De la metoda indivizibililor la derivata -un foarte scurt istoric ... - SSMR

More documents

Recommendations

Info

$Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie Tome 49(97) No. 4 ... - SSMR$

1 11 2 ( )n nd2 2 2 3 2 n nS ( d (2 d) ... ( nd) ) d d k 6k13Lungimea intervalului fiind a, avem nd=a , deci: 1 11 2 an nS 63Pentru n foarte mare (tinzand la infinit ?!), rezultaS133 a .Observatii: Metoda indivizibililor, in ciuda unor rezultate interesante, nu oferea o bazariguroasa (nu se da o definitie pentru "indivizibil") si nici un algoritm de calcul (in exemplulde mai sus este esentiala existenta unei formule cunoscute pentru suma patratelor primelor n1numere naturale). De exemplu, daca in locul parabolei consideram hiperbola y , metodax1 1nu este eficienta deoarece nu exista o formula pentru suma 1 ... . Totusi, metoda2 npermite in unele situatii "ghicirea" unui rezultat plauzibil.Metoda indivizibililor va fi reluata si dezvoltata in sec. al XVII-lea de Bonaventura Cavallieri(unul dintre pionierii calculului integral).Metoda exhaustiuniiIn cautarea rigorii, Arhimede a completat metoda indivizibililor cu metoda exhaustiunii(metoda "epuizarii"). Ideea era ca, dupa ce se "ghicea" un rezultat plauzibil, se demonstra carezultatul corect nu putea fi nici mai mare si nici mai mic, folosind constructii geometrice carepermiteau aproximari prin lipsa si prin adaos. Trebuie mentionat ca Arhimede atribuie metodaexhaustiunii lui Eudoxus.In lucrarea "Masurarea cercului", Arhimede demonstreaza riguros formula ariei cerculuifolosind metoda exhaustiunii.
Calculul ariei cercului cu metoda exhaustiuniiIn termeni actuali rezultatul obtinut de Arhimede se poate enunta astfel:Fie C un cerc de raza R si fie S(C) aria sa. Fie, pentru orice numar natural n, Pnpoligonulregulat cu n laturi inscris in cercul C si fie P2npoligonul regulat cu 2n laturi inscris in Cobtinut prin impartirea in doua parti egale a arcelor de cerc corespunzatoare laturilorpoligonului Pn(cf. figurii de mai sus). Notam cu S( P n) aria poligonului Pnsi cu T aria unuitriunghi dreptunghic avand ipotenuza egala cu lungimea cercului (i.e. 2 R) si inaltimea egala2cu raza cercului. Atunci S(C)=T= R .Pentru demonstratie, Arhimede arata mai intai:i) S(C)- S( P 2n) < 1 2 ( S(C)- S( Pn) ),implica S( C) S( P n) 0pentru n .ii) S( P n) < T. n ; se observa, ca, in termeni moderni, acest faptAplicand metoda exhaustiunii, Arhimede demonstreaza inegalitatile T S(C) si S(C) T:1) T S(C).Presupunand prin absurd ca ca S(C)-T >0, exista n astfel incatRezulta ca S( P n) > T, contradictie cu (ii).S(C)- S( P n) < S(C)-T2. Inegalitatea S(C) T se demonstreaza analog, folosind poligoane circumscrise.
Page 1: De la metoda indivizibililor la der
Page 5 and 6: segment de parabolaIdeea demostrati
Page 7 and 8: k k1 k2....., ar , ar , ar ,..., ar
Page 9 and 10: Metoda indivizibililor perfectionat
Page 11 and 12: Formula fundamentala a calculului d
Page 13 and 14: maestrilor care au pus bazele calcu
Page 15: (i) a si b sunt multipli de n;a b (

De la metoda indivizibililor la derivata -un foarte scurt istoric ... - SSMR

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?