• Newtons 3 lagar för partikelrörelse: • Eulers lagar för stela kroppar i ...

!
!
!
!
!
Föreläsning 1:
• Newtons 3 lagar för partikelrörelse:
1. En 'fri' partikel förblir i vila eller i konstant rätlinjig
rörelse.
2. ma = F (vektorekvation)
m = massa, a = acceleration, F =totala kraften.
3. Krafter uppstår i par (aktion-reaktion) så att summan
är noll.
!
!
• Eulers lagar för stela kroppar i vila:
1. F = 0 (Ingen translation av masscentrum)
där F = totala ’yttre’ krafter.
2. M O = 0 (Ingen rotation kring masscentrum)
M O = totala kraftmomentet från ’yttre’ krafter. O är
en godtycklig momentpunkt.
3. Krafter uppstår i par (aktion-reaktion) så att summan
är noll. (se Newton 3!)
1

• DIMENSIONSANALYS
Grundläggande storheter
•STORHET DIMENSION (SI-)ENHET
massa M kg
längd, läge L m
tid T s
______________________________________________
+ härledda storheter, t.ex.
kraft MLT !2 N (= kg m/s/s)
hastighet LT -1 m/s
acceleration LT !2 m / s 2
Härledda storheter beror av grundläggande storheter
genom definitioner och lagar.
2

EXEMPEL: Avgör om hastighetsformeln
v = 2gh är dimensionsriktig.
Lösning:
dim{ v}
= LT !1 , dim{ g}
= LT !2 , dim{ h}
= L .
Dimensionsanalys av VL och HL ger samma resultat.
EXEMPEL: Bestäm så långt möjligt ett samband vid fritt
fall mellan hastighet, massa, tyngdacceleration och
fallhöjd!
Lösning: Ansätt
v = konst .!m " g # h $ (finns det andra ansatser?)
Jämför dimensioner i VL och HL.:
dim v { } = LT !1 , dim{ m } = M, dim{ g}
= LT !2 , dim h
dvs L:s exponent i VL=HL ger: 1 = ! + "
M:s exponent i VL=HL ger: 0 = !
T:s exponent i VL=HL ger: !1 = !2"
Detta ger: ! = 0, " = 1 / 2, # =1 / 2
dvs
v = konst gh
Jämför med det riktiga uttrycket!!
3
{ } = L

• KRAFTER (som finns och som inte finns)
Vanliga krafter:
Tyngdkraft är kraften på föremål vid jordytan.
jorden
'Vardagskrafter': Trådkraft, friktion, normalkraft.
Andra finns inte:
Centrifugalkraft: En tröghetskraft, som inte är
verklig. Skenbar upplevelse av 'kraft' i en centrifug eller
liknande.
Centripetalkraft: Förekommer på gymnasiet i
samband med centripetal acceleration. Förväxlas ibland
med en komposant av verklig kraft.
4

• Mer om krafter
-Newtons 3:e lag: Krafter uppkommer i par så att
den uppkomna totalkraften är noll.
Exempel: Kontaktkrafter.
De båda krafterna verkar på olika föremål.
Trådkrafter. Betrakta en trådbit som spänns av två
’yttre’ krafter.
Vid varje tänkt tvärsnittsyta genom en lätt tråd
finns ett motriktat kraftpar bestående av två
krafter som är lika stora som de båda ’yttre’
krafterna i ändarna.
5

!
!
T T
Exempel: Hur stor kraft påverkas skivan med?
–Krafter är vektorer:
Tre komponenter: F = ( Fx,F y,Fz ).
En vektor har längd och riktning:
Längd:
!
Riktning:
!
2 2 2
F = F = Fx + Fy + Fz
!
e F = F
F
. (Sortlös vektor med längden 1)
Exempel: Bestäm kraftens komponenter!
Svar:
Fx = F sin" , Fy = F cos" ,
dvs F = ( Fsin", Fcos",0).
!
!
F z = 0,
6

!
!
!
!
!
!
Exempel: Bestäm kraftens riktning!
Svar:
e F = ( sin", cos",0).
Koordinataxlar representeras ibland av riktningarna
e x,e y,e z, som är enhetsvektorer.
En kraft kan därför beskrivas som:
F = F x e x + F y e y + F z e z ,
F xe x är en komposant.
F x är en komponent.
Komponent i annan axelriktning:
Sök komponenten i längs en axel (riktad linje) L.
FL = F •e L. Här används skalärprodukten • och en
riktningsvektor för axeln. Man får en projektion
på axeln L.
!
!
!
7

!
KRAFTERS VERKAN PÅ STELA
KROPPAR
• acceleration (Eulers 1:a lag)
• rotation (Eulers 2:a lag)
F F
A B
ej rot rot
Det behövs två tillbehör för att beskriva krafter:
•angreppspunkt (se figuren ovan, A och B eller r A
och r B)
•verkningslinje ( r Al = r A + le F , "# < l < #)
! ! !
Viktigt! Kraft är en matematisk vektor! En angreppspunkt
! behandlas ! också som en vektor i
många fall. Hur räknar man med vektorer?
Skalärprodukt? Vektorprodukt?
8

!
!
• KRAFTMOMENT med avséende på en
fix momentpunkt P .
– Kraftmomentet som vektor
Definition: M P = r PA " F ,
där
r PA = r A " r P och
och rP är momentpunktens dito.
Speciellt: ! Om r PA // F är M P = 0 .
!
!
!
r Aär angreppspunktens koordinater
9

!
!
!
!
Krafter i ett plan
Låt r A = ( xA ,y A ,0),
r P = ( 0,0,0)
och
Momentet map origo blir
e x e y e z
M !
O = r A " F = xA yA 0 !
Fx Fy 0
= ( xA Fy " yA Fx )e . z
Betrakta figuren:
y A
O
F x och
F y
x A
F
F x
F y vrider åt olika håll om
F = ( Fx,F y,0)
.
Fx , F >0. y
Moment m a p punkt respektive axel
Totala vridande förmågan med avseende på en punkt O:
!
M O = ( MOx ,MOy ,M! Oz!
)
!
!
.
Komponenten MOz är kraftens vridande förmåga map zaxel
genom origo.
MOz = xA Fy " yA F . x
Matematisk
!
projektion av hela momentet: MOz = M O •e z .
!
!
!
10

!
!
– Kraften kan flyttas längs sin verkningslinje.
Förskjut kraften så att angreppspunkten ändras:
r " r + le F .
Bestämning av kraftmomentet:
M ' O = ( r + le F ) " F = r " F + l e F " F = M O
= 0 ,ty //
För ett givet kraftmoment kan samma kraft ligga var som
helst på en linje.
11

!
!
!
Problem: Kraften P appliceras vinkelrätt på balkens
övre del. Beräkna kraftens moment med avseende på
böjleden respektive fotfästet.
P=30 N
d=1.6 m
45 o
d=1.6 m
Lösning: Med 'origo' i böjpunkten ( B ) blir
angreppsvektorn och kraften vinkelräta:
MB = dP =1.6 " 30 Nm = 48 Nm (negativ vridning i
planet)
Med 'origo' i fotpunkten ( A ) blir det svårare. Dela upp
kraften i horisontell och vertikal komposant. Den
horisontell komposanten har sin momentarm och den
vertikala sin. Addera:
MA = P cos45 o d + d cos45 o
( ) + P cos45 o d cos45 o ( )
= dP 1+ 1 " %
$ ' = 81.94 Nm (negativ vridning i planet)
# 2 &
12

!
KOMIHÅG 1:
---------------------------------
• Kraft är en vektor med angreppspunkt och
verkningslinje.
• Kraftmoment: M P = r PA " F ,
r P=momentpunkt, r A angreppspunkt,
• Oberoende av om angreppspunkten flyttas längs
verkningslinjen.
!
Föreläsning 2:
!
!
r PA = r A " r P .
ANALYS OCH FÖRENKLING AV
KRAFTSYSTEM
Två elementära (grundläggande) kraftsystem:
• Ensam kraft: Ensam kraft kan inte förenklas, bara
flyttas längs sin verkningslinje.
• Ensamt KRAFTPAR:
Två lika, men motriktade, krafter som angriper ett
föremål.
13

!
!
!
!
!
• Studium av ett KRAFTPAR
Betrakta två lika, men motriktade, krafter som angriper ett
föremål med xy-axlar på följande fyra sätt:
O
y
Ett kraftpars totala kraftsumma = 0 , men det totala
kraftmomentet är i allmänhet inte noll. Med angrepp i r 1
och r 2 ger kraftparet ett moment:
( )
M O = r 1 " F + r 2 " #F
!
= ( r 1 # r 2)
" F
Byte av momentpunkt från O till
M P = ( r 1 " r P ) # F + r 2 " r P
= ( r 1 " r 2)
# F = M O
Oändligt många ! olika par ! av krafter kan skapa samma
moment=kraftpar (par). Storleken (abslutbeloppet) av
momentet beräknas enklast med formeln:
M = dF
F =kraftens belopp, d=avstånd mellan kraftparets
verkningslinjer. Vridningsriktningen kan förtydligas med
en bågformad pil för vridningar (moturs/medurs) i ett plan.
!
x
P ?
( ) # ( "F )
!
14

!
Krafters verkan på stel kropp:
Hur än ett system av många krafter ser ut så är det viktiga
för dess verkan på stela kroppar hur totalkraften F ser ut
och hur den totala vridande förmågan M P ser ut, för
någon lämplig momentpunkt P .
Därför kan varje kraftsystem förenklas ! till en kraft samt
!
ett kraftparsmoment.
!
Speciellt vid JÄMVIKT.
Jämviktslag (Eulers lagar):
Det måste gälla för alla val av P :
1) F = 0 , 2) M P = 0 .
I praktiken räcker det att välja en lämplig momentpunkt P
för beräkning av kraftmomentet.
!
!
Q
R
P
M
15

•EKVIMOMENTA KRAFTSYSTEM
Definition: Ekvimomenta kraftsystem är sådana att deras
totala kraftmoment är lika för godtyckligt val
av momentpunkt. Systemen har samma
kraftsumma (totalkraft).
d
F
M=Fd
De båda kraftsystemen i figuren är ekvimomenta.
• Reduktionspunkt: angreppspunkt för det förenklade
kraftsystemet, dvs RESULTANTEN
Varje val av reduktionspunkt är tillåtet. Ett kraft-kraftpar
system i en vald reduktionspunkt kallas resultant(systemet)
eller reduktionsresultatet för denna
reduktionspunkt.
F
16

Problem: Förenkla följande plana kraftsystem till ett
ekvimoment kraft-par system i origo. Om möjligt hitta en
speciell reduktionspunkt så att kraftparsmomentet blir
noll.
F
d
d
d
F
Lösning: först sedan
2F
F
M=-2Fd
d
F
2F
d
17

!
!
!
!
!
!
Sambandsformeln för kraftmoment.
–Byte av momentpunkt:
Antag att vi har ett system av krafter och kraftpar. Detta
kan beskrivas av ett antal krafter med respektive
angreppspunkter: { r j,F j},
där j =1, 2, ..., N .
I momentpunkten O ’mäter’ vi det totala momentet
N
#
M O = r j " F ,
j
! j=1 !
för N krafter ! utplacerade med angreppspunkter r . j
I momentpunkten P mäter vi det totala momentet
N
M P = $ ( r j " r P ) # F , för samma krfter.
j
j=1
!
Skillnaden ! blir i detta fall:
N
N
M O " M P = $ ( r j " r j + r P ) # F =
j # ( r P " F j ) .
j=1
Detta uttryck kan lätt förenklas om vi inför totala kraften
N
F = " F j .
j=1
!
Ty nu ser vi sambandet:
M O = M P + r P " F . (Sambandsformeln för M)
Kom ihåg att
momentpunkter.
r P = r OP ! Ifall man vill jämföra andra val av
Anmärkning: Försök förstå hur vektorn r P " F är riktad i
!
förhållande till F ? För alla krafter blir både M O och M P
ortogonala mot F !!
!
!
!
!
j=1
!
18

!
• ENKRAFTS-RESULTANT
Ett kraftsystem som kan reduceras till endast en ekvivalent
kraft F sägs ha en enkraftsresultant F .
Problem: Finns det fler enkraftsresultanter som
är ekvivalenta med ett
!
givet kraftsystem.???
Svar: Ja!! Längs en linje av reduktionspunkter,
som ligger på kraftsummans verkningslinje.
Hur bevisas detta?
Problem: Har det plana kraftsystemet i figuren en
enkraftsresultant? Rita ut den i så fall.
Lösning: Ja! Se figuren:
19

!
!
!
!
!
Enkraftsresultant finns inte alltid!
Antag att det finns en enkraftsresultant F som angriper i
r A. Då kan denna ensamma kraft återskapa momentet M O
för det ursprungliga kraftsystemet. Dvs: M O = r A " F .
För kraftsystem med enkraftsresultant ! gäller således:
M O "F (kryssproduktens egenskap).
!
Egenskapen är ett användbart villkor för att testa om ett
!
kraftsystem har en enkraftsresultant eller inte.
Hur hittar man placeringen r A av en kraftsresultant?
För att bestämma denna behöver man räkna ut
kraftsumman och momentsumman av det ursprungliga
kraftsystemet. Vi kan alltid använda origo som momenpunkt.
Sedan ställer
!
vi upp ekvationen:
M O = r A " F
Använd komponenter i ekvationen. För ett plant
kraftsystem förenklas vektorekvationen till den 'skalära'
ekvationen för z-riktingens komponent (upp ur xy-planet):
xA Fy " yA Fx = MO Detta är ett samband för en linje i ( x, y )-planet, men det
räcker att hitta en punkt på linjen, t.ex där y = yA = 0.
Alltså har vi resultantens läge i planet givet av
r !
A =
!
M " %
O $ ,0'
# F
'
, samt längs verkningslinjen.
y &
Komihåg: En krafts angreppspunkt kan fritt väljas längs
kraftens verkningslinje!!
20

Problem: Bestäm enkraftsresultanten för de två
verkande krafterna på balken.
8 kN
2 m 4 m
5 kN
Lösning: Den ekvimomenta enkrafts-resultanten
måste vara lika stor som kraftsumman av de
ursprungliga krafterna, dvs F =-3 kN. Antag att den
y
angriper på avståndet x från väggen. Då måste gälla
att totala momenten m a p väggfästet är lika:
Fy x = 5 ! 2 kNm" ! 8 !6 kNm = "38 kNm
x =12.67 m
HOPPSAN! Enkraftsresultanten kanske inte
alltid är förknippad med en fysikalisk punkt!
Anmärkning: Enkraftsresultanten kan ju inte vrida map sin
egen angreppspunkt. Det måste då även gälla det
ursprungliga kraftsystemets totala moment i den
angreppspunkten.
21

!
•NÅGRA SYMMETRISKA KRAFTSYSTEM
4 TYPISKA KRAFTSYSTEM (igelkottar) OCH
RESULTANTER (en spik eller en skruv)
-- Centralkraftsystem: Det finns ett naturligt centrum för
krafternas verkningslinjer.
Lämplig reduktionspunkt är i centrum - enkraftsresultant.
--Parallellkraftsystem: Det går även här att hitta en
ekvimoment enkraftsresultant. Reduktionspunkten(linjen)
hittas genom att lösa ut ortsvektorn i 'balansekvationen'
r " F = M O
där F = " F j
och M O = " M jO
.
!
j
!
-- Plana system: Finns en enkraftsresultant om bara
kraftsumman inte är noll.
-- Centrallinjesystem: En naturlig symmetriaxel, men
ingen enkraftsresultant.
-- Godtyckligt system: Den enklaste resultanten är en s.k.
kraftskruv.
j
22