de două variabile fiind:
(28) d
x dx
y dy
∂ ∂
= + .
∂ ∂
n
Observaţia 11. Pentru o funcţie f: X ⊂ R → R , X fiind o mulţime deschisă, în
acelaşi mod ca mai sus, se defineşte diferenţiala funcţiei f într-un punct, ca fiind
n
funcţionala liniară de n variabile reale df:R
→ R dată prin :
n
f
(29) df( x1 x xn
) ( )
0 0 0
2
1 0 0 0
, ,..., = ∑ , 2 ,...,
∂
i=
1∂xi
x x xn dxi.
Definiţia 4. Fie funcţia f definită pe mulţimea deschisă X ⊂ R 2 cu valori în R şi
( x , y ) ∈ X. Spunem că funcţia f este diferenţiabilă de n ori în punctul ( x , y )
0 0
0 0
dacă toate derivatele parţiale de ordinul n-1, ale funcţiei f există pe o vecinătate a
x y
x , y . Diferenţiala de
punctului ( 0, 0)
şi sunt diferenţiabile în punctul ( 0 0)
ordinul n a funcţiei f în punctul ( x y )
dx, dy dat prin:
x dx
⎛ ∂
⎝ ∂
∂
∂y
, este un polinom omogen de ordinul n în
0 0
n
(30) d f( x , y ) = ⎜ + dy⎟ f( x , y )
⎞
⎠
0 0 0 0
n
,

93
unde n arată că binomul din paranteză se dezvoltă formal după formula binomului
lui Newton, iar prin produsul
n
∂ n−k k
dx dy ⋅ f
n k k
( x y
−
0, 0)
înţelegem
∂x ∂y
n
∂ f
n−k k
n k k ( x y ) dx dy
− 0, 0
∂x ∂y
k = 0,
n.
Observaţia 12. Pentru o funcţie f : X ⊂ R k → R, diferenţiabială de n ori pe
mulţimea deschisă X, diferenţiala de ordinul n este dată prin:
n
(31) d f
k
=
x ⎛
⎜
⎜∑
⎝
∂
∂
i=
1
i
n
⎞
dx ⎟
i ⎟ f .
⎠
Exemplul 5. Să se calculeze diferenţialele de ordinul întâi şi doi ale funcţiei f :
R 2 → R, prin ( )
df
( )
3 2 2
fxy , = x + 3xy+ 2 y .
2 2
( 3 6 ) ( 3 4 )
f
x dx
∂ ∂f
= + = x + xydx+ x + ydy.
∂ ∂y
d f
x dx
f f
dy f d x
y x x y dxdy
2 2
2 2
2 ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂ 2 ∂ ∂ f 2
= ⎜ + ⎟ = + 2 + ⋅d
y
⎝ ∂ ∂ ⎠ 2
∂ ∂ ∂
2
∂y
2 2
= 6x+ 6y d y+ 12x⋅ dxdy+ 4d
y
Următorul rezultat oferă condiţii ca o funcţie compusă f : X ⊂
R 2 → R să fie diferenţiabilă într-un punct, respectiv pe o mulţime. Fie X şi Y
două submulţimi deschise ale planului R 2 şi u, v două funcţii definite pe X şi cu
valori în R. Dacă considerăm o funcţie ϕ : Y → R, atunci, dacă Im(u,v) ⊂ Y,
putem să definim funcţia compusă f : X → R, f(x, y) = ϕ(u(x, y), v(x, y)). Fie
acum un punct (a, b) fixat din X, să notăm c = u(a, b), d = v(a, b). O reprezentare
a corespondenţei (a, b) → f (a, b) este dată prin:
y
y
v(a,b)=d Y
ϕ
b X
(a,b)
v
(c,d)
O a x
u
O C=u (a,b) u
O
f (c,a)
R
f

94
Teorema 2. Dacă funcţiile u, v : X → R sunt diferenţiabile în punctul (a, b)
∈ X şi funcţia ϕ : Y → R este diferenţiabilă în punctul corespunzător (c, d) = (u(a,
b), u(a, b)) ∈ Y, atunci funcţia compusă f : X → R prin:
(32) f(x, y) = ϕ(u(x, y), v(x, y))
este diferenţiabilă în punctul (a, b). Mai mult:
df( a b)
( ) ( ) ( ) ( )
u
(33)
( ) ( ) ( ) ( )
cd
u
x ab
v cd
v
ab dx
x
u cd
u
y ab
v cd
⎡∂ϕ
∂ ∂ϕ ∂ ⎤
, = , ⋅ , + , ⋅ ,
⎣
⎢
⎦
⎥ +
∂ ∂ ∂ ∂
⎡∂ϕ
∂ ∂ϕ ∂v
⎤
+ ⎢ , ⋅ , + , ⋅ ab , dy
⎣
y
⎥ ⋅
∂ ∂ ∂ ∂ ⎦
Dacă în formula de mai sus omitem punctele (a, b) şi (c ,d), considerăm pe
(a, b) un punct arbitrar din X şi pe (c, d) punctul corespunzător prin aplicaţia (u, v)
: X → Y, atunci obţinem următoarea formă pentru diferenţiala funcţiei compuse: f
= ϕ(u, v):
⎡∂ϕ
∂u
∂ϕ ∂y⎤
⎡∂ϕ
∂u
∂ϕ ∂v⎤
(34) df = ⋅ + ⋅ dx
dy
⎣
⎢ u x v x⎦
⎥ ⋅ + ⎢ ⋅ + ⋅
⎣ u y v y
⎥ ⋅
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎦
Observăm că în (33) şi (34) u şi v apar atât ca variabile ale funcţiei
ϕ, ∂ϕ ⎛ ∂ϕ⎞
⎜ , ⎟ cât ca funcţii de x şi y
⎝ ∂u
∂v⎠
∂ ⎛ u ∂u
∂v
∂v⎞
⎜ , , , ⎟ .
⎝ ∂x
∂y
∂x
∂y⎠
Demonstraţia Teoremei 2 porneşte de la relaţiile de definiţie a
diferenţiabilităţii pentru funcţiile u, v sub forma (22) în punctul (a, b) şi pentru
funcţia ϕ sub aceeaşi formă în punctul corespunzător (c, d) şi evaluând cu ajutorul
acestor relaţii creşterea funcţiei f în punctul (a, b), adică evaluând diferenţa f(x, y)
- f(a, b) se obţine relaţia (33).
Ţinând seama că, pe de altă parte, difenţiala funcţiei f se exprimă sub
forma:
f
(35) df
x dx
f
y dy
∂ ∂
= + ,
∂ ∂
şi comparând (34) cu (35), rezultă următoarele exprimări ale derivatelor parţiale
ale funcţiei compuse f = ϕ(u(x, y), v(x, y)):
∂f
∂ϕ ∂u
∂u
∂v
= ⋅ + ⋅
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
(36)
∂f
∂ϕ ∂u
∂ϕ ∂v
= ⋅ + ⋅
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
Pornind de la relaţia (34), pentru diferenţiala funcţiei compuse f se mai obţine
următoarea formă:
u
df
u x dx
u
y dy
v
v x dx
v
y dy
u du
v dv
∂ϕ ⎡∂
∂ ⎤ ∂ϕ ⎡∂
∂ ⎤ ∂ϕ ∂ϕ
= ⎢ + ⎥ + ⎢ + ⎥ = + .
∂ ⎣∂
∂ ⎦ ∂ ⎣∂
∂ ⎦ ∂ ∂
Dar, în acelaşi timp are loc:

95
df
u du
v dv
∂ϕ ∂ϕ
= + .
∂ ∂
Am obţinut, formal pentru df şi dϕ aceleaşi exprimări, ceea ce arată invarianţa
diferenţialei faţă de compunerea funcţiilor, această invarianţă este totuşi una
formală, spre dosebire de invarianţa diferenţiabilităţii care este una reală (Teorema
2).
Corolarul 2. Dacă funcţiile u, v şi ϕ considerate în Teorema 1 au derivate parţiale
continue pe domeniile lor de definiţie atunci şi funcţia compusă f(x, y) = ϕ(u(x,
y), v(x, y)) are derivate parţiale continue pe domeniul său de definiţie.
Observaţia 13. Rezultatul din Teorema 2 rămâne valabil şi pentru funcţii
compuse de mai multe variabile. Dacă:
( )
( , , K, ) =ϕ ( , , K, ) , K, ( , , K,
)
f x1 x2 xn u1 x1 x2 xn um x1 x2 xn
şi atât funcţiile ui , i = 1 , m cât şi funcţia ϕ sunt diferenţiabile şi compunerea are
sens, atunci şi funcţia f este diferenţiabilă şi mai mult au loc relaţiile:
n ⎛ m u j
(37) df = ⎜
∂ϕ ∂ ⎞
∑⎜
∑ ⋅ ⎟dxi
i ⎝ j u j x ⎟
;
= 1 = 1∂
∂ i ⎠
∂f
m ∂ϕ ∂u
j
(38) = ∑ ⋅ .
∂xi
j=
1∂uj
∂xi
Să dezvoltăm relaţiile de mai sus în câteva cazuri particulare:
1. m = 1 şi n = 2, adică X ⊂ R 2 ,Y ⊂ R, avem u : X → Y ϕ : Y → R şi f : X
→ R, f(x, y) = ϕ(u(x, y)):
d u
df
du x dx
d u
du y dy
ϕ ∂ ϕ ∂
= ⋅ + ⋅ ,
∂ ∂
∂f
dϕ
∂u
∂f
dϕ
∂u
= ⋅ , = ⋅ ;
∂x
du ∂x
∂y
du ∂y
2. m = 1 şi n = 3 X ⊂ R 3 , Y ⊂ R u : X → Y ϕ : Y → R şi f : X → R, f(x, y,
z) = ϕ(u(x, y, z)):
d u
df
du x dx
d u
du y dy
d u
du z dz
ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂
= ⋅ + ⋅ + ⋅ ,
∂ ∂ ∂
∂f
dϕ
∂u
∂f
dϕ
∂u
∂f
dϕ
∂u
= ⋅ , = ⋅ , = ⋅ .
∂x
du ∂x
∂y
du ∂y
∂z
du ∂z
3. m = 2 şi n = 1 X ⊂ R, Y ⊂ R 2 , u, v : X → Y şi ϕ : Y → R f(x) = =
ϕ(u(x), v(x)):
du dv
df
u dx v dx dx
u du
v dv
⎛ ∂ϕ ∂ϕ ⎞ ∂ϕ ∂ϕ
= ⎜ ⋅ + ⋅ ⎟ = + .
⎝ ∂ ∂ ⎠ ∂ ∂

96
Considerând funcţia ϕ(u, v) = u ± v obţinem d(u ± v) = du ± dv, ϕ(u, v) = u ⋅ v
u
rezultă d(u, v) = vdu + udv, ϕ( uv , ) = (v ≠ 0) rezultă d
v
u ⎛ ⎞ vdu − udv
⎜ ⎟ =
⎝ v⎠
2
v
Alte cazuri pot fi deasemenea considerate şi se obţin reguli de diferenţiere
similare celor de derivare.
Observaţia 14. Pentru a calcula diferenţiala unei funcţii f(x1,x2,…,xn), calcu-
∂f
lăm mai întâi derivatele parţiale i = 1,
n . Atunci :
∂x
∂f
∂f
∂f
df = dx1
+ dx 2 + ... +
∂x
∂x
∂x
1
2
i
Folosind regulile de diferenţiere putem calcula direct diferenţiala funcţiei f,
∂ f
de aici rezultând şi derivatele parţiale ale lui f şi anume este
∂x
i
coeficentul lui dxi Ca exemplu să luăm f(x,y) = sinxy , unde f : R 2 → R deci
∂f
d(sin xy) = cos(xy) ⋅ d(xy) = cos(xy)(ydx + xdy). Deducem că = ycos x şi
∂x
∂f
= x cos xy
∂y
Definiţi derivatele parţiale de ordinul întâi, respectiv de ordin superior
pentru funcţii reale de două variabile.
Enunţaţi condiţiile în care are loc teorema lui Schwarz.
Scrieţi diferenţialele de ordinul unu, doi, trei pentru următoarele funcţii
f : D ⊂ R 2 → R şi g : D1 ⊂ R 3 → R.
Scrieţi diferenţialele funcţiilor compuse de ordinul întâi, respectiv doi
pentru următoarele funcţii :
f : D ⊂ R 2 → R f(x) = g(u(x),v(x)), g: D2 ⊂ R 2 → R, unde g ∈ C 2 .
f : D1 ⊂ R 2 → R f(x,y) = g(u(x,y),v(x,y)), g: D3 ⊂ R 2 → R, unde g ∈ C 2 iar u,v
admit derivate parţiale de ordinul doi.
n
dx
n

97
6.4. FORMULA LUI TAYLOR PENTRU FUNCŢII DE
MAI MULTE VARIABILE
Fie f : X ⊂ R 2 → R o funcţiei de două variabile reale şi (a, b) un punct din X,
dacă X este o mulţime deschisă, altfel vom presupune că (a, b) ∈ Int X.
Următorul rezultat este util în cele de urmează.
Teorema 1.(Criteriul lui Young). Dacă funcţia f are derivate parţiale de ordinul
întâi într-o vecinătate V(a,b) a punctului (a,b) şi acestea sunt diferenţiabile în
punctul (a, b), atunci derivatele parţiale mixte, de ordinul doi ale funcţiei f ,există
în punctul (a, b) şi sunt egale:
(1) fxy ′′ ( a, b) = fyx ′′ ( a, b)
.
Corolarul 1. Dacă funcţia f este de două ori (n ori) diferenţiabilă în punctul (a, b),
atunci derivatele parţiale mixte de ordinul doi (n) există în punctul (a, b) şi sunt
egale.
Să presupunem că funcţia f este diferenţiabilă de n ori în punctul (a, b),
deci funcţia f are derivate parţiale până la ordinul n în punctul (a, b) iar pentru
derivatele parţiale mixte, până la ordinul n inclusiv nu are importanţă ordinea
variabilelor în raport cu care se efectuează derivarea.
În aceste condiţii, putem să considerăm polinomul de gradul n de două
variabile x şi y:
⎛ f
⎞
Tn( x, y) = f( a, b)
+ ⎜ ( ab , )( x− a)
+ ( ab , )( y−b) ⎟ +
! ⎝ x y ⎠
⎡ f
f
(2) + ⎢ ( ab , )( x− a)
+ ( ab , )( x−a)( y−b) +
!
⎣⎢
x
xy
n
f
n
i f
( ab)( y b)
Cn
( ab)( x a) n i
+ , − ,
( y b)
y
n!
i n i
f f
⎤
1 ∂
∂
1 ∂
∂
2
2
1 ∂
2 ∂
2 2
∂
∂∂
2
∂
1 ⎡ ∂
⎤
−1
⎥ + ⎢ ∑
− − ⎥
2
−
∂
⎦⎥
⎣⎢
1= 0 ∂ ∂
⎦⎥
numit polinomul lui Taylor de ordinul n, asociat funcţiei f în punctul (a, b).
Dacă pentru fiecare (x, y) ∈ X notăm:
(3) R n( xy , ) = fxy ( , ) − Tn( xy , ) ,
atunci are loc formula:
(4) fxy ( , ) = Tn( xy , ) +R n(
xy , ) ,
numită formula lui Taylor de ordinul n, asociată funcţiei f în punctul (a, b).
R x y
Funcţia ( )
n , definită pe X, prin relaţia (3), se numeşte restul de ordinul n al
formulei lui Taylor (4).

98
Dacă ţinem seama de relaţia de definiţie a diferenţialei de un ordin
oarecare a funcţiei f, în punctul (a, b), formula (4) ia forma:
(5)
1 1 2
fxy ( , ) = fab ( , ) + dfab ( , ) + d fab ( , ) + K
1!
2!
1 n
K+
d f( a, b) + Rn( x, y)
n! Dacă în formula (4) facem (x,y) = (a,b), ţinând seama că
Tn ( a, b) = f( a, b)
, rezultă că Rn ( a, b)
= 0.
În cazul când Rn ( x, y)
este o funcţie continuă în (a, b) vom avea:
(6) lim R x, y = 0,
( xy , ) →(
ab , )
n
( )
şi pentru (x, y) suficient de aproape de (a, b) ((x, y) ∈ V(a, b)) putem aproxima
f(x, y) prin Tn ( x, y)
cu o eroare cât de mică se doreşte.
În anumite condiţii, care vor fi precizate, se poate arăta că nu numai (6) are
loc, dar mai mult:
Rn( x, y)
(7) lim
= 0,
n
xy , → ab , ρ xy ,
( ) ( )
( )
unde ( ) ( ) 2
ρ xy , = x− a + ( y−b) 2 .
Teorema 2. Dacă funcţia f : X ⊂ R 2 → R este diferenţiabilă de n ori într-o
vecinătate V(a, b) a punctului (a, b) şi derivatele parţiale de ordinul n ale funcţiei f
sunt continue în punctul (a, b) atunci restul de ordinul n al formulei lui Taylor
asociată funcţiei f în punctul (a, b) se scrie sub forma:
n
(8) R ( x, y)
( xy , ) ( xy , )
n =
n!
1 ω ρ ,
unde funcţia ω(x, y) este continuă şi nulă în punctul (a, b).
Următoarea teoremă dă o exprimare a funcţiei rest Rn ( x, y)
utilă în
aproximarea funcţiilor f(x, y) prin polinoame Taylor şi în evaluarea erorii făcute:
Teorema 3. Dacă funcţia f : X ⊂ R 2 → R este diferenţiabilă de n + 1 ori într-o
vecinătate V(a, b) a punctului (a, b), atunci pentru orice (x, y) din V(a, b) există
un punct (ξ,η) din V(a,b) situat pe segmentul ce uneşte punctele (a, b) şi (x, y)
astfel încât are loc:
n+
1
1 ⎡ ∂ ∂ ⎤
Rn( x, y)
= ( x a)
( y b)
f(
, )
( n + ) !
⎢ − + −
x y
⎥ ξη =
1
(9)
⎣ ∂ ∂ ⎦
1 n+
1
= d f(
ξη
, )
( n + 1)
!

99
Demonstraţie: Fie ( x0 y0)
segmentul ce uneşte punctele (a, b) şi ( x y )
segment sunt:
⎧xt
( ) = a+ ( x −a) ⋅t
⎪
0
(10) ⎨
⎪
⎩yt
( ) = b+ ( y0 −b) ⋅t
, un punct arbitrar din V(a, b), să considerăm
, . Ecuaţiile parametrice ale acestui
0 0
t ∈ [0, 1]
Mai mult, (x(0), y(0)) = (a, b) şi (x(1), y(1)) = ( x y )
0, 0 iar când t parcurge
segmentul [0, 1] punctul corespunzător (x(t), y(t)) se deplasează de la (a, b) la
( x y )
0, 0 .
În condiţiile precizate mai sus putem să construim funcţia compusă F :
[0, 1] → R definită prin:
(11) Ft ( ) = f xt ( ) , yt ( ) = fa+ x − atb , + y −bt
( )
( ) ( ) ( )
0 0 ,
care este diferenţiabilă de n + 1 ori pe [0, 1] şi derivata sa de ordinul k cu 1 ≤ k
≤ n+1 este dată de:
(12) F
⎡
⎢
⎣
0
∂
∂x
0
∂ ⎤
∂y
⎥
⎦
Deoarece x(0) = a şi y(0) = b vom avea:
( k ) () t = ( x − a)
+ ( y − b)
f ( x()
t , y()
t )
(13)
( k ) ⎡ ∂ ∂ ⎤
F ( 0 ) = ⎢(
x0
− a)
+ ( y 0 − b)
x y
⎥
⎣ ∂ ∂ ⎦
f ( a,
b)
.
Scriind formula lui Mac-Laurin de ordinul n pentru funcţia F cu restul sub
forma lui Largrange obţinem:
(14)
n
n+
1
t
t
() ( ) ( ) ( n)
t
( )
( n+
1
F t = F 0 + F′
0 + K + F 0 + F
) ( τ )
1!
n!
( n + 1)
!
unde τ este cuprins între 0 şi t. Pentru t = 1 obţinem:
(15) () ( )
( ) ( n)
( n+
1
F′
0 F F
) ( τ )
F 1 = F 0 + + K + + ,
1!
n!
( n + 1)!
unde τ este cuprins între 0 şi 1.
Notând ξ = x(η), η = y(τ) şi observând că F(1) = f( x , y ) iar F(0) =
f(a, b) şi considerând ( x y )
k
k
.
0 0
0, 0 = (x, y) un punct arbitrar din V(a, b) din (15) se
obţine formulă lui Taylor (4) pentru funcţiile de două variabile f(x, y) cu restul
sub forma (9); tocmai ceea ce trebuia demonstrat.
Cu ajutorul diferenţialei această formulă are forma:
2 n n+
1
( , ) ( , ) ( , ) d f(
, )
dfab d fab d fab ξη
fxy ( , ) = fab ( , ) + + + K+
+
,
1! 2! n!
( n + 1)
!

100
care se păstrează în aceleaşi condiţii pentru funcţii de un număr oarecare de
variabile k ≥ 2.
Observaţia 1. Dacă funcţia f(x, y) este diferenţiabilă într-o vecinătate V(a, b) a
punctului (a, b), atunci pentru orice (x, y) ∈ V, scriind formula lui Taylor (15)
pentru n = 1, rezultă că există ξ cuprins între a şi x şi η cuprins între b şi y astfel
că are loc relaţia:
(16) fxy ( , ) − fab ( , ) = fx′ ( ξη , )( x− a) + fy′ ( ξη , )( y−b) ,
ce reprezintă formula lui Lagrange pentru funcţii de două variabile.
Exemplul 1. Să se scrie polinomul:
( )
3 3 2 2
f x, y = x + 2y + 4x + 2xy− 6y + 2x+ 10y−6, după puterile lui x +2 şi y - 1.
Folosind formula lui Taylor de ordinul 3 în punctul (-2, 1) se obţine:
( ) ( ) 3 3
( ) ( ) 2
, = + 2 + 2 −1 − 2 + 2 + 2( + 2)( −1)
fxy x y x x y
Fie f : D1 ⊂ R 2 → R , g : D2 ⊂ R 3 → R. Enunţaţi condiţiile în care funcţiile f
, g se pot dezvolta după formula lui Taylor de ordinul patru şi scrieţi
aceste dezvoltari.
6.5. EXTREME PENTRU FUNCŢII DE MAI MULTE
VARIABILE REALE. EXREME CU LEGĂTURI
Vom considera o mulţime X ⊂ R n şi o funcţie f : X → R. Vom spune că
0 0 0
funcţia f are un minim (maxim) local în punctul x0 = ( x1, x2, , xn) K din X dacă
există o vecinătate Vx0 a punctului x0 astfel încât pentru orice
( , , , )
x = x1 x2 K xn ∈Vx ∩X
să avem:
0
(1) f( x0 ) ≤ f(x) (f( x0 ) ≥ f(x)).
Punctele din X în care f ia valori minime sau maxime se numesc puncte de
extrem local ale funcţiei f. Dacă în (1) inegalitaţile sunt satisfăcute înlocuind “ ≤ ”
prin “ < ” spunem că x0 este un punct de extrem local strict. Dacă inegalităţile (1)
sunt satisfăcute pentru orice x ∈ X spunem că x0 este un punct de extrem absolut
al funcţiei f.
Rezultatul fundamental legat de extremele absolute ale unei funcţii f
definită pe o mulţime compactă K ⊂ R n (mărginită şi închisă) îl constituie
teorema lui Weierstrass care afirmă că orice funcţie continuă pe un compact îşi
.

101
atinge efectiv valorile maxime şi minime. Teorema nu dă însă metode de obţinere
a punctelor de extrem.
Utilizând proprietăţile de diferenţiabilitate pentru anumite clase de funcţii
se pot obţine efectiv punctele de extrem ale unei funcţii f. Diferenţiabilitatea
obligă să se ia în considerare doar punctele interioare de extrem, lăsând la o parte
cazul când punctul de extrem este pe frontiera domeniului de definiţie sau cazul
când funcţia nu este diferenţiabiă în punctele de extrem.
Vom considera mai întâi cazul funcţiilor de două variabile independente,
2
fX : ⊂ R → R.
Presupunem că (a, b) ∈ Int X.
Propoziţia 1. Dacă funcţia f are derivate parţiale în punctul (a, b) şi acesta este un
punct de extrem local al funcţiei f, atunci derivatele parţiale ale funcţiei f în acest
punct sunt nule, adică:
(2) ′ ( a,
b)
= 0 f ′ ( a,
b)
= 0 .
fx y
Demonstraţie:
Fie funcţia ϕ(x) = f(x, b), ϕ : X b → R, X b = {x ∈ R : (x, b) ∈ X}, atunci punctul
a este un punct de extrem al funcţiei ϕ şi funcţia ϕ este derivabilă în punctul a.
Aplicând teorema lui Férmat pentru funcţii de o variablă ϕ ′ ( a) = fx′ ( a, b)
= 0.
Analog se arată că fy ′ ( a, b)
= 0.
Propoziţia 1 este o extensie a teoremei lui Férmat pentru funcţii de o
variabilă şi evident, în acelaeşi condiţii are loc pentru funcţii de n variabile (n ≥
2):
Definiţia 1. Un punct interior (a, b) ∈ X se numeşte punct punct staţionar al
funcţiei f, dacă funcţia f este diferenţiabilă în (a, b) şi df(a, b) = 0.
Deoarece dfab ( , ) = fx′ ( abdx , ) + fy′ ( abdy , ) , din faptul că (a, b) este un punct
staţionar rezultă că relaţiile (2) au loc. Mai mult, din Propoziţia 1 rezultă:
Propoziţia 2. Orice punct de extrem local al funcţiei f: X ⊂ R → R din
interiorul mulţimii X în care funcţia f este diferenţiabilă este un punct staţionar al
funcţiei f.
Următorul exemplu arată că există funcţii care admit puncte staţionare,
2 2
care nu sunt puncte de extrem local. Fie funcţia f( x, y) = x −y
f:R R
este diferenţiabilă în (0, 0) şi ( )
2
2 → , f
df 00 , = fx′ ( 00 , ) dx + + fy ′ (,) 0 0 dy=
0 dx + 0 dy.
2
Deci (0, 0) este un punct staţionar pentru funcţia f. În acelaşi timp f( x, 0)
= x şi
2
f( 0,
y) =− y arată că oricât de aproape de (0, 0), pe axa Ox f ia valori pozitive,
iar pe axa Oy ia valori negative, deci (0, 0) nu este un punct de extrem local al
funcţiei f.

102
Punctele staţionare ale funcţiei f: X ⊂ R → R care nu sunt puncte de
extrem local, se numesc puncte şa ale funcţiei f. Denumirea este naturală dacă
ţinem seama că în vecinătatea unui astfel de punt suprafaţa z = f(x, y) are forma
de şa, punctul staţionar fiind la intersecţia liniilor ( C1 ) şi ( C2 ) . Planul tangent în
z
O
c 2
x
acest punct la suprafaţă fiind paralel cu planul xOy.
Din cele de mai sus se constată că, dacă o funcţie f: X ⊂ R → R este definită pe
o mulţime deschisă şi este diferenţiabilă pe acea mulţime, atunci punctele de
extrem local ale funcţiei f se găsesc printre punctele staţionare ale funcţiei f, care
sunt soluţiile sistemului:
(3) fx′ ( x, y) = 0; fy′ ( x, y)
= 0
Aceeaşi concluzie rămâne valabilă pentru funcţii de n variabile
fx ( 1, x2, K , xn) . În acest caz sistemul (3) devine:
(4) f ( x , , x ) , f ( x , , x ) , , f ( x , , x )
x′ 1 K n = 0 x′ 1 K n = 0 K x′ 1 K n = 0.
1 2
( abfab , , ( , ) )
Pentru a preciza care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem se
recurge la derivatele parţiale de ordinul II. În cazul funcţiilor de două variabile are
loc:
Teorema 1. Dacă (a, b) este un punct staţionar al funcţiei f şi dacă funcţia f are
derivate parţiale de ordinul doi, continue într-o vecinătate V( ab , ) a punctului (a,
b), atunci:
2
a) Dacă ∆ f( ab , ) = [ fxy ′′ ( ab , ) ] − f′′ 2 ( abf , ) ′′ 2 ( ab , ) < 0 , atunci punctul (a, b)
x y
este un punct de extrem local al funcţei f. Mai mult:
a1 ) dacă f ′′ 2 < 0, atunci (a, b) este un punct de maxim local;
x
a2 ) dacă f ′′ 2 > 0, atunci (a, b) este un punct de minim local;
x
c 1
2
n
2
y

103
b) Dacă ∆ f ( ab , ) > 0, atunci punctul (a, b) nu este un punct de extrem local al
funcţiei f.
Demonstraţie: Punctul (a, b) fiind un punct staţionar avem fx ′ ( a, b)
=
= fy ′ ( a, b)
= 0. În condiţiile teoremei, pentru (x, y) din vecinătatea V( ab , ) a
punctului (a, b), formula lui Taylor de ordinul al doilea în punctul (a, b) se poate
scrie sub forma:
(5)
1 2 2
f( x, y) = f( a, b) + [ A( x− a) + 2B(
x−a)( y− b) + C( y− b)
] +
2
+ 1 2
ω( x, y ) ρ , unde:
2
A = f′′2 ( a, b),
B= f a b
x
xy ′′ ( , ), C = f′′2 ( a, b),
ρ=
y
2 2
( x− a) + ( y−b) ,
(6) lim ω( xy , ) = 0 .
( xy , ) →(
ab , )
Pentru ρ ≠ 0 să notăm α = β
ρ ρ
−
= −
a x y b
2 2
, , observăm că α + β = 1.
Pentru β
≠ 0 notăm α
= γ . Cu aceste notaţii formula (5) devine:
β
1 2 2 2
(7) f( x, y) − f( a, b) = [ ( Aγ + 2Bγ
+ C)
β + ω
2
] ρ .
Ţinând seama de (6) rezultă că semnul diferenţialei f(x, y) - f(a, b) în vecinătatea
punctului (a, b) este dat de semnul trinomului de gradul II:
2
(8) h( γ) = Aγ + 2 Bγ + C.
Dacă ∆ f ( ab , ) < 0 şi A > 0, h(γ) are semn pozitiv, deci f(x, y) -
f(a, b) > 0, ceea ce arată că punctul (a, b) este un punct de minim local al funcţiei
f.
Dacă ∆ f ( ab , ) < 0 şi A < 0, h(γ) are semn negativ, deci f(x, y) -
f(a, b) < 0, ceea ce arată că punctul (a, b) este un punct de maxim local al funcţiei
f.
Dacă ∆ f ( ab , ) > 0 , h(γ) = 0 are rădăcini reale şi deci h(γ) are semn atât
pozitiv cât şi negativ pentru (x, y) oricât de aproape de (a, b), ceea ce arată că (a,
b) nu poate fi punct de extrem local al funcţiei f.
Exemplul 1. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:
3 3
f( x, y) = x + y + 3 xy.
Rezolvând sistemul fx′ ( x, y) = 0 fy′ ( x, y)
= 0 rezultă că funcţia f admite ca
puncte staţionare punctele O(0, 0) şi M(-1, -1).
∆ f (0, 0) = 9 > 0 arată că O(0, 0) este un punct staţionar care nu este punct
de extrem local al funcţiei f.

104
∆ f (-1, -1) = -27 < 0 şi f ′′ 2 (-1, -1) = -6 < 0 arată că punctul M(-1, -1)
x
este un punct de maxim local al funcţiei f.
Pentru funcţii de p variabile reale fx ( 1, x2, , xp) K , cu p > 2, se poate
demonstra, folosind deasemenea formula lui Taylor şi proprietăţi ale formelor
pătratice următorul rezultat:
p
Teorema 2. Dacă funcţia f: X ⊂ R → R este de două ori derivabilă parţial pe o
vecinătate a punctului a = ( a1, a2, , ap) are loc:
a) Dacă toate numerele:
21 22
K şi are derivate parţiale continue atunci
A L A
11 1p
A11 A12
A L A
∆1 = A11,
∆2 =
A A
, K,
∆p=
M M
2
21 2p
A L A
p1pp ∂ fab ( , )
unde Aij
= ,
∂xi, ∂xj
1 ≤ i, j≤ p,
sunt pozitive, atunci funcţia f are în
punctul a un punct de minim local.
b) Dacă toate numerele ( − ) k
1 ∆ k ,
un punct de maxim local.
k = 1,
p sunt pozitive, atunci punctul a este
3
Exemplul 2. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f:R → R
prin
2 2
fxyz ( , , ) = x + y +
2
z − xy+ xz+ yz
4 2 . Rezolvând sistemul
fx′ ( xyz , , ) = 0, fy′ ( xyz , , ) = 0, fz′ ( xyz , , ) = 0 rezultă că punctul O(0, 0, 0) este
un punct staţionar al funcţiei f. Calculând pentru punctul O(0, 0, 0), ∆ k , k =
1, 2, 3 obţinem ∆1= 2 > 0, ∆2 = 3 > 0, ∆3 = 10 > 0, de unde rezultă că O(0, 0, 0)
este un punct de minim local al funcţiei f.
X.
2
Fie f: X ⊂ R → R o funcţie de n variabile reale şi A o submulţime a lui
Definiţia 1. Spunem că funcţia f are în punctul a ∈ A un extrem local relativ la
mulţimea A dacă restricţia funcţiei f la mulţimea A, f A are în punctul a un punct
,

105
de extrem local obişnuit, adică există o vecinătate Va a punctului a astfel încât
f(x) ≥ f(a), respectiv f(x) ≤ f(a) pentru orice x ∈ Va ∩ A.
Punctele de extrem, ale funcţiei f, relative la o submulţime A ⊂ X se
numesc puncte de extrem ale funcţiei f condiţionate de submulţimea A sau simplu
puncte de extrem condiţionate.
Un caz particular important este când mulţimea A este mulţimea soluţiilor
unui sistem de forma:
⎧F1(
x1, x2, K,
xn)
= 0
⎪
⎪F2(
x1, x2, K,
xn)
= 0
(9) ⎨
⎪LLLLLLLLL
⎪
⎩Fk(
x1, x2, K,
xn)
= 0
n
adică, A = { x∈X⊂ R : Fi( x) = , i = , k}
0 1 .
Desigur este interesant cazul când k < n şi sistemul admite o mulţime de
soluţii. În acest caz, punctele de extrem local ale funcţiei f relative la submulţimea
A se numesc puncte de extrem condiţionate de sistemul (9) sau puncte de extrem
ale funcţiei f supuse la relaţile de legătură (9).
În cele ce urmează vom presupune că funcţiile Fi ,
parţial şi că determinantul funcţional:
i = 1 , k sunt derivabile
(10)
DF ( 1, F2, K,
Fk)
=
Dx ( 1, x2, K,
xk)
∂F1
∂x1
∂F1
∂x2
M
∂F2
∂x1
∂F2
∂x2
M
L
L
∂Fk
∂x1
∂Fk
∂x2
M
≠ 0
pe mulţimea X.
∂F1
∂F2
∂xk
∂xk
L
∂Fk
∂xk
Următoarea teoremă reduce studiul extremelor condiţionate la cel al
extremelor libere (necondiţionate):
Teorema 3. Fie funcţia:
(11) Φ(
x , K, x , , K,
λ ) = f ( x , K,
x ) + λ F ( x , K,
x )
1
n
1
k
1
n
k
∑
i=
1
λ ,
şi ( a, µ ) = ( a1, a2, , an, µ 1, µ 2,
, µ k)
Atunci punctul ( , , , )
i
K K un punct staţionar (liber) al funcţiei Φ.
= 1 2
a a a K aneste un punct staţionar al funcţiei f care
satisface relaţiile de legătură (9).
i
1
n

106
De aici rezultă că punctele de extrem local ale funcţiei f se găsesc printre
punctele staţionare ale funcţiei Φ dată prin (11).
Numerele λi , i = 1 , k se numesc multiplicatorii lui Lagrange, iar metoda
folosită se numeşte metoda multiplicatorilor lui Lagrange.
Pentru a stabili care dintre punctele staţionare condiţionate sunt extreme
condiţionate, trebuie să studiem semnul creşterii funcţiei
f( x1, Kxn) − f( a1, Kan) pentru x = ( x1, Kxn)
într-o vecinătate a lui a.
Vom observa mai întâi că:
(12) f( x) − f( a) = Φ( x1, K, xn, µ 1, K, µ k) −Φ(
a1, K, an,
µ 1,
K,
µ k)
.
Aplicând formula lui Taylor de ordinul doi funcţiei Φ în punctul
( a, µ ) = ( a1, a2, K, an, µ 1, µ 2,
K , µ k)
obţinem:
k 2
1 ∂ Φ(
a,
µ )
f( x) − f( a)
= ∑ dxidx j + R2 ( x,
µ ) ,
2 ij , = 1 ∂xi∂xj unde R2 tinde la 0 când x tinde la a. Deci semnul creşterii funcţiei f în
vecinătatea punctului a este dat de semnul formei pătratice
k 2
∂ Φ( a,
µ )
∑ dxidx j .
ij , = 1 ∂xi∂xj Diferenţiind relaţiile de legătură (9), rezultă:
∂F
∂
∂
(13)
∂x
∂
∂
dx
F
x dx
i i Fi
1 + 2 + K + dxn = 0, i = 1,
k ,
1 2 xn care, ţinând seama de condiţia (10), permit exprimarea, prin regula lui Cramer, a
lui dx1, dx2,K dxk în funcţie de dxk + 1, dxk + 2,K
dxn
. Astfel vom obţine că:
n
(14) f( x) −f( a) ≅ ∑ Aijdxidx j ,
ij , = k+
1
adică pe o vecinătate a lui a diferenţa f(x) - f(a) are acelaşi semn cu forma
n
pătratică ∑ Aijdxidxjdepinzând numai de n - k variabile dxi , i = k +1 , n .
ij , = k+
1
Deci, pentru a ne pronunţa care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem
condiţionat trebuie să studiem semnul formei pătratice de mai sus. Vom proceda
astfel în rezolvarea următoarei probleme:
Exemplul 3. Să se găsească extremele funcţiei:
(15) f(x, y, z) = xy + xz + yz,
condiţionate de ecuaţia:
(16) xyz = 1,
în domeniul x > 0, y > 0, z > 0.
Rezolvare: Avem de determinat punctele de extrem local ale funcţiei
f:R+ R →
3
dată prin (15) care satisface relaţia de legătură:

107
(17) F(x, y, z) = 0, unde F(x, y, z) = xyz - 1.
Considerăm funcţia Φ(x, y, z, λ)=xy + xz + yz + λ(xyz-1) şi rezolvăm
sistemul:
∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ
= 0 = 0 = 0 = 0,
∂x
∂y
∂z
∂λ
de unde rezultă x = y = z = 1 şi λ = -2.
Am obţinut astfel că punctul A(1, 1, 1) este punct staţionar al funcţiei f care
satisface relaţia de legătură (16).
Φ(x, y, z, -2) = xy + xz + yz + 2;
d 2 Φ(1, 1, 1, -2) = -(dxdy + dxdz + dydz).
Din relaţia xyz = 1 rezultă prin diferenţiere că yzdx + xzdy + xydz = 0, iar în
punctul A(1, 1, 1) are loc dx + dy + dz = 0, de unde dz = -dx - dy. Înlocuind în
expresia lui d 2 Φ(1, 1, 1, -2) vom avea:
2
2 2 2 ⎛ 1 ⎞ 3 2
d Φ= dx + dxdy+ dy = ⎜dx+
dy⎟ + dy > 0 ,
⎝ 2 ⎠ 4
de unde deducem că într-o vecinătate a punctului A(1, 1, 1) f(x, y, z) - - f(1,
1, 1) > 0, adică A(1, 1, 1) este un punct de minim local al funcţiei f. Minimul local
al funcţiei f este m = f(1, 1, 1) = 1.
Exemplul 4. O intreprindere industrială produce cantităţiile x şi y din două tipuri
de produse X şi Y cu preţurile unitare p = 16 - x 2 şi q = 8 - 2y. Costul total de
producţie este C(x, y) = 10 + 4x + 2y. Să se determine cantităţile şi preţurile
unitare respective, astfel încât beneficiul total al intreprinderii să fie maxim.
Rezolvare: Avem de determinat maximul funcţiei f(x, y, p, q) = = px
+ qy - C(x, y) care satisface relaţiile de legătură:
p = 16 - x 2 , q = 8 - 2y.
Utilizând metoda multiplicatorilor lui Lagrange, considerăm funcţia ajutătoare:
2
( , , , , λ , λ ) 10 4 2 λ ( 16) λ ( 2 8)
Φ xypq
stemul:
1 2 = px+ qy− − x− y+ 1 p+ x − + 2 q+ y−
Si
∂Φ
= 0, ∂x
∂Φ
= 0, ∂y
∂Φ
= 0, ∂p
∂Φ
= 0, ∂q
∂Φ
= 0, ∂λ1
∂Φ
∂λ2
= 0
conduce la soluţia x = 2, y = 3
, p = 12, q = 5, λ1 =− 2,
2
2 2
d 2 dx ( dxdp dydq)
3
λ2
=− ;
2
3 ⎛ ⎞
Φ ⎜ , , 12, 5⎟ =− 4 + 2 + .
⎝ 2 ⎠
Prin diferenţierea relaţiilor de legătură obţinem dp = -4dx şi dq = -2dy, care
înlocuite în expresia lui d 2 Φ ne conduc la expresia:
2 ⎛ ⎞ 2 2
( )
d 2 dx dy
3
Φ ⎜ , , 12, 5⎟ =− 4 3 + < 0,
⎝ 2 ⎠

108
deci punctul (2, 3
, 12, 5) este un punct de maxim al funcţiei beneficiu.
2
Descrieţi algoritmul pentru determinarea punctelor de extrem ale unei
funcţii f : I ⊂ R 3 → R, unde f are derivate parţiale continue de ordinul
doi.
Enunţaţi teorema multiplicatorilor lui Lagrange pentru k = 2 şi n = 3.

109
Probleme finale
1. Să se calculeze derivatele parţiale ale următoarelor funcţii :
x
a) f(x , y) = , b) f(x , y , z) = (xy)
2 2
x + y
z 1 x
, c) f(x , y) = arctg
y y
2. Se consideră funcţia f : R 2 → R, definită prin
⎧
⎪(
x
f(x,y) = ⎨
⎪
⎩
2
+ y
2
) cos
x
0
2
1
+ y
2
,
,
x
x
2
2
+ y
+ y
2
2
≠ 0
= 0
Se cere să se arate că :
a) f admite derivate parţiale de ordinul întâi în origine, dar
nu sunt continue în origine.
b) f este diferenţiabilă în origine.
3. Să se calculeze diferenţialele indicate în exemplele următoare :
a) d 2 u dacă u = x 3 -x 2 y+2xy 2 -5y+8 b) d 3 u dacă u = cos(x+y+z).
4. a) Să se calculeze diferenţiala df pentru următoarele funcţii :
i) f(x,y) = g(x-2y,x) ii) f(x,y,z) = g(xy,x+z,x 2 + y 2 + z 2 )
∂f
∂f
,
∂x
∂y
b) Să se calculeze diferenţiala d 2 f dacă z = f(u,v) unde u = 3x , v = -2y , f
admite derivate parţiale de ordinul doi continue.
5. Să se găsească dezvoltarea Mac-Laurin pentru funcţia f(x) = 2x + 1
1
unde f : [- ,+∞) → R.
2
6. Să se scrie dezvoltarea polinomului P(x,y) = x 3 +xy+3x 2 +3x-y+6 după
puterile lui x+1 , y-2.
7. Să se scrie polinomul Taylor de gradul al doilea în punctul A(1,1)
pentru funcţia f : R 2 x
–{(x,0) | x ∈ R} → R , f(x,y) = arctg .
y
8. Să se determine extremele locale ale următoarelor funcţii :
a) f(x,y) = x 3 – y 3 π
+3xy ; b) f(x,y) = sin x + sin y + sin(x + y) cu x,y ∈[0, ]
2
x y z
b) f(x,y,z) = + + cu x,y,z > 0.
y + z x + z x + y
9. Să se determine extremele următoarelor funcţii care satisfac la
legăturile indicate:
a) f(x,y) = 3x + y 2 cu legătura x + y =2 , b) f(x,y,z) = x + y + z cu legăturile
x 2 + y 2 + z 2 = 1 , 2x + 2y + z = 1.
10. Să se arate că dacă x 2 + y 2 + z 2 = 9 atunci x – 2y + 2z ≥ 0.

110
)