De la metoda indivizibililor la derivata -un foarte scurt istoric ... - SSMR

More documents

Recommendations

Info

$Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie Tome 49(97) No. 4 ... - SSMR$

21 ceea ce conduce la rezultatul .2n 6n1Desigur, Euler era constient de punctele slabe ale rationamentelor sale: nu toate rezultateleadevarate pentru polinoame sunt adevarate pentru serii de puteri. Totusi, Euler era sigur carezultatul este corect pentru ca el concorda cu aproximarile obtinute anterior.Trebuie mentionat ca exista serii de puteri care nu satisfac relatii de tipul () .Un exemplusimplu in acest sens este dat de seria geometrica; fie functia:1f x x x x x1x2 3( ) 2 1 ...., ( 1,1).1Ecuatia f(x) = 0 are o singura solutie: x 2 . Pe de alta parte, daca incercam sa extrapolamformula pentru suma inverselor radacinilor unui polinom la seria de puteri a functiei f,obtinem o contradictie: 2 = 1.1Cu acelasi tip de rationament, suma seriei se poate calcula si plecand de la seria de2n1nputeri a functieinsin x ( 1)n x .x (2n1)!n0O aplicatie in teoria probabilitatilorIncheiem aceasta prezentare a problemei de la Basel cu o aplicatie in teoria probabilitatilor.Orice serie convergenta cu termeni pozitivi a Sdefineste o distributie discreta den1anprobabilitate pn , n 1,2,3,... O variabila aleatoare astfel distribuita ia valoarea ancuS6 1probabilitatea pn. In cazul seriei lui Euler, rezulta distributia de probabilitate p n 2 2 n.Ne propunem sa rezolvam urmatoarea problema:Fie n 1,2,3,... fixat; care este probabilitatea ca alegand la intamplare doua numere naturalenenule acestea sa aiba cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) egal cu n ?6 1Vom demonstra in continuare ca raspunsul este p n 2 2 n. Intr-o formulare echivalenta, variabila aleatoare (discreta) X : , care asociaza unei perechi de numere naturale6 1nenule ( k1, k2), c.m.m.d.c. al numerelor k1si k2are distributia de probabilitate p n 2 2 n,6 1i.e. P( X n) p n 2 2 n.Vom nota cu qnprobabilitatea ca alegand la intamplare doua numere naturale nenule acesteasa aiba c.m.m.d.c. egal cu n si vom demonstra ca qn pnVom nota c.m.m.d.c. a doua numere a si b cu D(a; b). Daca a si b sunt doua numere naturalenenule, atunci D(a; b) = n daca si numai daca sunt adevarate urmatoarele doua afirmatii:n
(i) a si b sunt multipli de n;a b (ii) D, 1. n n Probabilitatea ca un numar natural nenul sa fie multiplu de n este 1 , deci probabilitatea can1doua numere naturale nenule sa fie ambele multipli de n este . Fie acum a si b doi multipli2na b de n; atunci probabilitatea (conditionata de nasi nb) ca D, 1 n n este egala cu probabilitatea neconditionata ca doua numere naturale nenule (arbitrare) sa fieprime intre ele, deci este q1. Din faptul ca evenimentele (i) si (ii) sunt independente, rezulta16qn q2 1. Pe de alta parte, din conditia qn1, rezulta q1 , ceea ce incheie2nn1demonstratia.Bibliografiehttp://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/emat6690/essay1/essay1.htmlhttp://www.ams.org/samplings/feature-column/fc-2012-02http://www.ams.org/samplings/feature-column/fc-2012-02http://www.math.ubc.ca/~cass/archimedes/parabola.htmlhttp://www.math.ufl.edu/~joelar/FermatsIntegration.pdf
Page 1 and 2: De la metoda indivizibililor la der
Page 3 and 4: Calculul ariei cercului cu metoda e
Page 5 and 6: segment de parabolaIdeea demostrati
Page 7 and 8: k k1 k2....., ar , ar , ar ,..., ar
Page 9 and 10: Metoda indivizibililor perfectionat
Page 11 and 12: Formula fundamentala a calculului d
Page 13: maestrilor care au pus bazele calcu

De la metoda indivizibililor la derivata -un foarte scurt istoric ... - SSMR

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?