Biomekanik, 5 poäng Kinematik vid rotation av stela kroppar

Biomekanik, 5 poäng 

Momentekvationen - Plan rörelse 

Kinematik vid rotation av stela kroppar 

Inledande kinematik för stela kroppar. 

För de två linjerna, 1 och 2, i figuren bredvid gäller 

att deras vinkelpositioner, θ 1 och θ 2 , kopplas ihop av 

ekvationen 

Θ2 

= Θ1 

+ β 

Eftersom vinkeln β är konstant (linjerna ligger på en 

stel kropp) får vi vinkelhastighets- och vinkelaccelerationssambanden 

Θ & 

Θ & 

= & 

= & 

2 

Θ 1 

2 

Θ 1 

Och då linjerna 1 och 2 är helt godtyckliga visar dessa enkla samband att varje 

del av en stel kropp roterar med samma vinkelhastighet Θ & = ω och har samma 

vinkelacceleration Θ & 

= α . Observera att rotationscentrum för kroppen inte 

behöver ligga i linjeras skärningspunkt, sambanden gäller ändå! 

Vid rotation kring en axel gäller som förut 

s = Θr 

där s är båglängd, r är radie och Θ är vinkel. 

v = rω 

där v är linjära hastigheten, r är radien och ω är 

vinkelhastighet [rad/s]. Andra vanliga mått på 

rotationshastigheten är t.ex. varvtalet n [varv/min]. 

rα a = 

Där a är linjära accelerationen, r är radien och α är 

vinkelaccelerationen [rad/s 2 ]. 

P. Carlsson 1



För allmän, plan rörelse gäller (bland annat) följande 

En allmän, plan rörelse (dvs. en rörelse som bara försiggår i ett plan) kan ses 

som sammansatt av en ren translation och en rotation runt en fix axel. 

I figuren ovan har kroppen en godtycklig plan rörelse som visas i till vänster 

( vA 

≠ vB ) . Denna rörelse kan beskrivas som summan av den rena translationen i 

mittenfiguren och den rena rotationen kring en fix axel i figuren till höger (motsvarande 

samband gäller även för en kropps acceleration). 

P. Carlsson 2



Ex 1. 

Storleken på den absoluta hastigheten av 

punkt A på ett personbilsdäck är v A = 12 

m/s då punkt A är i den position som 

visas i figuren. Vilken hastighet v 0 har 

bilen i samma ögonblick och hur stor 

vinkelhastighet ω har däcket om det 

rullar utan att slira? 

Svar: v 0 = 8,49 m/s, ω = 26,1 rad/s 

Fotografi av ett rullande däck 

P. Carlsson 3



Rörelsemängdsmoment -Impulsmoment 

På samma sätt som man definierar rörelsemängden 

p = mv för en partikel i linjär 

rörelse, kan man definiera rörelsemängdsmomentet 

L med avseende på en viss axel 

z som går genom punkten O. 

L = r × p 

Z 

där L Z är en vektor som går vinkelrät ut 

från planet. 

Detta kan också (i det tvådimensionella fallet) skrivas som 

L z 

= pd = 

mvd 

där L z är vektorn för rörelsemängdsmomentet 

(som alltså går vinkelrät mot 

x-y-planet från punkten O) och d är 

vinkelräta avståndet mellan p = mv och 

punkten O. Man kan se L z som ett sorts 

moment där rörelsemängden mv 

motsvarar kraftvektorn F och d på 

vanligt sätt är vinkelräta avståndet 

mellan rörelsemängden mv och 

momentpunkten O. 

P. Carlsson 4



Deriverar vi rörelsemängdsmomentet med avseende på tiden får vi (i en något 

förenklad härledning) 

dL d dv 

Z = ( mvd ) = m d = mad 

dt dt dt 

men på vanligt sätt gäller att F = ma vilket insatt ger 

dL 

dt 

Z 

= mad 

= Fd 

= M 

Z 

eller 

dL 

Z = 

dt 

M 

som omskrivet ger 

Z 

M 

Zdt 

= dL Z 

och, efter integrering, 

t 

2 

∫ 

t 

1 

M 

Z 

dt 

= 

2 

∫ 

1 

dL 

Z 

= 

L 

Z 2 

− L 

Z1 

= 

mv 

2 

d 

2 

− mv 

1 

d 

1 

t 

2 

∫ 

t 

1 

M 

Z 

dt 

= 

mv 

2 

d 

2 

− mv 

1 

d 

1 

⇔ 

mv 

1 

d 

1 

+ 

t 

t 

2 

∫ 

1 

M 

Z 

dt 

= 

mv 

2 

d 

2 

vilket är impulsmomentlagen m.a.p. en viss axel Z (alltså motsvarigheten till 

impulslagen vid rätlinjig rörelse). 

Lagen säger att det tillförda impulsmomentet m.a.p. en fix axel är lika med 

ändringen i rörelsemängdsmomentet m.a.p. samma axel. 

P. Carlsson 5



Lagen för rörelsemängdsmomentet - Momentlagen 

Från att förut behandlat kroppar som partiklar (utan att ta hänsyn till deras 

utsträckning i rymden) ska vi nu tillämpa vad vi lärt oss om rörelsemängdsmomentet 

på en kropp, sammansatt av många 

små partiklar. Kroppen bildar vad man brukar 

kalla ett partikelsystem. 

En godtycklig partikel med massan m i på 

(vinkelräta) avståndet r i från rotationsaxeln har 

den linjära hastigheten v i = r i ω, riktad enligt 

figuren. 

Partikelns bidrag till rörelsemängdsmomentet 

m.a.p. z-axeln är 

L = m v r = m rωr 

= m r 

Zi 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

2 

i i 

ω 

Kroppens totala rörelsemängdsmomentet runt z-axeln får vi genom att summera 

över samtliga ingående partiklar 

L 

Z 

= 

∑ 

i 

L 

Zi 

= 

∑ 

i 

m r ω = ω ⋅ 

2 

i i 

∑ 

i 

m r 

2 

i i 

där summan ∑ 

i 

mir 2 i har fått ett eget namn, kroppens masströghetsmoment I z 

(en vanlig, alternativ beteckning, för att skilja det från det besläktade yttröghetsmomentet 

är J z ). Masströghetsmomentet I motsvarar kroppens massa m vid 

roterande rörelse, och som vi ser ovan är det alltid knutet till en bestämd 

rotationsaxel. 

P. Carlsson 6



Utan att göra beräkningar för olika fall kan vi konstatera: 

• Masströghetsmomentet får olika värden beroende på vald rotationsaxel. 

• Kroppar med samma massa kan ha olika masströghetsmoment för en viss 

rotationsaxel. 

• Ju längre bort från rotationscentrum en del-partikel hamnar, desto större 

inverkan på masströghetsmomentet får den (beror på avståndet i kvadrat). 

Varför drar en sprinter upp underbenet så nära låret när 

benet är i luften under ett lopp? 

Värden för masströghetsmomentet I hämtas, liksom 

tyngdpunktslägen, ur tabell. 

Går vi tillbaka till uttrycket för totala rörelsemängdsmomentet för en kropp med 

icke försumbar utsträckning kan vi alltså skriva 

L 

Z 

= I Z 

ω 

där masströghetsmomentet I definieras som antingen 

I 

Z 

= 

∫ 

m 

r 

2 

dm . 

I 

Z 

= 

∑ 

i 

2 

miri 

eller 

P. Carlsson 7



Med dessa beteckningar får impulsmomentlagen runt en viss axel z följande 

form för en kropp med icke försumbar utsträckning: 

t 

2 

∫ 

t 

1 

M 

Z 

dt 

= 

L 

Z 2 

− L 

Z1 

= 

I 

Z 2 

ω 

2 

− I 

Z1 

ω 

1 

(Om kroppen inte bytt form under rotationen är I Z1 = I Z2 = I Z och ändringen i 

rörelsemängdsmomentet motsvaras av I(ω 2 - ω 1 ). Resultatet av det pålagda 

impulsmomentet blir alltså en ändring i rotationshastigheten ω). 

Deriverar vi rörelsemängdsmomentet vid en viss tidpunkt m.a.p. tiden får vi 

sambandet 

dL 

Z = 

dt 

M 

Z 

enligt tidigare. Med 

L Z 

= I Z 

ω får vi alltså 

dL 

dt 

Z 

d 

= M 

Z 

= 

& 

Z Z 

dt 

( I ω) = I ω = I α 

Z 

eller 

M 

Z 

= I Z 

α 

vilket utgör den viktiga momentlagen som är motsvarigheten till Newtons andra 

lag, F = ma, vid roterande rörelse. 

Newtons andra lag kopplar ihop accelerationer och krafter vid linjär rörelse 

medan momentlagen kopplar ihop moment och vinkelaccelerationer vid 

roterande rörelse. 

• Observera att båda fallen kan förekomma samtidigt, den ena lagen 

utesluter inte på något sätt att den andra också gäller! 

• I den här formen gäller momentlagen bara runt tyngdpunkten eller runt 

en fix rotationsaxel (för andra axlar tillkommer fler termer i 

momentekvationens högerled). 

P. Carlsson 8



Ex 2. 

Hur stort är masströghetsmomentet m 

kring den centralt belägna rotationsaxeln 

z för de förbundna 

l/2 l/2 

massorna m och 3m? Stången 

mellan massorna har längden l och 

z 

kan betraktas som viktlös och massorna behandlas som partiklar. 

3m 

Svar: I Z = ml 2 

Ex 3. 

Svänghjulet i figuren har massan 100 kg och en ytterradie 

av 530 mm. Beräkna hur stor vinkelacceleration α svänghjulet 

får när den belastas med kraften 20g enligt figur. 

Hur stor är vinkelhastigheten efter 5 s? 

Svar: α = 3,49 m/s 2 

P. Carlsson 9



Förflyttningssatsen för masströghetsmoment – Steiners sats 

Hur gör man om man söker värde för masströghetsmomentet I för en annan axel 

än den som finns i formelsamlingen? 

Nedanstående bild är en del av tabellen i läroboken, s. 479. 

Utan bevis meddelas här att masströghetsmomentet I för en annan axel än en 

som går genom kroppens tyngdpunkt fås ur sambandet 

I = I + 

md 

2 

där I är masströghetsmomentet för den nya axeln, I är masströghetsmomentet 

för en parallell axel genom tyngdpunkten m är kroppens massa och d är det 

vinkelräta avståndet mellan de båda, parallella axlarna. 

• Ur formeln ovan kan man dra slutsatsen att masströghetsmomentet har sitt 

lägsta värde i axlar som passerar tyngdpunkten (m och d har alltid positiva 

värden). 

Ex 4. 

Stämmer sambandet för den smala, raka stången i 

tabellen ovan? (Tp-axeln går genom stångens mitt). 

P. Carlsson 10



Energilagen vid roterande rörelse 

För t.ex. ett rullande hjul, som både rör sig 

framåt och roterar, sätts den kinetiska 

energin ihop av två komponenter enligt 

T = T Translatio 

+ T 

n 

Rotation 

där 

T 

T 

Translation 

Rotation 

1 

= mv 

2 

1 2 

= Iω 

2 

2 

0 

med figurens beteckningar. Vi får alltså 

1 2 

T = mv0 

+ 

2 

1 

2 

2 

Iω 

Observera att den hastighet som räknas i T Translation är tyngdpunktens hastighet v 

och att masströghetsmomentet I i uttrycket för T Rotation ska vara det 

masströghetsmoment som hör till en axel genom tyngdpunkten. 

• I de fall där rotation sker kring en fix axel z faller förstås T Translation bort i 

uttrycket för den kinetiska energin och I ersätts med masströghetsmomentet 

kring aktuell rotationsaxel z: T = I Z 

1 2 

ω . 

2 

Med denna modifiering av uttrycket för kinetiska energin (rörelseenergin) gäller 

energilagen som förut, dvs. 

När en kropp förflyttas från ett läge till ett annat, så är ändringen i den kinetiska 

energin lika med det arbete som har uträttats av samtliga krafter på kroppen. 

T + = 

1 

W12 

T2 

P. Carlsson 11



Ex 5. 

En skidåkare pendlar med sin arm som 

visas i figuren när han för fram staven för 

ett nytt tag under ett lopp. Beräkna hur 

stor reaktionskraften i axeln (som i sin 

tur ger en större normalkraft mot snön) 

blir om han låter armen pendla under 

inverkan av sin egen tyngd från stillastående 

i läge 1 till läge 3. Armens vinkel 

θ mot horisontalplanet är, för enkelhets 

skull, i läge 1 θ 1 = 0 o och i läge 3 θ 3 = 

90 o . Armen längd l är 0,7 m, tyngdpunkten ligger 0,4l från axeln, massan är 5 kg 

och tröghetsradien (räknad från axeln) är k = 0,43l (vilket medför att I axel = mk 2 ). 

Ex 6. 

En jojo rullar fritt ner på sitt snöre under inverkan 

av enbart tyngdkraften. Beräkna hur stor hastighet 

jojon har efter att ha rört sig 0,5 m från stillastående. 

Jojon:s tröghetsmoment runt tyngdpunktsaxeln 

I G = 1,06 . 10 -4 kgm 2 , massan m = 85 

gram, r 1 = 1 cm och r 2 = 5 cm. 

Svar: v = 0,85 m/s 

P. Carlsson 12



Konservering av rörelsemängdsmoment 

Hur bär sig en konståkerska åt för att 

variera rotationshastigheten under en 

piruett? 

Hur kan en simhopperska rotera snabbt 

under ”mittdelen” av hoppet, medan hon 

nästan slutat rotera när hon slår i 

vattenytan? 

Varför roterar Zlatan överkroppen åt motsatt håll som underkroppen (vänsterbenet) 

under en spark med full kraft? 

P. Carlsson 13



I samtliga fall handlar det om rörelsemängdsmomentets konservering! 

Rörelsemängdsmomentet konserveras (bevaras) under följande fall 

• Om F:s verkningslinje alltid 

går genom en axel z som går 

genom punkten O (se figur) 

konserveras rörelsemängdsmomentet 

m.a.o. axeln z. 

Inget moment uppstår! 

• När en partikel påverkas av krafter vars momentsumma alltid är noll med 

avseende en viss fix axel z. I detta fall kommer partikelns rörelsemängdsmoment 

m.a.p. den axeln att vara konstant. Detta eftersom 

t 

t 

2 

∫ 

1 

M 

Z 2 

som med M Z = 0 ger 

Z 

dt 

= 

L 

− L 

Z1 

t 

t 

2 

∫ 

1 

M 

Z 

dt 

= 0 

= 

L 

Z 2 

− L 

Z1 

eller 

L = Z 2 

LZ1 

alternativt mv 

2d 

2 

= mv1d 

1 

För en kropp med icke försumbar utsträckning gäller enligt tidigare sambanden 

t 

2 

∫ 

t 

1 

⇒ 

M 

Z 

dt 

I 

Z 2 

= 

ω 

L 

2 

− L 

Z 2 Z1 

Z 2 2 Z1 

1 

0 

= 

I 

Z1 

ω 

1 

= 

I 

ω − I 

ω = 

P. Carlsson 14



Ex 7. 

En konståkare utför en piruett där han börjar sin 

rotation med armarna utsträckta enligt figur och 

har då en rotationshastighet av n 1 = 1 varv/s. 

Genom att i slutet av piruetten föra in armarna 

så de sträcks lodrätt, tätt utmed kroppen, 

minskar han sitt masströghetsmoment från I 1 = 

4,9 kgm 2 till I 2 = 1,1 kgm 2 . Beräkna hur snabb 

rotation han har i läge 2 när armarna är sträckta 

utefter kroppen. Friktion mellan skridskor och 

is försummas. 

Människokroppens masströghetsmoment 

I figuren anges 

relativa värden för 

masströghetsmomentet 

I för olika 

kroppsställningar 

och rotationsaxlar. 

P. Carlsson 15



Mer exempel där rörelsemängdsmomentets konstans är inblandad 

Slalomsväng 

I olika delar av svängen har 

åkaren olika stora I vilket 

påverkar rotationshastigheten ω. 

I början av svängen djup 

ställning (≈4I), reser sig upp 

under svängen (≈2I) och 

fördubblar då sin inledande 

rotation. 

I slutet av svängen nedsjunkning 

igen, minskar därmed rotationen 

när han lämnar svängen och kan 

lättare styra in i ny åkriktning. 

Längdhopp: 

I början av hoppet; kroppen 

böjd i en båge (beroende på 

hoppstil). 

Vid landning; pendling framåt med 

benen, vilket kräver samtidig motrotation 

i överkroppen. 

P. Carlsson 16

Biomekanik, 5 poäng Kinematik vid rotation av stela kroppar

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?