Teoria erorilor si aritmetica ˆın virgula flotant˘a
Teoria erorilor si aritmetica ˆın virgula flotant˘a
Teoria erorilor si aritmetica ˆın virgula flotant˘a
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Teoria</strong> <strong>erorilor</strong> ¸<strong>si</strong> <strong>aritmetica</strong> în <strong>virgula</strong> flotantă<br />
1 Probleme<br />
Radu T. Trîmbit¸a¸s<br />
11 martie 2013<br />
P1. Scriet¸i o funct¸ie Matlab pentru a calcula ep<strong>si</strong>lon-ul ma¸<strong>si</strong>nii.<br />
P2. Scriet¸i funct¸ii Matlab pentru calculul lui <strong>si</strong>n x ¸<strong>si</strong> cos x folo<strong>si</strong>nd formula<br />
lui Taylor:<br />
P3. Fie<br />
<strong>si</strong>n x = x − x3<br />
3!<br />
cos x = 1 − x2<br />
2!<br />
+ x5<br />
5!<br />
+ x4<br />
4!<br />
x2n+1<br />
+ ... + (−1)n + ...<br />
(2n + 1)!<br />
x2n<br />
+ ... + (−1)n + ....<br />
(2n)!<br />
S¸tim de la cursul de Analiză matematică următoarele:<br />
• modulul erorii este mai mic decat modulul primului termen neglijat;<br />
• raza de convergent¸ă este R = ∞.<br />
Ce se întâmplă pentru x = 10π (¸<strong>si</strong> în general pentru x = 2kπ, k mare)?<br />
Explicat¸i fenomenul ¸<strong>si</strong> propunet¸i un remediu.<br />
En =<br />
1<br />
0<br />
1<br />
x n e x−1 dx.
Se observă că E1 = 1/e ¸<strong>si</strong> En = 1 − nEn−1, n = 2, 3, . . .<br />
Se poate arătă că<br />
0 < En < 1<br />
n + 1<br />
¸<strong>si</strong> dacă E1 = c avem<br />
<br />
0, pentru c = 1/e<br />
limn→∞ En =<br />
∞ altfel.<br />
Explicat¸i fenomenul, gă<strong>si</strong>t¸i un remediu ¸<strong>si</strong> calculat¸i e cu precizia eps.<br />
P4. Scriet¸i funct¸ii Matlab pentru calculul lui <strong>si</strong>n x ¸<strong>si</strong> cos x folo<strong>si</strong>nd aproximarea<br />
Padé în locul formulei lui Taylor. Atent¸ie la reducerea rangului.<br />
P5. Scriet¸i o funct¸ie MATLAB care prime¸ste la intrare un număr flotant<br />
(<strong>si</strong>mplă sau dublă precizie) ¸<strong>si</strong> returnează reprezentarea sa binară pe<br />
componente: semn, exponent deplasat ¸<strong>si</strong> semnificantul (a¸sa cum este<br />
acesta reprezentat intern).<br />
2 Probleme suplimentare<br />
1. Fie două numere reale x1, x2 ∈ R, x1 = x2. Con<strong>si</strong>derăm reprezentările<br />
lor în virgulă flotantă x ∗ 1 ¸<strong>si</strong> x ∗ 2 astfel încât x ∗ 1 = fl(x1) = x1(1 + δ1),<br />
x2 = fl(x2) = x2(1 + δ2) ¸<strong>si</strong> |δ1| < δ, |δ2| < δ. Cât de mic trebuie să<br />
fie δ, astfel incât să putem testa corect (în virgulă flotantă cu precizia<br />
ma¸<strong>si</strong>nii eps), dacă x1 = x2.<br />
2
Change language