Tentamen i SG1113 Mekanik, fortsättningskurskurs F

Institutionen för Mekanik
Nicholas Apazidis
tel: 790 7148
epost: nap@mech.kth.se
hemsida: http://www.mech.kth.se/~nap/
F-fk-090602
Tentamen i SG1113 Mekanik, fortsättningskurskurs F
Varje uppgift ger högst 3 poäng. Hjälpmedel: papper & penna, linjal.
Skrivtid: 4h. OBS! Uppgifterna 1- 8 skall inlämnas på separata papper.
Lycka till!
Problemdelen
1)
2)
ey
ez
ex
B
b
O
l
45 o
l
ω
l
v
C
A
Armen OA med längden b roterar med en konstant
vinkelhastighet ω
0
kring den fixa änden O. Den
andra änden A, är länkad till en hävstång AB med
längden l. Änden B av hävstången driver en kolv
som kan glida i en horisontell cylinder. Bestäm
kolvens acceleration a B
i ögonblicket då OA är
horisontell och AB bildar vinkeln 45° med horisontalen.
En kvadratisk ram tillverkad av fyra homogena
stänger vardera med längden l glider på ett glatt
horisontellt underlag. Ramen roterar med vinkelhastigheten
ω . Bestäm hastigheten v av ramens
mittpunkt C så att ramens translationsenergi blir
lika med dess rotationsenergi.
3)
4)
R
x x 1 2
B
x
P
En homogen cirkulär cylinder med radien R och
massan m kan rulla på en vagn med lika massa.
Vagnen i sin tur rullar fritt på en horisontell yta.
Ett rep som är lindat kring cylinderna påverkas av
en konstant horisontell kraft P som gör att systemet
kommer i rörelse. Förutsatt att cylindern rullar utan
att slira på vagnen bestäm accelerationerna av cylinderns
och vagnens masscentra, x&&
1
resp x&&
2
.
k k En homogen stång AB med massan m och längden l
kan röra sig friktionsfritt i ett vertikalplan enligt
figuren. Änden A av stången är fäst i en två lätta
fjädrar vardera med fjäderkonstanten k. Fjädrarna
är ospända då stången är vertikal. Uppställ rörelseekvationen
för stången, linearisera denna samt be-
l
stäm perioden τ för små svängningar kring jämviktsläget.
V.g. vänd!

Teorihälften
5) a. Härled uttrycket för tidsderivatan av enhetsvektorn e&
x'
av det rörliga koordinatsystemet.
(1p)
b.
z´
R
x´ y´
Flygplanet med massan m i figuren flyger längs sydnord
meridianen i rakt nordlig riktning med en konstant
fart (hastighetsbelopp) v relativt jorden.
Bestäm till belopp och riktning och som funktion av
latitudvinkeln θ tröghetskrafterna F sp
och F cor
som
verkar på flygplanet i det jordfixa koordinatsystemet
angivna i figuren. Jordens radie R och vinkelhastighet
ω anses vara givna. Bestäm vidare varje tröghetskrafts
största och minsta belopp samt motsvarande
värden på latitudvinkeln.
(2p)
6) a.
y
z
G
R
x
Betrakta cirkelskivan med massan m och radien R och bestäm
I
z
, I
x
samt I
y
för det valda koordinatsystemet.
(1p)
b. Betrakta ett partikelsystem och härled uttrycket för kinetiska energins T två delar. (1p)
c.
l
En horisontell arm OC med längden L roterar
A
G
ω B med vinkelhastigheten ω
0
1
kring en vertikal axel
C
O
L
genom O. Stången AB med massan m och längden
l roterar i sin tur med en absolut (relativt det fixa
ω1
rummet) vinkelhastighet ω0
kring en vertikal axel
CG genom stångens masscentrum G. Bestäm
stången AB:s kinetiska energi T.
(1p)
7) a. Utgå från momentekvationen med avseende på ett partikelsystems masscentrum G och härled
momentekvationen på formen i vilken rörelsemängdsmomentet beräknas med avseende på G
och kraftmomentet med avseende på en godtycklig punkt A.
(1p)
b. Betrakta en stel kropp som roterar kring en fix punkt O och härled uttrycket för kroppens rörelsemängdsmoment
med avseende på den fixa punkten L
O
.
(1p)
c. Betrakta en stel kropp som roterar kring en fix punkt, inför ett kroppsfixt huvudaxelsystem,
Oxyz och härled x-, y- och z – komponenterna av Eulers dynamiska ekvationer
(1p)
8) a. Definiera vad menas med variationen δq() t av en generaliserad koordinat q(). t (1p)
b. Formulera Hamiltons variationsprincip. (1p)
c. Härled Lagranges ekvationer från Hamiltons variationsprincip. (1p)