De la metoda indivizibililor la derivata -un foarte scurt istoric ... - SSMR
De la metoda indivizibililor la derivata -un foarte scurt istoric ... - SSMR
De la metoda indivizibililor la derivata -un foarte scurt istoric ... - SSMR
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Calculul ariei cercului cu <strong>metoda</strong> exhausti<strong>un</strong>iiIn termeni actuali rezultatul obtinut de Arhimede se poate en<strong>un</strong>ta astfel:Fie C <strong>un</strong> cerc de raza R si fie S(C) aria sa. Fie, pentru orice numar natural n, Pnpoligonulregu<strong>la</strong>t cu n <strong>la</strong>turi inscris in cercul C si fie P2npoligonul regu<strong>la</strong>t cu 2n <strong>la</strong>turi inscris in Cobtinut prin impartirea in doua parti egale a arcelor de cerc coresp<strong>un</strong>zatoare <strong>la</strong>turilorpoligonului Pn(cf. figurii de mai sus). Notam cu S( P n) aria poligonului Pnsi cu T aria <strong>un</strong>uitri<strong>un</strong>ghi drept<strong>un</strong>ghic avand ipotenuza ega<strong>la</strong> cu l<strong>un</strong>gimea cercului (i.e. 2 R) si inaltimea ega<strong>la</strong>2cu raza cercului. At<strong>un</strong>ci S(C)=T= R .Pentru demonstratie, Arhimede arata mai intai:i) S(C)- S( P 2n) < 1 2 ( S(C)- S( Pn) ),implica S( C) S( P n) 0pentru n .ii) S( P n) < T. n ; se observa, ca, in termeni moderni, acest faptAplicand <strong>metoda</strong> exhausti<strong>un</strong>ii, Arhimede demonstreaza inegalitatile T S(C) si S(C) T:1) T S(C).Presup<strong>un</strong>and prin absurd ca ca S(C)-T >0, exista n astfel incatRezulta ca S( P n) > T, contradictie cu (ii).S(C)- S( P n) < S(C)-T2. Inegalitatea S(C) T se demonstreaza analog, folosind poligoane circumscrise.
Change language