P 0.1 Stabilişti natura şsi suma seriilor: a) Σ 1 n\ ; b) Σ arctan 1 n# + n ...

P 0.9 Fie (un) n 1 un ¸sir de numere reale strict pozitive ¸si un num¼ar
real. Pentru …ecare num¼ar natural n 1 punem
n = un+1
un
n
n + 1
Ar¼ata¸ti c¼a:
(i) Dac¼a > 1 ¸si exist¼a un num¼ar natural n0 cu proprietatea c¼a
atunci seria 1P
n=1
n 0; oricare ar … n n0;
un este convergent¼a.
(ii) Dac¼a 1 ¸si exist¼a un num¼ar natural n0 cu proprietatea c¼a
atunci seria 1P
n=1
n > 0; oricare ar … n n0;
un este divergent¼a.
P 0.10 Stabili¸ti natura seriilor:
1X (2n 1)!! 1
a)
; b)
(2n)!! 2n + 1
n=1
n=1
1X
n=1
(2n 1)!!
; c)
(2n)!!
P 0.11 Pentru …ecare a > 0; studia¸ti natura seriilor:
1X
1X
n!
a)
; b) a
a(a + 1)::: (a + n)
n=1
:
1X
n=1
1 1
(1+ +:::+ 2 n) ; c)
P 0.12 Dac¼a ; ; ; x 2]0; +1[; stabili¸ti natura seriei
1X ( + 1) ::: ( + n 1) ( + 1) ::: (
( + 1) ::: ( + n 1)
+ n 1)
x n
n=1
(numit¼a seria hipergeometric¼a a lui Gauss) :
P 0.13 S¼a se stabileasc¼a natura seriilor:
1X
1X
a)
c)
1X
n=1
n=1
( 1) n+1 (n + 1) n+1
n n+2 ; b)
( 1) n+1 2n + 1
3 n ; d)
f)
1X
n=1
1X
n=2
n=1
( 1) n+1 1
p n (n + 1) ; g)
( 1) n+1 1
; e)
ln n
1
n!
1X
n=1
n
e
n
:
a n n!
n n :
( 1) n+1 n 1
(n + 1)
nn+1 ;
3
1X
( 1)
n=1
n+1 1
n(n + 1) ;
1X
( 1) n+1
p
n
n + p 5 ;
n=1