Kafes Sistemleri Gerileme, Yer Değiştirme, Burkulma ... - Figes.com.tr

KAFES SİSTEMLERİN GERİLME, YER DEĞİŞTİRME, BURKULMAVE DOĞAL FREKANS KISITLARI ALTINDA OPTİMUM TASARIMICem Celal TUTUMİ.T.Ü. ROTAM, Makine Yük. Müh.ÖZET: Bu çalışmada düzlemsel kafes sistemlerin belirli bir yükleme koşulu altında gerilme,yer değiştirme, burkulma ve doğal frekans kısıtlarına göre optimum tasarımı incelenmiştir.Ele alınan kafes sistemlerde, düğüm noktalarının yerleri değişmemektedir. Tasarım değişkeniolarak kafes sistem elemanlarının kesit alanları kullanılarak boyut optimizasyonuuygulanmıştır. Ayrıca optimizasyon işlemi sırasında belirli bir minimum kesit alanı değerineulaşmış elemanlar, kafes sistemin rijitliğine katkısı olmayacağı düşüncesiyle sistemdençıkarılmıştır. Optimizasyon problemindeki amaç kafes sistemin kütlesini mümkün olan enküçük değere çekmektir. <strong>Kafes</strong> sistemlerin statik ve dinamik davranışlarına ilişkin bilgilerMATLAB’te yazılan sonlu elemanlar programı kullanılarak elde edilmiş, optimizasyon içinise MATLAB’teki doğrusal olmayan programlama algoritması olan SQP (SequentialQuadratic Programming) yöntemi kullanılmıştır. Elde edilen ilk sonuçlar, belirlikarşılaştırma problemleri ile kıyaslandıktan sonra kafes sistemdeki eleman sayısı artırılmayaçalışılmıştır. Eleman sayısı arttıkça süre üstel olarak artmaya başlamıştır. Çözüm süresinikısaltmak için sonlu elemanlar yöntemi uygulanırken elde edilen katılık ve kütle matrislerininsimetrik ve de bol sıfırlı yapısından yararlanarak LU (Lower Upper) Ayrıklaştırma yöntemikullanılmış ve daha kısa sürede çözülmesi sağlanmıştır.Anahtar Kelimeler: Yapısal Optimizasyon, <strong>Kafes</strong> Sistemler, Sonlu Elemanlar Metodu1. GİRİŞ:<strong>Kafes</strong> sistemler sadece eksenleri boyunca yük taşıyan ve düğüm noktaları denilen noktalardabirleştirilen çubuklardan oluşur. Yükler kafes sistemin düğüm noktalarına uygulanır. <strong>Kafes</strong>sistemler, yapısal eleman olarak kullanılmasının yanı sıra sürekli bir ortamı ayrıklaştırmakiçin de kullanılır ve bu özelliği sebebiyle de optimal topolojinin araştırıldığı birçok problemdegöz önüne alınmaktadır.<strong>Kafes</strong> sistemlerin optimum tasarımında farklı tasarım değişkenleri veya kısıtlarıuygulanmaktadır. Şekil optimizasyonunda düğüm noktalarına hareket etme serbestliğiverilmiştir. Tasarım değişkeni olarak, boyut optimizasyonundaki kesit alanı değişkenine ilaveolarak düğüm noktalarının global koordinatları alınır. Bu tip problemlerde genellikle penaltıyöntemleri kullanılmaktadır, düğüm noktalarının yer değiştirmesi ile ilgili kısıt bilgisi amaçfonksiyonunun içersine yerleştirilerek kısıtsız optimizasyon problemi çözülür [1]. Uygunpenaltı değerinin belirlenmesi önemli bir husustur. Çünkü dış veya iç penaltı yöntemlerindeçözüm, ancak penaltı parametrelerinin belirlenen limit yaklaşımı sonunda elde edilir.Augmented Lagrange Multiplier Yöntemi kullanıldığında bu sorun ortadan kaldırılır çünküpenaltı katsayısının belirli bir değeri için kesin çözüm bulunur, yakınsama kısıtı yoktur fakatLagrange çarpanlarının önceden bulunması gerekir [2-5].<strong>Kafes</strong> yapıların tasarımında, her türlü çalışma koşuluna yönelik çeşitli kısıtlar göz önünealınabilir [6]. Bu çalışmada gerilme, yer değiştirme, burkulma ve doğal frekans kısıtlarınısağlayan, belirli bir yükleme koşuluna göre minimum ağırlığa sahip kafes sistemleraraştırılmıştır. Yapıların statik ve dinamik davranışlarının elde edilmesi için sonlu elemanlar

s = x− x( k + 1) ( k ), ⇒∇ L = ∇f+xm∑q = ∇u ∇gx+L− ∇L( k + 1) ( k )xp∑i ii= 1 i=1v ∇hiiγ = θq+ ( 1−θ) H(k )s(2.3)TT ( k )⎛ 1.0 ⇔ q s ≥ 0.2sH s⎜T ( k )⎜⎛0.8sH s TT⎜⎜⇔ q s ≺ 0.2sHT ( k ) T⎝⎝s H s − q sHessian matrisinin yenilenme şekli (2.3) numaralı denklem setinde gösterilmiştir. Aramayönü belirlendikten sonra arama yönü boyunca gidilecek adım miktarı tespit edilir. Bunun içinikinci dereceden ya da üçüncü dereceden interpolasyon kullanılabilir. Adım miktarıhesaplandıktan sonra yeni değişken değeri belirlenir.( k )⎞⎟⎞s⎟⎟⎟⎠⎠( k+1) ( k) ( k) ( k)x = x + α d(2.4)(2.4) numaralı denklemde x (k+1) yeni tasarım değişkenini, x (k) şu anki tasarım değişkenini, α( k )adım miktarını ve de d araştırma yönünü göstermektedir. Eğer d belirli bir toleransdeğerinden küçük ise iterasyon durdurulur. Aksi takdirde QP problemine geri dönülür ve yeniarama yönü hesaplanır. Arama yönü ile ilgili tolerans sağlandığı zaman (amaç fonksiyonudaha fazla azaltılamadığı zaman) elde edilen x (k+1) vektörü kısıtlı optimizasyon problemininminimum noktasını verir.3. KAFES SİSTEMLER VE ÖRNEKLER3.1. Hiperstatik <strong>Kafes</strong> <strong>Sistemleri</strong>n Çözümüİzostatik kafes sistemlerde, çubuklardaki kuvvetler düğüm noktalarında yazılan dengedenklemleri ile hesaplanabilir (Şekil 3.1). Hiperstatik sistemlerde, denge için gerekli olandandaha fazla sayıda çubuk ya da destek vardır (Şekil 3.2). Bu tip sistemlerde denge denklemleriçözüm için yeterli değildir. Uygunluk ve bünye denklemleri gibi başka bağıntılarınkullanılması gerekir.Şekil 3.1: İzostatik <strong>Kafes</strong> SistemŞekil 3.2: Hiperstatik <strong>Kafes</strong> Sistem

3.2. <strong>Kafes</strong> <strong>Sistemleri</strong>n Sonlu Elemanlar Yöntemi İle Çözümü<strong>Kafes</strong> sistemin düğüm noktaları sonlu eleman modelinin düğüm noktaları durumundadır.<strong>Kafes</strong> sistemin her bir çubuğu, sonlu eleman modelinde birer eleman ile temsil edilmiştir.Çubuk elemanlar yalnızca doğrultuları boyunca yük taşırlar, eğilme yükü taşımazlar. Busebeple sonlu elemanlar modelinde de çubukların her bir düğüm noktasında iki serbestlikderecesi mevcuttur. Dış kuvvetler yalnızca çubukların düğüm noktalarına uygulanır.v 2 , F y2x ' , F 2u 2 , F x22y⎧u1⎫⎪ ⎪v1{ d }u 1 , F x1 θe= ⎨ ⎬⎪u2 ⎪⎪⎩v⎪21 x⎭v 1 , F y1x', F 1Şekil 3.3: Düzlem Çubuk Elemanının Lokal ve Global Koordinatlardaki GösterimiŞekil 3.3’te tanımlanan x’ ekseni lokal koordinatlardaki çubuk eksenini, x ve y eksenleri iseglobal koordinatları (iki serbestlik derecesi mevcut) belirtmektedir.[ ]{ d } { F }k = (3.1)eee(3.1) numaralı denklemde { F e} global koordinatlarda elemanın düğüm noktalarına uygulanankuvvet vektörünü, { de}global koordinatlardaki yerdeğiştirme vektörünü ve de [ ke ] globalkoordinatlar cinsinden eleman katılık matrisini temsil etmektedir.⎡ 1⎢00⎤0⎥[ ] ⎢⎥Tk e= k⇒ [ k] = [ T ] [ k ][ T ]⎢−1⎢⎣ 00000−10100⎥⎥0⎦e2⎡ c⎢⎢ cs= k.⎢2− c⎢⎣−cscss2− cs− s2− c− csc2cs2− cs⎤2 ⎥− s ⎥cs ⎥2⎥s⎦(3.2)(3.2) numaralı denklemde kullanılan c ve s terimleri sırasıyla cos( θ ) ve sin( θ ) fonksiyonlarınıtemsil etmektedir, k’nın açılımı ise,şeklindedir ve de eksenel katılık adını alır.AEk = (3.2)L<strong>Kafes</strong> sistemdeki bütün çubukların global koordinatlardaki element katılık matrisleri (3.3)’tegörüldüğü üzere tek bir katılık matrisinde toplanabilir. Elde edilen lineer denklem sistemirahatlıkla çözülebilir.−1[ K ]{ D} = { W}⇒ { D} [ K ] { W}= (3.3)

Çubuk elemanın dinamik davranışının incelenmesinden kastedilen doğal frekans analizininyapılmasıdır. Optimizasyon probleminde bizi ilgilendiren sistemin birinci doğal frekansınınelde edilmesi ve de sistemin rezonansa girmemesi için bu değerin belirli bir değerden dahayüksek olması istenmesidir. Bunun için ilk önce çubuk elemanın kütle matrisioluşturulmalıdır. Kütle matrisinin elde edilmesi için de aynı katılık matrisinin elde edilişindereferans alınan Şekil 3.3 geçerlidir.⇒T[ m] = [ T ] [ m ][ T ]e[ ]m e⎡2c⎢= m.⎢⎢ c⎢⎣22⎡2⎢⎢0= m⎢1⎢⎣02+ 2s0+ s0202012cc22(3.4) numaralı denklemde [m] matrisi, global koordinatlar cinsinden kütle matrisinigöstermektedir ve m’nin açılımı şu şekildedir,10200+ 2s0+ s0⎤1⎥⎥ ,0⎥⎥2⎦22c2cBu denklemde ρ , malzemenin yoğunluğunu göstermektedir.22+ s02+ 2s02c2c220+ s02+ 2s⎤⎥⎥⎥⎥⎦2(3.4)m = ρAL(3.5)6Sistemin doğal frekansının hesaplanması için çözülmesi gereken özdeğer problemi şu şekildeifade edilebilir:2[ ] − w [ M ]){ φ} = { 0}( K (3.6)Bu denklemde [K] matrisi sistemin katılık matrisini, [M] matrisi sistemin kütle matrisini, w i2sistemin i.nci doğal frekansının karesini ‘rad/sn’ cinsinden ve de { } imod şeklini göstermektedir [10-13].3.3. LU Ayrıklaştırma Yöntemi22[ K] − w [ M ]{} ) φ = { 0} ⇒ ([ ] − w [ M ])= 0(φ sistemin i.nci titreşimK (3.7)Herhangi bir A matrisini, iki matrisin çarpımı şeklinde yazmak mümkündür,L U = A(3.8)Denklem (3.8)‘deki L alt üçgen matrisi (diyagonal ve diyagonalin altındaki elemanlar) ve Uüst üçgen matrisi (diyagonal ve diyagonalin üstündeki elemanlar) 4x4’lük bir matrisin LUşeklinde ayrıklaştırılması aşağıda verilmiştir.⎡ 1 0 0⎤⎡U11U12U13⎤ ⎡ A11A12A13⎤⎢ ⎥⎢L211 0⎢⎥0 U22U⎥ ⎢23A21A22A⎥⎢⎥=⎢23⎥(3.9)⎢⎣ L ⎥31L321⎦⎢⎣0 0 U ⎥ ⎢33 ⎦ ⎣A31A32A ⎥33 ⎦Lineer denklem sistemi şu şekilde verilmiş olsun,A x = y ⇒ A x = (L U) x = L (U x) = y (3.10)

Şekil 3.4’te görüldüğü gibi bir çubuğun ekseni boyunca, belirli kritik bir yükün zorlamasıaltında burkulma problemi yaşanır. Euler burkulma yükü diye tanımlanan bu kritik yük şuşekilde gösterilebilir,Pkritik2π EI= (3.16)2L(3.16) numaralı denklemde ifade edilen E çubuğun elastisite modülünü, I alan ataletmomentini ve de L çubuğun boyunu vermektedir. Bu ifadeden yararlanarak kritik burkulmagerilmesi oluşturulabilir,2π EIσkritik= (3.17)2ALDairesel sabit bir kesite sahip çubuk elemanı için alan atalet momenti, kesit yarıçapına (R)(3.18)’deki gibi bağlıdır [16–18],I π 4=4 R(3.18)Bu denklemden de görüldüğü gibi burkulma problemindeki kritik yükün hesaplanmasındakesit yarıçapının büyük rolü vardır. Bu çalışmada tasarım değişkeni olarak kesit alanlarıkullanıldığından, alan atalet momentinin kesit yarıçapı yerine kesit alanları cinsinden ifadeedilmesi gerekir. Bunun için şöyle bir yaklaşım izlenmiştir,2I = βA ,2 2 4 π 4 1I = βA = β( π R ) = R ⇒ β =4 4π(3.19) denklemi, (3.17) numaralı denklemde yerine konursa,E A E A EAσ = = =kritik2π β2 2π β π2AL2L24L(3.19)(3.20)elde edilir. Kritik burkulma gerilmesinin (3.20)’deki gibi ifade edilmesi ile birlikte öncedendoğrusal olmayan kısıt denklemi, tasarım değişkeni cinsinden (hiçbir yaklaşıklık kabulüyapmadan) doğrusal hale getirilmiş olur, bundan sonra burkulma kısıtı tanımına geçilebilir.<strong>Burkulma</strong> problemi, basma kuvvetlerine maruz elemanlarda ortaya çıktığından,−σ i−σkritik≤ 0(3.21)şeklindeki tanım çekmeye zorlanan elemanlar için doğrudan sağlanırken (pasif kısıt) basmayamaruz çubuk elemanları için ise aktif burkulma kısıtını ifade etmektedir.Bütün bu kısıtların dışında tasarım değişkenlerini doğrudan etkileyen boyut kısıtları vardır.Ele alınan kafes sistem optimizasyon probleminde çözüm ararken fiziksel bir çelişkiyedüşülmemesi için (negatif kesit alanları bulunmaması için) kesit alanları için minimum birdeğer belirlenmelidir.A i≥A min(3.22)

3.6. ÖrneklerBu çalışmada ele alınan optimizasyon problemlerinde aynı modelleme mantığı bütünör neklerde uygulanmıştır. Ele alınan (hiperstatik) kafes sistemlerde alt sıradaki sınır koşulverilmemiş bütün düğüm noktalarına düşey yönde bir ( F=444822N) kuvvet uygulanmıştır vede 1 ve 2 numaralı düğüm noktalarının düşey ve yatay yönlerde hareket etmesi engellenmiştir.Malzeme olarak alüminyumkullanılmıştır (Malzeme özellikleri: σ =172.369Mpa,9E=68947.6Mpa, ρ =2.765* 10 − ton/ mm3 ). Yatay ve dikey çubukların boyları 9144 mm,oçapraz elemanların yatayla olan açıları 45 ’dir.<strong>Kafes</strong> sistemlerin gerilme, yer değiştirme, doğal frekans ve burkulma kısıtları altındaminimum ağırlığa sahip olması istenmiştir. Doğal freka ns kısıtı uygulanırken kritik frekansdeğeri (wkritik)olarak sistemin başlangıçtaki geometrisine ait birinci doğal frekansının 1.3 katıalınmıştır. <strong>Yer</strong> değiştirme kısıtlarında ise frekans kısıtlarında olduğu gibi kritik yer değiştirmelimiti (d max ), sistemin başlangıçtaki geometrisi düşünüldüğünde yüklemeler sonucunda enbüyük yer değişimi değerinin 0.8 katı ola rak belirlenmiştir. <strong>Burkulma</strong> kısıtları için β =1/(4π )alınmıştır.On elemandan başlanarak iki yüz elemana kadar tasarım optimizasyonu incelenmiştir, örnekolarak ise fazla yer tutmaması açısından iki farklı eleman sayısına göre (çözüm karakteristiğibenzer olduğundan bu sayı yeterli görülmüştür) grafik ve tablo gösterimlerine yer verilmiştir.ak3.6.1 On elemandan oluşan kafes sistem2 44962 44y510y21761 2 61x3 38FF5133 85xFFŞekil 3.6: On Elemandan Oluşan <strong>Kafes</strong> SisteminBaşlangıçtaki GeometrisiŞekil 3.7: On Elemandan Oluşan <strong>Kafes</strong> SisteminOptimizasyon SonucuTablo 3.1: On Elemandan Oluşan Sistemin ÇözümüEleman Numarası Kesit Alanı (mm 2 )13651.8624230.2435162.8946019.9264227.0282988.96

3.6.2 Elli elemandan oluşan kafes sistem24 6 8 10 12 14 16 18 20 221 3 5 7 9 11 13 15 17 19 20F F F F F F F F F FŞekil 3.8: Elli Elemandan Oluşan <strong>Kafes</strong> Sistemin Başlangıçtaki Geometrisi24 6 8 10 12 14 16 18 201 3 5 7 9 11 13 15 17 19 22F F F F F F F F F FŞekil 3.9: Elli Elemandan Oluşan <strong>Kafes</strong> Sistemin Optimizasyon SonucuTablo 3.2: Elli Elemandan Oluşan Sistemin ÇözümüElemanNumarasıKesit Alanı(mm 2 )ElemanNumarasıKesit Alanı(mm)118304.542610892.04218191.18277355.853129072.06 2833508.254128991.93 2931007.74618191.18317355.85714655.00327242.438105766.17 3320685.189 103265.66 34 20605.051114655.00367242.431214541.58373706.2582620.543812863.1382540.413910362.6214541.58413706.2511005.39423592.8964475.93435201.3413141617181961975.422111005.392210892.042346491.5824 46411.454446485121.213592.892540.57

4.SONUÇLAR VE TARTIŞMABu çalışmada belirli bir yükleme koşulu altında geril me, yer değiştirme, burkulma ve doğalfrekans kısıtlarına göre minimum ağırlığa sahip düzlem kafes siste m çözümü aranmıştır. Elealınan kafes sistemlerde, dü ğüm noktalarının yerleri değişmemektedir. Tasarım değişkeniolarak çubukların kesit alanları alınmıştır. Optimizasyon probleminde çubuklar için belirli birminimum kesit alanı değeri göz önünde bulundurulmuş, buna göre optimizasyon işlemisonucunda bu değeri alan eleman lar sistemden atılmıştır.<strong>Kafes</strong> sistemlerin statik ve dinamik davranışlarına ilişkin bilgiler sonlu eleman yöntemikullanılarak elde edilmiş, optimizasyon için ise SQP yöntemi kullanılmıştır. 10 elemandanbaşlanarak 200 eleman sayısına kadar çıkılmıştır. Eleman sayısı arttıkça çözüm süresi üstelolarak artmaya başlamıştır. Çözüm süresini azaltmak için sonlu elemanlar yöntemikullanılırken elde edilen katılık ve kütle matrislerinin simetrik ve de bol sıfırlı yapısındanfaydalanarak LU Ayrıklaştırma yöntemi kullanarak daha kısa sürede çözülmesi sağlanmıştır.Çubukların kesit alanlarının yanı sıra çubukların malzeme si de birer tasarım değişkeni olarakkullanılabilir. Bu durumda optimum malzeme dağı lımı da bulunmuş olur. Ayrıca kafessistemdeki deformasyonların lineer olduğu kabul edilmiştir, bu kabul yanında doğrusalolmayan geometrik davranış da incelenebilir [19-20].Gradyan tabanlı yöntemlerde tasarım değişkenlerinin sayısı arttıkça başlangıç değerininseçilmesi önemli bir kıstas olmaktadır. Bunun için optimizasyon problemi iki fazlı haldeçalıştırılabilir. Birinci fazda, optimizasyon adımlarına başlamadan önce kullanılan başlangıçdeğerini daha iyi belirlemek için rasgele arama yöntemleri kullanılabilir, gerekirse daha düşükbir yakınsama kriteri belirlenir. Bu fazda elde edilen çözüm, ikinci fazda SQP algoritmasınınbaşlangıç noktası olarak kullanılabilir. Böylece yakınsama hızlandırılmış olur.Tablo 4.1’de LU ayrıklaştırma yöntemi kullanıldığında elde edilen çözüm sürecindeki kazançortaya konmuştur.Hiçbir iyileştirme yapılmadığı zamanhesaplanan CPU süresiTablo 4.1: Çözüm Sürelerinin KarşılaştırılmasıLU Ayrıklaştırma Yöntemi kullanıldığındahesaplanan CPU süresi10 Eleman (2 Hücre) 3.20 10 Eleman (2 Hücre) 1.9725 Eleman (5 Hücre) 14.56 25 Eleman (5 Hücre) 8.4250 Eleman (10 Hücre) 433.14 50 Eleman (10 Hücre) 206.2675 Eleman (15 Hücre) 742.65 75 Eleman (15 Hücre) 322.89100 Eleman (20 Hücre) 1793.94 100 Eleman (20 Hücre) 661.09125 Eleman (25 Hücre) 3485.16 125 Eleman (25 Hücre) 1283.74150 Eleman (30 Hücre) 6975.63 150 Eleman (30 Hücre) 2545.85200 Eleman (40 Hücre) 26158.61 200 Eleman (40 Hücre) 9477.76

5.KAYNAKLAR[1] Gil, L., Andreu, A., “Shape and cross-section optimization of a truss structure”,Computers&Structures, 79: 681-689, 2000.[5] Luenberger, D.G. , “Int roduction to Linear And Nonlinear Programming”, Addison-Com pony, Wesley Publishing 1973.[2] Bhatti, M.A., “Practical Optimization Methods-With Mathematica Applications”,Springer-Verlag, 2000.[3] Arora, J.S., “ Introduction to Optimum Design”, McGraw-Hill BookCompany,Singapore, 1989.[4] Vanderplaats, G.N., “Numerical Optimization Techniques For Engineering Design WithApplica tions”, McGraw-HillBook Company, 1984.[6] Haftka, R.T., Gürdal, Z., Kamat, M.P., “Elements of Structural Optimization”, KluwerAcademic Publishers, 1990.[7] Matlab, “ Optimization Toolbox-For Use With Matlab”, The MathWorks Company, 2000.[8] Press, W.H., “Numerical recipes in C: the art of scientific <strong>com</strong>puting”, CambridgeUniversity Press, 1992.[9] Penny, J., Lindfield, G., “Numerical Methods Using Matlab”, Ellis Horwood, 1995.[10] Kwon, Y.W., Bano, H., “The Finite Element Method Using Matlab”, CRC Pres, 2000.[11] Smith, I.M., Griffiths, D.V., “Programming the Finite Element Method”, John Wiley &Sons, 1997.[12] Kanchi, M.B., “Matrix Methods of Structural Analysis”, John Wiley & Sons, 1993.[13] Cook, R .D., Malkus, D.S., Plesha, M.E., Witt, R.J. , “Concepts And Applications OfFinite Element Analysis”, John Wiley & Sons, 2000.[14] Bendsøe, M.P., Sigmund, O., “Topology Optimization-Theory, Methods, andApplications”, Springer-Verlag, 2003.[15] Pedersen, N.L., Nielsen, A.K., “Optimization of practical trusses with constraints oneigenfrequencies, displacements, stresses, and buckling”, Struct. Multidisc.Optim., 25: 436-445, 2003.[16] Craig, R.R., “Mechanics of Materials”, John Wiley & Sons, 2000.[17] Gu, Y.X ., Zhao, G.Z., Zhang, H.W., Kang, Z., Grandhi, R.V., “Buckling designoptimization of <strong>com</strong>plex built-up structures with shape and size variables”,Struct. Multidisc. Optim., 19: 183-191, 2000.[18] Ülker, M., Hayalioğlu, M.S., “Optimum Design of Space Trusses with BucklingConstraints by Means of Spreadsheets”, Turk J. Engin Environ. Sci. , 25: 355-367, 2000.[19] Salajegheh, E., “Structural optimization using response approximation and optimalitycriteria methods”, Engineering Structures, 19: 527-532, 1997.[20] Khot, N.S., Kamat, M.P., “Minimum Weight Design of Truss Structures withGeometric Nonlinear Behavior”, AIAA, 23:139-145, 1985.

6. ÖZGEÇMİŞCem Celal Tutum 1980’de İstanbul’da doğdu. Liseyi 1994–1998 yılları arasında KabataşErkek Lisesi’nde okudu. İstanbul Teknik Üniversitesi (İ.T.Ü.), Makine MühendisliğiBölümü’nden 2002 yılında mezun oldu. Yüksek lisans eğitimini 2002-2005 yılları arasındaİ.T.Ü., Katı Cisimlerin Mekaniği Programı’nda tamamladı. 2003–2004 yılları arasında <strong>Figes</strong>A.Ş.’de çalıştı. 2005 yılından itibaren, İstanbul Teknik Üniversitesi, Uçak ve Uzay BilimleriFakültesi bünyesinde kurulmuş olan Rotorlu Hava Araçları Tasarım ve MükemmeliyetMerkezi’nde (ROTAM) çalışmakta ve de İ.T.Ü., Makine Mühendisliği Bölümü’nde doktoraeğitimini sürdürmektedir.