De la metoda indivizibililor la derivata -un foarte scurt istoric ... - SSMR
De la metoda indivizibililor la derivata -un foarte scurt istoric ... - SSMR
De la metoda indivizibililor la derivata -un foarte scurt istoric ... - SSMR
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Formu<strong>la</strong> f<strong>un</strong>damenta<strong>la</strong> a calculului diferential si integralLa jumatatea sec. al 17-lea, se ad<strong>un</strong>asera o serie de rezultate care constituiau in fapt ideile debaza ale calculului diferential si integral. Totusi, lipseau ideile "<strong>un</strong>itare", capabile sainlocuiasca ingeniozitatea geometrica si artificiile algebrice cu metode generale si sistematicede rezolvare a problemelor. Aceste metode au fost descoperite de Isaac Newton (1642- 1727)si Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Cei doi au reusit sa defineasca (desi nu inmod riguros - lipsea inca noti<strong>un</strong>ea de limita!) noti<strong>un</strong>ile generale de integra<strong>la</strong> si <strong>derivata</strong> si sale aplice corect pentru a rezolva numeroase probleme. Forta metodei lor consta in caracterul"algoritmic" - spre deosebire de incercarile particu<strong>la</strong>re de pana at<strong>un</strong>ci. Nu intram in aman<strong>un</strong>teaici, vom prezenta doar rationamentul care i-a condus pe cei doi (in mod independent) <strong>la</strong>formu<strong>la</strong> f<strong>un</strong>damenta<strong>la</strong> a calculului diferential si integral (numita si formu<strong>la</strong> Leibniz-Newton)si "definitiile" date de Leibniz derivatei si integralei.<strong>De</strong>rivata definita de Leibniz"Explicatia" lui Leibniz in incercarea sa de a defini <strong>derivata</strong> f<strong>un</strong>ctiei y=f (x) incepe prinformarea catuluiyf ( x1) f ( x)x x1xLimita acestui cat pentru x0este <strong>derivata</strong> f<strong>un</strong>ctiei f in p<strong>un</strong>ctul x, notata astazi f( x)(notatie introdusa de Lagrange). Leibniz foloseste pentru aceasta limita notatia dydx , sugerandca <strong>derivata</strong> este <strong>un</strong> "raport" intre doua cantitati infinitezimale (acest fapt ne aduce aminte deindivizibili). El sp<strong>un</strong>e:" x nu tinde <strong>la</strong> zero. In schimb, "ultima valoare" a lui xnu este zero, ci o cantitate "infinitmica" , o "diferentia<strong>la</strong>" , numita dx ; in mod simi<strong>la</strong>r, y are o "ultima" valoare infinit mica,dydy. Catul acestor doua diferentiale infinit mici este <strong>un</strong> numar obisnuit,dx ."Conform acestei "definitii", Leibniz numea <strong>derivata</strong> "cat diferential". Cantitatile "infinit mici"erau considerate ca <strong>un</strong> "tip nou de numere", care erau nenule dar mai mici decat orice numarreal pozitiv. Este c<strong>la</strong>r ca nu era comod de lucrat cu o asemenea noti<strong>un</strong>e si numai cei cuadevarat talentati puteau aborda probleme de calcul diferential si integral. Trebuie mentionatca Leibniz si Newton si toti marii matematicieni din secolele 17 si 18 - fratii Jakob si JohannBernoulli, Leonhardt Euler, etc. - au reusit sa dezvolte si sa aplice corect metodele calcululuidiferential si integral chiar si in absenta <strong>un</strong>or definitii riguroase pentru <strong>derivata</strong> si integra<strong>la</strong>.Acestea vor veni in sec 19, o data cu definirea conceptului de limita.Integra<strong>la</strong>In mod asemanator, integra<strong>la</strong> era considerata o "suma infinita " a <strong>un</strong>or "cantitati infinit demici", f(x)dx . Leibniz a notat aceasta "insumare" cu simbolul f ( x)dx , pastrat si astazi (casi notatia sa pentru <strong>derivata</strong>, dydx ).Formu<strong>la</strong> f<strong>un</strong>damenta<strong>la</strong>Noti<strong>un</strong>ile de integra<strong>la</strong> si (intr-o masura mai mica) cea de <strong>derivata</strong> aparusera inca inainte deLeibniz si Newton. Era nevoie de descoperirea legaturii dintre cele doua. Intr-<strong>un</strong> anumit sens,integrarea si derivarea s<strong>un</strong>t operatii inverse.Fie f o f<strong>un</strong>ctie (putem presup<strong>un</strong>e ca este pozitiva, pentru a avea intuitia ariei-dar nu este o
Change language