Facit till Griffiths bok, kapitel 1-3, delar av kap. 4

1.1a 〈j〉 2 = 441 〈j 2 〉 = 459.571
b σ 2 = 18.571, σ = 4.309
c 18.571
1.2a 0.2981h
b 0.393
1.3a A = (λ/π) ½
b σ = 1/(2λ) ½
1.4a A = (3/b) ½
c x = a
d P = a/b
e (2a+b)/4
1.5a A = λ ½
b 〈x〉 = 0
〈x 2 〉 = 1/(2λ 2 )
c σ =1/2 ½ λ
0.2431
1.6 Integrationsvariablen är x, inte t
Facit kapitel 1-4
1.7 Derivera båda leden i ekvation (1.33) med avseende på t, använd
och ekvationerna (1.23-1.24).
2 2
1.8 Den har ingen effekt på förväntningsvärdet av den dynamiska variabeln.
1.9a
⎛2am ⎞
A = ⎜
π
⎟
⎝ ⎠
1/4
b V(x) = 2ma 2 x 2
c 〈x〉 = 0; 〈x 2 〉 = ħ/4am; 〈p〉 = 0; 〈p 2 〉 = amħ
d σx=(ħ/4am) ½ , σp=(amħ) ½
1.10a P(j) = N(j)/N
b 3; 4; 4.72
c 28.4; 2.474
1.11a ρ(θ) = 1/π om 0≤ θ ≤ π, 0 i övrigt
b = π/2, = π 2 /3, σ = π/2√3
c = 2/π, = 0, = ½
∂ ψ ∂ ψ
=
∂x∂t ∂t∂ x
,

1.12a ρ(x)=1/π(r 2 -x 2 ) 1/2 –r

4 6 2 1 nπ
n
Ψ ( xt , ) = ∑ ( −1)
sin( xe )
π a n a
c P1 = 0.9855
d 〈H〉 = 6ħ 2 /ma 2
( 1)/2
2 2
1,3,5..
n−
n=
2.8a A för 0

c 〈x〉 = 24
cos( ωt)
, 〈p〉 =
25 2mω
24 mω
sin( ωt)
25 2
d E0 = 1
2 ω
med sannolikhet 9/25 och E1 = 3
2 ω med sannolikhet 16/25
2.14 Sannolikheten är noll att få ħω/2. Sannolikheten för ħω är 0.943.
2.15 0.157
2.16 H6(ξ) = -120 + 720ξ 2 -480ξ 4 + 64ξ 6
2.17a H3(ξ) = -12ξ + 8ξ 3 , H4(ξ) = 12 - 48ξ 2 + 16ξ 4
b H5 = 120ξ - 160ξ 3 + 32ξ 5 , H6 = -120 + 720ξ 2 -480ξ 4 + 64ξ 6
c dH5/dξ = (2)(5)H4, dH6/dξ = (2)(6)H5
d H0(ξ) = 2ξ, H1(ξ) = -2+4ξ 2 , H2(ξ) = -12ξ + 8ξ 3
2.18 C = A+B, D = i(A-B); A = 0.5(C-iD), B=0.5(C+iD)
2.19 J = (ħk/m)⏐A⏐ 2
2.20c Δk = π/a
2.21a A=√a
a 2a
2π
k + a
b φ(
k)
= 2 2
3/2
∞
2
k
1 ikx ( − t)
2m
2 2
a
c Ψ ( x, t) =
e dk
π ∫ k + a
−∞
d För stora a är Ψ(x,0) en skarp spik medan φ(k)≈(2/πa) ½ är bred och flack.
Positionen är välbestämd men rörelsemängden dåligt bestämd. För små a är
situationen den omvända.
2.22a A=(2a/π) 1/4
b
1/4 2
− ax /(1+ 2 iat / m)
⎛2a⎞ e
Ψ ( xt , ) = ⎜
π
⎟
⎝ ⎠ 1+ 2 iat/ m
2 2 2 2
2 x
c
e ω −
Ψ = ω
π
d 〈x〉 = 0, 〈p〉=0, 〈x 2 〉=1/4ω 2 , 〈p 2 〉=ħ 2 a, σx=1/2ω, σp= ħ√a
e
2.23a -25
b 1
c 0
σσ x p = 1 + (2 at / m)
≥
2 2
2
; likhet när t = 0

2.24a Sätt y≡cx, så att dx=(1/c)dy
b θ funktionen är konstant (med derivatan noll) utom för x=0, där derivatan är
oändlig
2.25
2.26
2
mα
σσ x p = = 2 >
2mα
2 2
Fk ( ) =
1
2π
2.27b Ett bundet tillstånd om α ≤
2ma
; två bundna tillstånd om α >
2ma
E=-0.615(ħ 2 /ma 2 ), E=-0.317(ħ 2 /ma 2 ); E=-0.0682(ħ 2 /ma 2 )
2
2.28 T=⏐F/A⏐ 2 8g 4 /((8g 4 +4g 2 +1) + (4g 2 -1)cosφ -4gsinφ), g= ħ 2 k/2ma och φ = 4ka
2.29 Om z0 < π/2 så finns inga udda bundna tillstånd
2.30 D=1/((a+1)/κ) 1/2 F=e κa cos(la)/((a+1)/κ) 1/2
2.31 E = -mα 2 /2 ħ 2
2.35a R=1/9
c T = 8/9
2.37 A=4/(5a) 1/2 ; = a/2
2.38a E2 = π 2 ħ 2 /2ma 2 , samma som förut; P2=1/2
b E1 = π 2 ħ 2 /8ma 2 , P1 = 32/9π 2
c π 2 ħ 2 /2ma 2
2.39b Tc = a(2m/e) 1/2
c E=π 2 ħ 2 /8ma 2
2.40a 3 st
b P=0.54204
2.41a 73 ħω/50
b T=π/ ω
2.42 En = (n+½) ħω, n = 1,3,5... (endast udda lösningar)
2.43a A = (2a/π) 1/4
b
1/4
⎛2a⎞ 1
Ψ ( xt , ) = ⎜ ⎟
e e
⎝ π ⎠ 1+ 2 iat/ m
2 2
− l /4 a a( ix+ l/2 a) /(1+ 2 iat/ m)
2

c
2
Ψ ( xt , ) = we
π
2 2
2 −2 w ( x−θl/2 a)
d 〈x〉 = ħlt/m, 〈p〉 = ħl, 〈x 2 〉 = 1/4w 2 + (ħlt/m) 2 , 〈p 2 〉 = ħ 2 (a+l 2 ), σx = 1/2w, σp = ħ√a
e σx och σp samma som i uppgift 2.22, så svaret är ja.
2.44 Jämna lösningar:
2 2 2 2
k n π
ψ ( x) = A(sinkx+ cos kx)(0 ≤ x≤a); ψ( − x) = ψ(
x); En≥
2
mα2 m(2 a)
2 2 2
n π
Udda lösningar: ψ ( x) = Asin( kx)(0 < x< a); E =
2
2 m(2 a)
2 2 2
± 1 ± i(2 nπx/ L)
2nπ
2.46 ψ n( n) = e ; En
= 2
L
mL
2.47a (i) b = 0 ⇒ vanlig, ändlig kvantbrunn; (ii) Grundtillståndet är jämnt,
exponentiell avklingning utanför brunnen, sinuskurva innanför; (iii) b>>a, samma
som i (ii), men vågfuktionen mycket liten i barriärregionen
c I det jämna fallet så bidrar elektronen till att kärnorna dras mot varandra, så att
elektronen bidrar till att binfa atomerna till varandra. I det udda fallet bidrar
elektronen till att kärnorna repellerar varandra.
2.48a
b
dΨ2 3 ⎡ a ⎤
= 1 2 θ ( x )
dx a a
⎢
− −
⎣ 2 ⎥
⎦
4 3
( )
dx a a 2
δ
Ψ
=− −
2
d a
x
2
c 〈H〉 = 6ħ 2 /ma 2
2.49b
Ψ=
mω e
π
mω 2
− ( x−acos ωt)
c 〈x〉 = acosωt, 〈p〉 = -maωsinωt; Ehrenfests teorem är uppfyllt.
2.50b 〈H〉 = E + mv 2 /2
2.51b E = -ħ 2 a 2 /2m, A = (a/2) ½
c
( ik − a)
ψ k ( x) → A e
( ik + a)
2.52a
ikx
1 ⎛iβ1⎞ S = ⎜ ⎟
1−
iβ
⎝ 1 iβ
⎠
, R = 0, T = 1

2 2
⎛ ( l − k )
−2ika
i sin 2la e
⎜
2kl
b S =
⎜
2 2
( k + l ) ⎜
cos 2la − i sin 2la 1
2kl ⎜
⎝
2.53a
⎞
1 ⎟
⎟
2 2
( l − k ) ⎟
i ⎟
2kl
⎠
2 M21 Rl = S11 =
M
2 det( M )
, Tl = S21 =
M
2 M12
, Rr = S22 =
M
2 1
, Tr = S12=
M
⎛ 1+
iβ c M = ⎜ 2ika
⎝−iβe −2ika
iβe ⎞
⎟
1−iβ⎠
d
2 2 2 2
22 22 22 22
2 4ika
⎛ 1+ 2 iβ + β ( e − 1) 2 iβ(cos2ka+ βsin2
ka)
⎞
M = ⎜ 2 4ika
⎟
⎝− 2 iβ(cos2ka+ βsin2 ka) 1− 2 iβ + β ( e −1)
⎠
1
T =
1+ 4 β (cos2ka + βsin2
ka)
2 2
2.54 K ligger mellan 0.9999 coh 1.0001
2.55 K = 2n+1; 3.0000, 5.0000, 7.0000
2.56 9.8696, 39.478, 88.826, 157.91
3.2a ν > -½
b ja; ja; nej; en enkel operation som differentiering kan alltså ta en fuktion ut ur
Hilbertrummet
3.4b α är reel
c [H,K] = 0
3.5a
b
†
† † ⎛ d ⎞ d
x = x, i =− i, ⎜ ⎟ =−
⎝dx ⎠ dx
†
( a+ ) = ( a−)
3.6 Ja; f ( φ)
ae
3.7b
± qφ
± = ; q=-n 2 (n=0,1,2…); spektrumet är dubbelt degenererat
1 x −x 1 1 x −x
1
sinh x = ( e − e ) = ( f − g);cosh x= ( e + e ) = ( f + g)
2 2 2 2
3.8a Egenvärdena är 0,±1,2,…
b Egenvärdena är q=-n 2 , n=0,1,2…
3.9a Oändlig kvantbrunn (infinite square well)
b Deltafunktionsbarriär (delta-function barrier)
c Deltafunktionsbrunn (delta-function well)

3.10 Nej.
3.11
3.16
1
Φ ( pt , ) = e e
1/4
( πmω) 2
−p/2 mω−iωt/2 2
( x−〈 x〉 ) /2 i〈 p〉 x/
B
där A≡e
Ψ= Ae e
d
3.17a ΨΨ = 0
dt
d
b
dt
H = 0
c 〈p〉/m
3.18 H E2 E1
3.19
; 0.16
σ
1
= (
2
−
2
2
2 a ⎡1 5 ⎛ 32 ⎞ ⎤
2
) ; σx= ⎢ − − cos (3 ωt)
2 2
4 3
⎜ ⎟ ⎥ ;
⎢⎣ 4π ⎝9π ⎠ ⎥⎦
d〈 x〉
8
= sin(3 ωt)
;
dt 3ma
2
2 2 ⎛d〈 x〉
⎞
Ekvation (3.72) gerσHσx
≥
4
⎜
dt
⎟;
0.20668 > 0.12978
⎝ ⎠
2
4
d x l
2 1 1+
θ 2 a 2
= ; σ x = = ; σ 2
H = ( a+ 2 l )
2
dt m 4w4a 2m
3.21 Egenvärdena är 0 och 1.
3.22a -i]
1
Hamiltonmatrisen är
1
1
1 ε
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
− ⎠
'
3.25 e1 =
1 '
; e2 2
=
3 '
x; e3 2
=
5 ⎛3 2 1⎞ '
; 4
2
⎜ x − e
2 2
⎟
⎝ ⎠
=
7 ⎛5 3 3 ⎞
x − x
2
⎜
2 2
⎟
⎝ ⎠
3.27a ψ1
b b1 med sannolikhet 9/25 eller b2 med sannolikhet 16/25
c 0.5392
3.28 = (nπħ/a) 2
3.29 Problemet är att ψ inte är kontinuerlig vid -nλ och + nλ
3.30a A=a(2a/π) 1/2
b =0; = a 2 ; σx = a

c (a/ħ) 1/2 e -|p|a/ħ
d = 0; = ħ 2 /2a 2 ; σp = ħ/a√2
e σxσp =√2 ħ/2 > ħ/2
3.33 Diagonal med Hnn = (n+½) ħω
3.34 Maximum (ħmω/2) ½ ; Ψ(x,t) =
1 −iωt/2 −iωt
e ( ψ0 + iψ1e )
2
4.25 v = 5.15×10 10 m/s >> c = 3×10 8 m/s
4.27a A=1/5
b = 0; = -12 ħ/15; = -7 ħ/50
c = = = ħ 2 /4; σSx = ħ/2; σSy = 7ħ/50; σSz = 12ħ/25
d Multiplicera σSx med σSy, etc., och använd ekv. [4.134] för kommutatorerna.
4.28 = ħRe(ab * ); = -ħIm(ab * ); = ħ(|a| 2 -|b| 2 )/2; ==
= ħ 2 /4
4.29a
( y) 1 ⎛1⎞ ( y)
1 ⎛ 1 ⎞
χ+ = ⎜ ⎟; χ−
= ⎜ ⎟
2 ⎝i⎠ 2 ⎝−i⎠ b + ħ/2 med sannolikhet 0.5|a-ib| 2 och -ħ/2 med sannolikhet 0.5|a+ib| 2
c ħ 2 /4 med sannolikhet 1