De la metoda indivizibililor la derivata -un foarte scurt istoric ... - SSMR

21 ceea ce conduce la rezultatul .2n 6n1Desigur, Euler era constient de punctele slabe ale rationamentelor sale: nu toate rezultateleadevarate pentru polinoame sunt adevarate pentru serii de puteri. Totusi, Euler era sigur carezultatul este corect pentru ca el concorda cu aproximarile obtinute anterior.Trebuie mentionat ca exista serii de puteri care nu satisfac relatii de tipul () .Un exemplusimplu in acest sens este dat de seria geometrica; fie functia:1f x x x x x1x2 3( ) 2 1 ...., ( 1,1).1Ecuatia f(x) = 0 are o singura solutie: x 2 . Pe de alta parte, daca incercam sa extrapolamformula pentru suma inverselor radacinilor unui polinom la seria de puteri a functiei f,obtinem o contradictie: 2 = 1.1Cu acelasi tip de rationament, suma seriei se poate calcula si plecand de la seria de2n1nputeri a functieinsin x ( 1)n x .x (2n1)!n0O aplicatie in teoria probabilitatilorIncheiem aceasta prezentare a problemei de la Basel cu o aplicatie in teoria probabilitatilor.Orice serie convergenta cu termeni pozitivi a Sdefineste o distributie discreta den1anprobabilitate pn , n 1,2,3,... O variabila aleatoare astfel distribuita ia valoarea ancuS6 1probabilitatea pn. In cazul seriei lui Euler, rezulta distributia de probabilitate p n 2 2 n.Ne propunem sa rezolvam urmatoarea problema:Fie n 1,2,3,... fixat; care este probabilitatea ca alegand la intamplare doua numere naturalenenule acestea sa aiba cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) egal cu n ?6 1Vom demonstra in continuare ca raspunsul este p n 2 2 n. Intr-o formulare echivalenta, variabila aleatoare (discreta) X : , care asociaza unei perechi de numere naturale6 1nenule ( k1, k2), c.m.m.d.c. al numerelor k1si k2are distributia de probabilitate p n 2 2 n,6 1i.e. P( X n) p n 2 2 n.Vom nota cu qnprobabilitatea ca alegand la intamplare doua numere naturale nenule acesteasa aiba c.m.m.d.c. egal cu n si vom demonstra ca qn pnVom nota c.m.m.d.c. a doua numere a si b cu D(a; b). Daca a si b sunt doua numere naturalenenule, atunci D(a; b) = n daca si numai daca sunt adevarate urmatoarele doua afirmatii:n