Strength of structures and components.pdf - FESB

Čvrstoća 

Čvrstoća je sposobnost suprotstavljanja pojavi nedopuštenih oštećenja koja mogu nastati zbog 

opterećenja. Ta, granična opterećenja, zbog naprezanja i deformacija koja proizvode, uzrokuju 

dvije osnovne vrste nedopuštenih oštećenja: lom (ili nastanak pukotine, koja vodi k lomu) i 

plastičnu deformaciju. Kroz povijest strojarstva, sve do novijeg vremena, smatralo se da obje 

vrste nedopuštenih oštećenja uzrokuje nedopušteni, granični nivo naprezanja. Iako je poznato da i 

pri plastičnim deformacijama u različitim pogonskim uvjetima, uvijek postoji neka veza između 

opterećenja, naprezanja i deformacija, danas se točno zna, da npr. lom uslijed zamora materijala u 

području visokih vremenski promjenjivih opterećenja ne ovisi o visini naprezanja, nego samo o 

nivou deformacija. O tome će biti govora u poglavlju 1.8.1.2.4, no ipak, u većini slučajeva pojava 

nedopuštenog oštećenja je uzrokovana pojavom graničnih naprezanja. Zbog toga, uvjet da na 

određenom, kritičnom mjestu opterećenog strojnog dijela ili konstrukcije ne dođe do 

nedopuštenog oštećenja, najčešće jest da na tom mjestu naprezanja σ budu manja od onih 

(graničnih) naprezanja σ gr , koja bi uzrokovala ta nedopuštena oštećenja. Dakle 

σ < σ * (1.68) 

Naravno, granična naprezanja su mjerodavne karakteristike čvrstoće materijala, koje se 

označavaju sa R. To znači da ih treba odabrati prema onoj (karakterističnoj) vrijednosti čvrstoće, 

koja se ne smije dostići. Ako su naprezanja npr. statička (mirna), a važno je npr. samo da ne dođe 

do loma, mjerodavna karakteristika čvrstoće će biti statička čvrstoća materijala R m . Ako pri 

statičkim naprezanjima nisu dopuštene plastične deformacije, mjerodavna karakteristika čvrstoće 

će biti granica tečenja R e . Ako su naprezanja vremenski promjenjiva (dinamička), mjerodavna 

karakteristika čvrstoće će biti dinamička čvrstoća R D (granica zamora materijala). U slučaju 

dugotrajnih statičkih opterećenja, posebno pri povišenim temperaturama, mjerodavna 

karakteristika čvrstoće će biti granica puzanja ili dugotrajna statička čvrstoća, itd. Jasno je da su 

vrijednosti ovih graničnih naprezanja različite za različite vrste opterećenja (vlak, tlak, savijanje, 

smik, torzija). 

1.1.1.1 Stupanj sigurnosti i dopušteno naprezanje 

Omjer mjerodavne karakteristike čvrstoće i radnog naprezanja, koji pokazuje koliko je puta 

mjerodavna karakteristika čvrstoće R veća od radnog naprezanja σ naziva se stupnjem sigurnosti: 

gr 

R 

ν = >1 . (1.69) 

σ 

Stupanj sigurnosti ν mora biti veći, ili barem jednak, vrlo pažljivo i vrlo odgovorno odabranoj 

vrijednosti tzv. potrebnog stupnja sigurnosti ν potr 

ν ≥ ν . (1.70) 

Po ovom izrazu se kontrolira čvrstoća na kritičnom mjestu strojnog dijela, pa stoga on predstavlja 

uvjet čvrstoće. Pri tome se potrebni stupanj sigurnosti određuje na osnovi iskustva i znanja, a 

granice su mu određene procjenom visine štete, koja bi nastala nedopuštenim oštećenjem (gornja 

granica), te što manjim utroškom materijala, tj. cijenom proizvoda (donja granica). Vrijednost mu 

naročito raste, ako bi oštećenjem bili ugroženi ljudski životi. 

potr 

* Istovjetni izrazi važe i za tangencijalna naprezanja τ

Projektant treba biti sposoban procijeniti pouzdanost metoda, teorija i podataka kojima se služi, te 

vrstu i razinu tehnologije koja će se primijeniti pri izradi strojnog dijela. Nije svejedno npr. 

odrediti naprezanje metodom Nauke o čvrstoći, metodama Teorije elastičnosti, ili pak nekom od 

numeričkih metoda uz kvalitetan, pouzdan i provjeren softver. U prvom slučaju, budući da Nauka 

o čvrstoći daje približne rezultate, projektant treba biti svjestan moguće greške, i zbog toga mora 

povećati potrebni stupanj sigurnosti. Pored toga, u svim spomenutim metodama, uključivši i 

numeričku, pretpostavlja se da su strojni dijelovi izrađeni iz idealnog materijala: homogenogkoji 

ima jednaku strukturu u svim točkama, i izotropnog- koji se ponaša jednako u svim 

smjerovima i svim točkama. U stvarnosti materijali koji se upotrebljavaju za izradu strojnih 

dijelova, nisu ni homogeni niti izotropni, pa vrijednosti izračunatih naprezanja i deformacija nisu 

pouzdane. Dalje, Teorija elastičnosti i Mehanika materijala vrijede samo za elastične materijale, 

što konstrukcijski materijali opterećeni iznad granice elastičnosti nisu. Neki materijali uopće 

nemaju područje elastičnosti, tj. proporcionalnosti opterećenja i deformacije. Niti proračuni ili 

podaci o opterećenjima nisu sasvim pouzdani, budući da su najčešće dobiveni za apsolutno kruta 

tijela, što konstrukcijski elementi zapravo nisu. Budući da projektant ne može biti siguran da li je 

greška "na strani sigurnosti" ili ne, on uvijek mora povećati stupanj sigurnosti! Zato se potrebni 

stupanj sigurnosti ponekad naziva i "koeficijent neznanja". Uz pomoć suvremene mjerne tehnike, 

te primjenom prikladnog kvalitetnog softvera, moguće je danas - kada je to potrebno, vrlo 

precizno odrediti veličine opterećenja i naprezanja. No, svako povećanje pouzdanosti proračuna 

lako može biti porušeno nekvalitetnom tehnologijom izrade (kavernama nakon lijevanja, 

zaostalim naprezanjima ili koncentracijom naprezanja nakon lošeg zavarivanja itd). Sve ovo, a 

najviše vlastito i tuđe iskustvo, projektant mora imati u vidu prilikom određivanja vrijednosti 

potrebnog stupnja sigurnosti. 

Izrazi (1.69) i (1.70) mogu se sažeti u jedan izraz: 

R 

σ ≤ . (1.71) 

ν 

Omjer čvrstoće R i stupnja sigurnosti ν potr na desnoj strani ovog izraza predstavlja granicu koju 

pogonsko naprezanje σ ne smije nikada preći, i naziva se dopušteno naprezanje: 

potr 

σ 

dop 

R 

= . (1.72) 

ν 

potr 

Sada se uvjet čvrstoće može pisati, i najčešće se piše kao 

σ ≤ σ dop 

. (1.73) 

Kod složenog stanja naprezanja ekvivalentno naprezanje σ ekv mora biti manje ili jednako 

dopuštenom normalnom naprezanju: 

σ 

ekv 

≤ σ 

(1.74) 

Uvrštenjem u izraz 1.74 izraza 1.72 i 1.73, proizlazi novi izraz za uvjet čvrstoće u slučaju 

ekvivalentnih naprezanja: 

ekv 

dop 

R 

ν = ≥ ν 

potr 

(1.75) 

σ

Ako se za izračun ekvivalentnog naprezanja odabere izraz 1.52, odavde proizlazi još jedan izraz 

za računanje stupnja sigurnosti: 

gdje je 

ν 

ν 

⋅ν 

σ τ 

= ≥ 

2 2 

νσ 

+ ντ 

ν σ 

R σ 

ν 

potr 

(1.76) 

= (1.77) 

σ 

ν σ 

parcijalni stupanj sigurnosti za samo normalna naprezanja 

R σ [N/mm 2 ] mjerodavna karakteristika čvrstoće za normalna naprezanja 

σ [N/mm 2 ] normalno naprezanje na mjestu na kojem se kontrolira čvrstoća 

ν τ 

R τ 

= (1.78) 

τ 

ν τ 

parcijalni stupanj sigurnosti za samo tangencijalna naprezanja. 

R τ [N/mm 2 ] mjerodavna karakteristika čvrstoće za tangencijalna naprezanja 

τ [N/mm 2 ] tangencijalno naprezanje na mjestu na kojem se kontrolira čvrstoća. 

1.1.1.2 Čvrstoća u slučaju statičkih naprezanja 

Kada su strojni elementi izloženi statičkim, vremenski nepromjenjivim opterećenjima, naprezanja 

u njihovim najnapregnutijim točkama ne smiju preći mjerodavnu karakteristiku statičke čvrstoće. 

Osnovne karakteristike statičke čvrstoće dobivaju se iz tzv. dijagrama rastezanja koji 

predstavljaju vezu između naprezanja i deformacija za određeni materijal. 

Ovisnost naprezanja i uzdužne relativne deformacije je ovisna o vrsti materijala. Za različite vrste 

materijala ta veza se određuje jednostavnim statičkim testiranjima standardnih epruveta. 

Pri određivanju statičke čvrstoće materijala epruvete se opterećuju mirnim opterećenjem, koje se 

povećava sve dok ne dođe do njihovog loma. Karakteristični dijagram, snimljen pri vlačnom 

opterećenju mekog čelika, prikazan je na slici 1.22. Analizom dijagrama je uočljivo da poslije 

početnog proporcionalnog (linearog) rasta naprezanja s deformacijom, dolazi do nelinearnog 

rasta, tj. deformacija raste brže od naprezanja. Pri deformaciji ε m doseže se najveće naprezanje 

koje materijal može podnijeti, i naziva se (statička) vlačna čvrstoća R m . Nakon dosegnute vlačne 

čvrstoće, deformacija raste uz smanjenje naprezanja, do najveće deformacije ε u , pri kojoj dolazi 

do loma, slika 1.22. 

Najveće naprezanje pri kojem još postoji linearna ovisnost deformacije i naprezanja naziva se 

granicom proporcionalnosti R p . Do granice proporcionalnosti materijal se ponaša linearnoelastično 

i u tom području veza između deformacija ε i naprezanja σ dana je Hookovim 

zakonom, izraz (1.28). 

Do određene razine naprezanja ponašanje materijala je elastično, što znači, da se pri rasterećenju 

epruveta vraća u svoj prvobitni položaj tj. na prvobitnu dimenziju. Zbog toga se to područje 

naziva elastično područje, deformacije su elastične tj. povratne. Granica elastičnih deformacija je 

granica proporcionalnosti, ali je nju teško odrediti iz dijagrama. Zato se definira tehnička granica 

elastičnosti R p0,01 , koja je definirana kao ono naprezanje, nakon prestanka dijelovanja kojeg, na 

epruveti ostaju trajne (zaostale) deformacije veličine ε = 0,01%.

σ 

R m 

lom 

R p0,01 

R p 

α 

E = tanα 

ε mpl 

ε m 

ε upl 

Slika 1.22: Dijagram rastezanja za meki čelik 

Naprezanje pri kojem dolazi do znatnih plastičnih deformacija naziva se granica plastičnosti ili 

granica tečenja (jer se na toj razini naprezanja materijal ponaša kao tekućina- teče bez povećanja 

opterećenja) R e . Granica tečenja je izrazita kod mekih čelika, gdje se razlikuje gornja granica 

tečenja R eH , pri kojoj se javlja prva plastična deformacija, i donja granica tečenja R eL , pri kojoj se 

odvija daljnje deformiranje, slika 1.23a. 

Iz praktičnih razloga kod tih materijala određuje se samo gornja granica plastičnosti, na koju se 

može bitno utjecati brzinom opterećenja. Kod materijala kod kojih nije jasno vidljiva granica 

tečenja (npr. tvrdi čelik), dogovorno se (tehničkom) granicom tečenja naziva ono naprezanje, pri 

kojemu nakon rasterećenja ostane trajna deformacija ε = 0,2%, a označava se s R p0,2 , slika 1.23b. 

Plastične deformacije većine metalnih materijala vode do njihovog otvrdnuća, te je za daljne 

deformiranje potrebno veće opterećenje. 

Po obliku njihovih dijagrama rastezanja, razlikuju se sljedeći materijali: 

• krti materijali, koji se nakon početnih elastičnih deformacija lome bez izrazitijeg 

plastičnog deformiranja (npr. čelici visoke čvrstoće, sivi ljev, titan, keramika); 

• rastezljivi materijali (materijali s viskoznim lomom), kod kojih se nakon početne 

(linearne) deformacije javlja izrazita plastična (trajna) deformacija, slika 1.23a, 

• plastični materijali, koji se samo neznatno elastično deformiraju, a cijela je deformacija 

praktički plastična, npr. bakar, slika 1.23c. 

Dijagram ovisnosti deformacije o tlačnim, savojnim i torzijskim naprezanjima kvalitativno je 

jednak dijagramu rastezanja, slika 1.23. Odgovarajuće karakteristike statičke čvrstoće za neke 

važnije konstrukcijske materijale dane su u tabeli 1.7. 

ε u 

ε

Tabela 1.7: 

Vrsta materijala 

Konstrukcijski 

čelici 

Čelici za poboljšanje 

Čelici za 

cementiranje 

Čelični 

ljev 

Sivi ljev 

Nodularni 

ljev 

Temper ljev 

Oznaka materijala 

HRN 

Osnovna svojstva važna za čvrstoću materijala za opću strojarsku praksu 

DIN 

Vlačna 

čvrstoća 

R m 

[N/mm 2 ] 

Granica 

tečenja 

R e , R p0,2 

[N/mm 2 ] 

Modul 

elastičnosti 

E 

[N/mm 2 ] 

Poissonov 

koeficijent 

ν 

Temperaturni 

koeficijent 

rastezanja 

α [K -1 ] 

grijanje hlađenje 

Č 0000 St 33 310 185 

Č 0361 RSt 37-2 340 225 

Č 0460 St 44 430 275 

Č 0560 St 52 490 345 

Č 0545 St 50-2 480 285 

Č 0645 St 60-2 570 325 

Č 0745 St 70-2 670 355 

Č 1480 Cm 35 600 370 

Č 1580 Cm 45 650 430 

Č 1780 Cm 60 800 520 

Č 3130 28Mn6 800 590 

Č 4730 25CrMo4 900 600 

Č 4731 34CrMo4 1000 800 

Č 4732 42CrMo4 1100 900 

2,1·10 -5 0,3 11·10 -6 -8,5·10 -6 

Č 4733 50CrMo4 1100 900 

Č 5430 36CrNiMo4 1200 1000 

- 30CrNiMo8 1250 1050 

Č 1220 C15 590 355 

Č 7420 20MoCr4 780 590 

Č 4320 16MnCr5 780 590 

Č 4321 20MnCr5 980 650 

Č 4520 17CrNiMo6 1080 785 

ČL 0300 GS-38 380 200 

ČL 0400 GS-45 450 230 

ČL 0500 GS-52 520 260 

ČL 0600 GS-60 600 300 

SL 10 GG-10 100 0,88·10 -5 0,29 

SL 15 GG-15 150 0,95·10 -5 0,28 

SL 20 GG-20 200 1,05·10 -5 0,31 

− 

SL 25 GG-25 250 1,15·10 -5 0,31 

11·10 -6 -8·10 -6 

SL 30 GG-30 300 1,25·10 -5 0,30 

SL 35 GG-35 350 

1,35·10 -5 0,30 

NL 380 GGG-40 400 250 1,67·10 -5 0,28 

NL 500 GGG-50 500 320 1,70·10 -5 0,29 

NL 600 GGG-60 600 380 1,77·10 -5 0,32 10·10 -6 -8·10 -6 

NL 700 GGG-70 700 440 1,80·10 -5 0,34 

NL 800 GGG-80 800 500 1,80·10 -5 0,34 

BTel 35 GTW-35 350 − 

BTel 40 GTW-40 400 220 

BTel 45 GTW-45 450 260 

CTel 35 GTS-35 350 200 1,75·10 -5 0,3 10·10 -6 -8·10 -6 

PTel 45 GTS-45 450 290 

PTel 55 GTS-55 550 340 

PTel 65 GTS-65 650 430 

Tabela 1.7: (nastavak)

Vrsta materijala 

Aluminijske 

legure 

Magnezijeve 

legure 

Kositren 

e Bz 

Olovne 

bronze 

Aluminijs 

ka 

Bz 

Mjed 

Crveni metal 

Titano 

ve 

legure 


HRN 

DIN 

Vlačna 

čvrstoća 

R m 

[N/mm 2 ] 

Granica 

tečenja 

R e , R p0,2 

[N/mm 2 ] 

AlMg3 AlMg3 250 180 

AlMg3Si1 AlMg3Si1 310 260 

AlCu5PbBi AlCu5PbBi 380 250 

AlSi6Cu4 G-AlSi6Cu4 180 120 

AlSi12(Fe) G-AlSi12 180 85 

AlSi10Mg G-AlSi10Mg 200 100 

MgMn2 MgMn2 200 150 

MgAl6Zn MgAl6Zn 270 200 

MgAl8Zn MgAl8Zn 290 210 

MgAl8Zn1 G-MgAl8Zn1 160 90 

MgAl9Zn1 G-MgAl9Zn1 240 110 

CuSn2 CuSn2 260 150 

CuSn6 CuSn6 400 200 

CuSn10 G-CuSn10 270 130 

CuSn12 G-CuSn12 260 140 

CuPb5Sn G-CuPb5Sn 240 130 




CuAl5 CuAl5 340 100 

CuAl8 CuAl8 370 120 

CuAl10Fe G-CuAl10Fe 500 180 

CuAl9Ni G-CuAl9Ni 500 200 

CuZn28F36 CuZn28F36 370 200 

CuZn33F37 CuZn33F37 380 210 

CuZn36F38 CuZn36F38 390 220 

CuZn15 G-CuZn15 170 70 

CuZn33Pb G-CuZn33Pb 170 70 

CuZn40Fe G-CuZn40Fe 300 130 

CuSn10Zn G-CuSn10Zn 260 130 

CuSn7ZnPb 

G- 

CuSn7ZnPb 

240 120 

CuSn5ZnPb 

G- 

CuSn5ZnPb 

240 90 

CuSn6ZnNi G-CuSn6ZnNi 270 140 

TiAl6V4 TiAl6V4 890 820 

TiAl5Sn2 TiAl5Sn2 790 760 

Modul 

elastičnost 

i 

E 

[N/mm 2 ] 

Poissonov 

koeficijen 

t 

ν 

Temperaturni 

koeficijent 

rastezanja 

α [K -1 ] 

grijanje hlađenje 

0,7⋅10 5 0,33 23⋅10 -6 -18⋅10 -6 

0,12⋅10 5 0,34 26⋅10 -6 -21⋅10 -6 

0,9⋅10 5 0,35 

1,23⋅10 5 0,33 

0,9⋅10 5 0,35 

16⋅10 -6 -14⋅10 -6 

18⋅10 -6 -16⋅10 -6 

17⋅10 -6 -15⋅10 -6 

1,05⋅10 5 0,33 8,35⋅10 -6 − 

Karbidi > 2000 > 2000 58⋅10 5 − 5,5⋅10 -6 − 

Staklo-kremen < 90 − − − 0,6⋅10 -6 − 

Drvo < 200 < 80 0,10⋅10 5 − − − 

Napomena: Karakteristike čvrstoće materijala (R m , R e ili R p0,2 ) su općenito ovisne o debljini elementa. U 

tabeli su navedene orijentacijske vrijednosti za srednje debljine epruveta (između 16 i 40 

mm). Točne vrijednosti u ovisnosti o toplinskoj obradi i debljini mogu se naći u 

odgovarajućim priručnicima ili katalozima proizvođača.

a) b) c) 

σ 

σ 

σ 

tvrdi čelik 

R eH 

R eL 

R p0,2 

sivi lijev 

meki čelik 

bakar 

ε 

0,2% 

Slika 1.23: Karakteristični dijagrami rastezanja materijala 

a) granica tečenja za meki čelik b) dogovorna (tehnička) granica tečenja 

c) naprezanje-deformacija krivulje za različite vrste materijala 

ε 

ε 

1.1.1.2.1 Karakteristike čvrstoće strojnih dijelova pri statičkim opterećenjima 

Tabela 1.7 navodi neke osnovne karakteristike čvrstoće strojarskih materijala. Navedene 

vrijednosti vrijede za vlačna opterećenja, a za metale i za tlačna opterećenja. Podaci za vlačnu 

čvrstoću R m i granicu tečenja R e , tj. R p0,2 , su navedeni za srednje debljine strojnih dijelova i 

propisanu toplinsku obradu. Pri manjim debljinama strojnih dijelova su vrijednosti za vlačnu 

čvrstoću i granicu tečenja veće, a pri većim debljinama manje. Čvrstoća materijala opada s 

povećanjem dimenzija strojnih dijelova, jer je na većem prostoru veća vjerojatnost za 

nehomogenost, anizotropnost i ostale greške u materijalu, te za narušeni integritet površina zbog 

grešaka u obradi. Ovo smanjenje čvrstoće strojnih dijelova zbog njihovih dimenzija, većih negoli 

dimenzije epruvete na kojoj je ispitivana čvrstoća, obuhvaćeno je odgovarajućim faktorom 

dimenzija: 

R 

b = ≤ (1.79) 

1 

1 

Rref 

R [N/mm 2 ] statička karakteristika čvrstoće za određenu proizvoljnu dimenziju 

R ref [N/mm 2 ] statička karakteristika čvrstoće za referentnu dimenziju, najčešće 10 mm. 

Faktor dimenzija b 1 nije jednak za statičku čvrstoću (slika 1.24a) i za granicu tečenja (slika 

1.24b). Za referentne dimenzije veće od 10 mm (kao što su u tabeli 1.7), faktor dimenzija se 

može odrediti iz slike 1.24 kao omjer vrijednosti b 1 za proizvoljnu i novu referentnu dimenziju. 

Statička čvrstoća strojnog dijela manja je od statičke čvrstoće probne epruvete i zbog 

koncentracije naprezanja, koja je prisutna u njemu zbog promjenjivog oblika. Doduše, efekat 

koncentracije naprezanja se za materijale s viskoznim lomom sasvim poništi zbog očvršćenja 

strojnog dijela nakon lokalnog razvlačenja, ali kod materijala sa krtim lomom i visokom 

osjetljivošću na koncentraciju naprezanja, ovaj efekat se ne smije uvijek zanemariti. Općenito je 

dakle statička čvrstoća strojnog dijela R m,d dana izrazom: 

R 

m,d 

b 

1 

= R 

m 

(1.80) 

βk,m 

b 1 faktor dimenzija za statičku čvrstoću, slika 1.24a

β k,m efektivni faktor koncentracije naprezanja za statičku čvrstoću. 

β k,m ≈ 1 za sve materijale osim za izrazito krte (staklo, keramika, berilij, titan i sl.). 

Obično se za statički opterećene dijelove iz krtih materijala za mjerodavnu karakteristiku čvrstoće 

uzima statička čvrstoća, dok se za rastezljive materijale uzima granica tečenja korigirana 

faktorom dimenzija (slika 1.24b). 

1 

1 

1 

0,8 

2 

0,8 

0,6 

3 

0,6 

0,4 

4 

0,4 

10 20 50 100 200 500 

10 20 

50 100 200 500 

[mm] 

[mm] 

Slika 1.24: Faktori utjecaja dimenzija na statičke karakteristike čvrstoće 

a) za vlačnu čvrstoću: 1- ugljični čelici, 2- legirani čelici, 3- nodularni lijev, 4- sivi lijev 

b) za granicu tečenja pri vlačnom naprezanju za ugljične konstrukcione čelike 

Radi povećanja nosivosti elemenata od materijala s viskoznim lomom tj. sa izraženom granicom 

tečenja, ponekad su dijelovima strojeva ili konstrukcija dopuštene male plastične deformacije. 

Veća nosivost postiže se zahvaljujući osobini očvršćavanja, koju pokazuju ovi materijali nakon 

prelaza u plastično tj. elastično-plastično stanje. U tom slučaju, stupanj sigurnosti ν se može 

zapisati kao 

Qgr Qgr QT 

ν = = = kε 

⋅ ν 

T 

(1.81) 

Q Q Q 

T 

Q gr [N] ili [Nm] opterećenje pri kojem naprezanje u najopterećenijim točkama strojnog dijela 

premašuje granicu tečenja 

Q [N] ili [Nm] opterećenje 

Q T [N] ili [Nm] opterećenje na granici tečenja 

k ε 

koeficijent otpornosti u plastičnom području, koji pokazuje povećanje graničnog 

opterećenja prema opterećenju na granici tečenja 

stupanj sigurnosti prema prema granici tečenja. 

ν T 

Dakle, stupanj sigurnosti po kriteriju dopuštenih malih plastičnih deformacija je za k ε puta veći 

od stupnja sigurnosti po kriteriju (ne) dosezanja granice tečenja. Isto toliko puta veća je i nosivost 

strojnog dijela. 

Koeficijent otpornosti u plastičnom području (tj. u području elastično-plastičnih deformacija) k ε 

ovisi o rasporedu naprezanja iznad granice elastičnosti, te o parametrima dijagrama σ - ε, koji se 

shematski obično daje u obliku dva pravca (slika 1.25), kako bi se lakše mogao provesti proračun 

izvan granica elastičnosti. Lijevi, linearni dio dijagrama odgovara elastičnim, a desni elastičnoplastičnim 

deformacijama.

Prema dijagramu 1.25 omjer naprezanja R ε , koje odgovara ukupnoj deformaciji ε, i granice 

tečenja R e , zadan je jednadžbom 

Rε 

ε Ee 

⎛ Ee ⎞ 

= −⎜1− 

⎟ (1.82) 

R ε E ⎝ E ⎠ 

e 

e 

R ε [N/mm 2 ] naprezanje koje odgovara ukupnoj deformaciji ε 

R e [N/mm 2 ] granica tečenja 

ε 

ukupna deformacija u području elastično- plastičnih deformacija 

ε e 

ukupna deformacija na granici tečenja 

E [N/mm 2 ] modul elastičnosti 

E e [N/mm 2 ] modul očvršćavanja 

Slika 1.25: Shematski dijagram naprezanje - deformacija 

Vrijednost λ = 1-E e /E naziva se koeficijent oslabljenja, a karakterizira smanjenje naprezanja 

iznad granice elastičnosti u odnosu na njegovu vrijednost prema Hookovom zakonu. Njegova 

vrijednost za čelike kreće se u granicama od 0,75 do 1,0 ovisno o sastavu čelika i njegovoj 

toplinskoj obradi. Najčešća vrijednost je λ = 0,9 tj. E e /E = G e /G = 0,1, gdje je G modul smika. 

Za računanje koeficijenta otpornosti k ε u elastično - plastičnom području potrebno je izračunati 

opterećenje Q T , pri kojem naprezanje u najopterećenijim točkama strojnog dijela dostiže granicu 

tečenja, i granično opterećenje Q gr za dopuštenu elastično - plastičnu deformaciju ε. Opterećenje 

Q T lako se računa prema Hookeovom zakonu. Tako je npr. za ravno savijanje 

M 

T 

= W ⋅ R 

(1.83) 

e,s 

M T [Nmm] moment savijanja pri kojem naprezanje u pojedinim točkama dostiže granicu 

tečenja za savijanje 

W [mm 3 ] aksijalni moment otpora poprečnog presjeka strojnog dijela 

R e,s [N/mm 2 ] granica tečenja za savijanje. 

Granična opterećenja ili koeficijenti otpornosti se pak računaju na osnovi izraza Teorije 

plastičnosti, koji će biti prezentirani samo za neke slučajeve opterećenja, koji se češće javljaju u

praksi. Tako se npr. pri vlačnom opterećenju granična sila F gr za dopuštenu elastično-plastičnu 

deformaciju ε, tj. za dopušteni omjer deformacija ε/ε e dobije iz izraza 1.79: 

ε E ⎛ 

F = F ⋅ ⋅ −F 

⎜1− 

⎝ 

e 

gr T T 

εe 

E 

Ee ⎞ ⎟ (1.84) 

E ⎠ 

F T [N] vlačna sila na granici tečenja 

E e [N/mm 2 ] modul očvršćenja 


ε e 

elastična deformacija na granici tečenja tj. na granici elastičnog i elastičnoplastičnog 

područja 

Koeficijenti otpornosti k ε = M gr /M T za slučaj savijanja greda pravokutnog i okruglog presjeka 

prikazani su na slici 1.26 za očvršćenje E e /E=0,1 u ovisnosti o omjeru granično dopuštenog 

progiba f gr i progiba na granici tečenja f T u istom presjeku. 

2 

1,8 

b a c 

1,6 

1,4 

0,1 

1,2 

1 2 3 4 5 6 

Slika 1.26: Koeficijenti otpornosti u elastično- plastičnom području pri savijanju jednostavne 

grede opterećene silom na sredini i konzole opterećene silom na kraju 

a) za pravokutni presjek b) za okrugli presjek c) za konzolu 

okruglog presjeka opterećenu momentom na kraju 

U slučaju uvijanja štapa okruglog presjeka, koeficijent otpornosti dan je izrazom 

k 

ε 

3 

T 

⎧ 

⎫ 

gr 1 ⎪ G Θ 3 

e gr G 

⎡ ⎤ 

⎛ 1 

e ⎞ ⎛ Θ ⎞ 4 

e ⎪ 

= = ⎨ + ⎜ − ⎟ ⎢ −⎜ ⎥ ⎬ 

TT 3 G 

e 

G ⎜ ⎟ 

⎪ Θ ⎝ ⎠⎢ 

⎝Θgr 

⎠ ⎥ 

⎩ 

⎣ ⎦⎪⎭ 

(1.85) 

T gr [Nmm] moment torzije pri kojem naprezanje u najopterećenijim točkama presjeka 


T T [Nmm] moment torzije na granici tečenja 

G e [N/mm 2 ] modul očvršćavanja za tangencijalna naprezanja 

G [N/mm 2 ] modul smika 

Θ gr rad kut torzije pri kojem naprezanje u najopterećenijim točkama presjeka 


Θ e rad kut uvijanja u trenutku pojave plastičnih deformacija 

Ako je greda kružnog presjeka opterećena istovremeno na savijanje s momentom M i na uvijanje 

s momentom T, nosivost se određuje iz uvjeta

2 2 

⎛3π 

M ⎞ ⎛3 

T ⎞ 

⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1 

16 M 4 T 

⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠ 

(1.86) 

M T [Nmm] moment savijanja pri kojem naprezanje u pojedinim točkama premašuje granicu 

tečenja za savijanje 

T T [Nmm] moment uvijanja pri kojem naprezanje u pojedinim točkama premašuje granicu 

tečenja za uvijanje. 

1.1.1.2.2 Dugotrajna statička čvrstoća 

Kod statičkih opterećenja iznad određene temperature, dio deformacija se pojavljuje naknadno. 

Ta pojava vremenskog zaostajanja deformacija za opterećenjem naziva se puzanje materijala. 

Temperatura pri kojoj se javlja puzanje ovisna je o vrsti materijala. Za čelik ona je iznad 400°C, a 

npr. za olovo i većinu polimernih materijala je kod sobne temperature. Oštećenje materijala u 

procesu puzanja pri dugotrajnom dijelovanju statičkih naprezanja na određenoj temperaturi vodi 

lomu, otpornost prema kojem se naziva dugotrajna ili vremenska statička čvrstoća. Ona se 

određuje na osnovi eksperimentalno dobivenih dijagrama dugotrajne statičke čvrstoće za 

određenu temperaturu, slika 1.27. 

vrijeme ( log ) 

Slika 1.27: Shematski prikaz krivulja dugotrajne statičke čvrstoće 

Jednadžba ove krivulje je 

md 

md 

R ⋅ t = σ ⋅ t = const 

dug 

gr 

(1.87) 

R dug [N/mm 2 ] dugotrajna statička čvrstoća za t sati dijelovanja statičkog opterećenja 

t [h] vrijeme dijelovanja statičkog naprezanja σ, obično 

σ [N/mm 2 ] dugotrajno statičko naprezanje 

t gr [h] vrijeme nakon kojeg dolazi do loma pri dugotrajnom statičkom naprezanju σ 

m d eksponent (nagib) krivulje dugotrajne statičke čvrstoće. Za čelike m d = 4...10 

Iz poznate krivulje krivulja dugotrajne statičke čvrstoće lako se može odrediti vijek trajanja 

strojnog dijela za poznati nivo dugotrajnog statičkog naprezanja, ili dugotrajna statička čvrstoća 

za predviđeni vijek trajanja. Tada je stupanj sigurnosti 

ν 

R 

dug 

= ≥ ν 

potr 

(1.88) 

σ

Međutim, u literaturi se najčešće može nači samo podatak za dugotrajnu statičku čvrstoću za 

normnu trajnost od najčešće 100000 sati Iz tog podatka se onda može iz izraza 1.84 odrediti 

dugotrajna statička čvrstoća strojnog dijela za predviđeni vijek trajanja, 

R 

dug 

⎛t 

⎝ t 

⎞ 

* gr 

= Rdug 

⋅ ⎜ ⎟ 

⎠ 

1 

m d 

(1.89) 

sati 

R dug [N/mm 2 ] dugotrajna statička čvrstoća za predviđeni vijek trajanja t strojnog dijela 

R * dug [N/mm 2 ] dugotrajna statička čvrstoća za normnu trajnost t gr 

t gr [h] normna trajnost, tj. baza ispitivanja dugotrajne statičke čvrstoće, obično 100000 

t [h] predviđeni vijek trajanja strojnog dijela 

m d eksponent (nagib) krivulje dugotrajne statičke čvrstoće. Za čelike m d = 4...10. 

Također, moguće je odrediti vijek trajanja za poznatu vrijednost dugotrajnog statičkog naprezanja 

t 

⎛R 

⎞ 

⎝ σ ⎠ 

dug 

= tgr 

⎜ ⎟ 

m d 

(1.90) 

sati 

t [h] predviđeni vijek trajanja strojnog dijela 

t gr [h] normna trajnost, tj. baza ispitivanja dugotrajne statičke čvrstoće, obično 100.000 

R dug [N/mm 2 ] dugotrajna statička čvrstoća za t gr 

σ [N/mm 2 ] dugotrajno statičko naprezanje 

m d 

eksponent (nagib) krivulje dugotrajne statičke čvrstoće. 

Kod nestacionarnog statičkog opterećenja (promjenjivi režimi dugotrajnog statičkog opterećenja, 

slika 1.28) pri konstantnoj temperaturi vrijedi zakon gomilanja statičkih oštećenja: 

t 

i 

∑ = ∑ Dist 

, 

= Dst 

≅1 

(1.91) 

i tigr 

, i 

t i [h] vrijeme dijelovanja dugotrajnog statičkog naprezanja σ i 

t i,gr [h] vrijeme do loma na nivou dugotrajnog statičkog naprezanja σ i 

D i,st 

statičko oštećenje od dijelovanja σ i 

ukupno statičko oštećenje. 

D st 

Iz ovog zakona, uz pomoć jednadžbe krivulje dugotrajne statičke čvrstoće, izvodi se izraz za 

ekvivalentno dugotrajno statičko naprezanje koje ima isti učinak, tj. rezultira istom trajnošću, kao 

dijelovanje svih naprezanja σ i kroz njihova vremena t i :

log 

Slika 1.28: Nestacionarno dugotrajno statičko naprezanje 

⎛ ⎞ 

σe = ⎜⎝ i i 

i ⎠ 

1 

m 

d 

md 

∑ασ 

⎟ (1.92) 

σ e [N/mm 2 ] ekvivalentno stacionarno dugotrajno statičko naprezanje 

α i 

t 

i 

α 

i 

= (1.93) 

∑ ti 

i 

udio vremena t i dijelovanja naprezanja σ i prema ukupnom vremenu dijelovanja 

svih naprezanja, relativno trajanje naprezanja σ i 

t i [h] vrijeme dijelovanja naprezanja σ i 

σ i [N/mm 2 ] i- to dugotrajno statičko naprezanje. 

Sada se, zamjenjujući σ sa σ e , može odrediti trajnost prema izrazu 1.90, dugotrajna statička 

čvrstoća prema 1.89, ili stupanj sigurnosti prema izrazu 1.88. 

1.1.1.3 Čvrstoća u slučaju promjenjivih naprezanja 

Strojni dio koji je dulje vremena podvrgnut naprezanjima promjenjivim u vremenu, lomi se pri 

naprezanjima koja su znatno manja od statičke čvrstoće i granice tečenja. Ovo je posljedica tzv. 

zamora materijala. Za razliku od lomova pri statičkom opterećenju, lomovi zbog zamora 

materijala redovito nastaju bez prethodnog razvlačenja materijala (dakle bez trajne deformacije i 

kontrakcije presjeka), bez obzira na vrstu i osobine materijala i na vrstu naprezanja. Razlog 

ovome je to što su naprezanja koja uzrokuju zamorni lom, znatno ispod granice tečenja. 

Proces zamaranja uvijek počinje začećem inicijalne (mikro)pukotine duljine reda veličine 

kristalnog zrna (oko 0,05 mm), a proces začeća pukotine započinje cikličkim gomilanjem 

plastičnih deformacija na mjestima mikrokoncentracije naprezanja. Izvori mikrokoncentracije 

naprezanja su najčešće na površini napregnutog elementa, i to pri dnu udubina površinskih 

neravnina, u okolini oksida koji djeluju kao strano tijelo (uključina), te na mjestima svih ostalih 

nehomogenosti izazvanih okolišem i obradom (npr. gubitak ugljika pri kovanju ili uključine pri 

ljevanju). Važan uzrok začeća pukotine na površini jest i činjenica da su nominalna naprezanja 

uvijek najveća na površini. Ustvari, pukotina se uvijek začinje na mjestu najvećih stvarnih 

naprezanja. Oko kristalnih zrna s ovako nagomilanim plastičnim deformacijama formiraju se

klizne ravnine, najčešće na granici sa nedeformiranim zrnima. Daljnja ciklička opterećenja 

uzrokuju i samo klizanje - početak rasta kratkih mikropukotina. 

Ovo se lijepo vidi na slici 1.29, gdje je lijevo-gore od mikropukotine zrno niskougljičnog čelika s 

plastičnim deformacijama tj. dislokacijama, a desno-dolje zrno praktički bez dislokacija. Gore 

desno se vidi ishodište buduće pukotine na dnu površinske neravnine. Inicijalna pukotina se dakle 

najčešće začinje transgranularno (između dvaju kristalnih zrna), ali se može začeti i 

intergranularno (kroz jedno kristalno zrno). U zoni visokih naprezanja začinje se više pukotina, 

ali se počinje širiti samo jedna od njih, i to ona, čiji faktor intenziteta naprezanja (vidi poglavlje 

1.8.1.3.7.3) premaši svoju graničnu vrijednost, tzv. prag širenja pukotine. Tada se pukotina 

počinje širiti, intergranularno ili transgranularno, ali makroskopski uvijek u smjeru maksimalne 

vrijednosti faktora intenziteta naprezanja. 

Slika 1.29: Formirana klizna ravnina na granici plastično i elastično deformiranog zrna 

Kada je izvor pukotine pod površinom, onda je to isključivo na mjestima kaverni ili uključina, 

slika 1.30. Kod sivog lijeva začeće pukotine je redovito na kraju grafitnog listića, koji je dio 

njegove strukture i predstavlja koncentrator naprezanja. 

Slika 1.30: Tvrda uključina kao izvor ispodpovršinskog začeća pukotine kod Cr-Mo čelika 

Izvor pukotine može biti i mekana intergranularna zona u kojoj se formira tzv. trostruka točka od 

koje se iniciraju tri mikropukotine- svaka u svome smjeru, slika 1.31.

Slika 1.31 - Tri primjera trostrukog začeća mikropukotina na jednom izvoru kod Cr-Mo čelika 

ASTM A295 

Proces širenja pukotine traje sve dok se ostatak presjeka ne smanji toliko da naprezanja u njemu 

dostignu vrijednost statičke čvrstoće materijala, pa se on odjednom nasilno prelomi. Tako 

površina loma uslijed zamora materijala ima dvije jasno izražene zone: zonu širenja pukotine, 

koja je glatka (hrapavost na nivou kristalnih zrna), i zonu statičkog loma vrlo grube i nepravilne 

površine, karakteristične za statički lom, slika 1.32. Shematski izgledi površina zamornog loma 

za različite vrste opterećenja prikazani su na slici 1.33. 

mjesto začeća pukotine 

linija odmora 

glatka i sjajna površina 

nepravilna i hrapava 

površina statičkog loma 

Slika 1.32: Opći izgled površine loma uslijed zamora materijala 

° 

a b c d e 

Slika 1.33: Prikaz lomova uslijed zamora materijala 

a) aksijalno opterećenje, b) istosmjerno savijanje, c) izmjenično savijanje, d) kružno savijanje, e) 

torzija 

Statistička analiza lomova strojnih dijelova pokazuje da preko 80 % svih lomova nastaje kao 

posljedica zamora materijala. Pokretni dijelovi strojeva redovito su izloženi promjenjivim 

naprezanjima bez obzira na karakter vanjskog opterećenja. Tako npr. rotirajuća osovina 

opterećena u određenom presjeku konstantnim momentom savijanja oko osi x-x bit će izložena 

naizmjenično promjenjivim normalnim naprezanjima, slika 1.34. Naime, svaka točka konture 

presjeka u jednom okretaju osovine trpi naprezanja od nule (u položaju a) do - σ max (u položaju 

b), te preko nule (u položaju c) i +σ max (u položaju d) , te ponovno do nule u položaju a. 

Mjerodavna karakteristika čvrstoće pri promjenjivim naprezanjima strojnih dijelova jest 

dinamička čvrstoća (ili granica zamora) strojnog dijela, koja se dobije ispitivanjem na zamor 

samog strojnog dijela, ili češće, izračuna se na temelju ispitivanja na zamor probne epruvete, 

izrađene od materijala jednakog materijalu strojnog dijela. Epruvete su definirane odgovarujućim 

standardom, ali ako su okrugle, promjer im je najčešće 7 mm, a površina polirana.

Epruvete su izložene periodično promjenjivim opterećenjima određenog inteziteta, sve do pojave 

loma. Ispitivanja se provode za određeni koeficijent asimetrije ciklusa naprezanja: 

r 

σ 

σ 

r 

koeficijent asimetrije ciklusa naprezanja 

σ min [N/mm 2 ] minimalno naprezanje ciklusa naprezanja 

σ max [N/mm 2 ] maksimalno naprezanje ciklusa naprezanja 

min 

= (1.94) 

max 

a 

x 

b 

d 

c 

x 

σ 

d 

+σmax 

-σmax 

c 

a 

c 

t 

Slika 1.34: Naizmjenično promjenjivi ciklus normalnog naprezanja pri statičkom savijanju 

rotirajuće osovine 

najčešće r = -1 i r = 0, ali za nekoliko različitih nivoa maksimalnih naprezanja. Za svaki od ovih 

nivoa naprezanja bilježi se broj ciklusa naprezanja N, nakon kojeg je došlo do loma epruvete. 

Rezultati ispitivanja unose se u σ−N dijagram, a dobivena krivulja odgovara eksponencijalnoj 

krivulji poznatoj pod imenom Wöhlerova krivulja (po njemačkom inženjeru, koji je prvi izveo 

opisane eksperimente), ili krivulja dinamičke čvrstoće materijala (krivulja zamaranja), slika 

1.35a. 

Wöhlerova krivulja se asimptotski približava pravcu σ = R r , pri čemu se R r naziva trajnom 

dinamičkom čvrstoćom materijala izloženog ciklički promjenjivim naprezanjima s koeficijentom 

asimetrije ciklusa r. Očito, trajna dinamička čvrstoća materijala je ono maksimalno naprezanje 

ciklusa asimetrije r pri kojem epruveta doživi beskonačno mnogo ciklusa, tj. neograničenu 

trajnost. Wöhlerova krivulja se obično crta u logaritamskim kordinatama, gdje postaje 

karakteristični pravac s "koljenom" u točki N gr , slika 1.35b. Jednadžba Wöhlerove krivulje se 

obično piše u obliku 

R ⋅ N = R ⋅ N = const 

m 

rN 

m 

r 

b 

gr 

(1.95) 

R rN [N/mm 2 ] vremenska dinamička čvrstoća za trajnost u ciklusima N 

N 

broj ciklusa do loma pri maksimalnom naprezanju ciklusa R rN 

N gr 

broj ciklusa na prelazu između vremenske i trajne dinamičke čvrstoće. Za čelike 

obično oko 10 7 ciklusa, za obojene metale oko 10 8 ciklusa, a varira s asimetrijom 

ciklusa i vrstom naprezanja. 

m 

eksponent Wöhlerove krivulje tj. nagib Wöhlerove krivulje u logaritamskim 

koordinatama, m = 3...13 ovisno o materijalu, obliku strojnog dijela ili vrsti spoja, 

te vrsti naprezanja.

a) b) 

maksimalno naprezanje 

dinamička čvrstoća 

broj ciklusa 

log 

log 

maksimalno naprezanje 

dinamička čvrstoća 

broj ciklusa log 

Slika Pogreška! U dokumentu nema teksta navedenog stila..35: Wöhlerova krivulja 

Izvorišno, Smithov dijagram se dobiva unošenjem u njegove koordinate (σ max = R r , σ m ) 

vrijednosti maksimalnog σ max = R r i minimalnog naprezanja σ min na nivou trajne dinamičke 

čvrstoće za pripadajuću srednju vrijednost naprezanja σ m , za nekoliko ciklusa različitih asimetrija 

r, slika 1.36. Simetrala dijagrama ucrtava se pod kutem od 45 0 i predstavlja pravac, čije su 

ordinate jednake apcisama tj. srednjim naprezanjima ciklusa. Očito je da konture Smithovog 

dijagrama omeđuju polje trajne dinamičke čvrstoće. Prijelaz maksimalnog ili minimalnog 

naprezanja izvan konture dijagrama znači zamorni lom! 

Razumljivo je također, da su Smithovi dijagrami različiti za različite vrste naprezanja, slika 

1.37a. Najveću površinu zauzima Smithov dijagram za savijanje, a najmanju za torziju. To znači 

da su dinamičke čvrstoće na savijanje najveće, a na torziju najmanje. Pri tome gornja krivulja 

(maksimalnih naprezanja ciklusa) Smithovog dijagrama predstavlja liniju trajne dinamičke 

čvrstoće, pa se najčešće crta sama ta linija. Na taj način se Smithov dijagram aproksimira kao 

linija koja povezuje obično samo jednu (najčešće R -1 ) karakteristiku dinamičke čvrstoće i jednu 

(R m ili R e ) karakteristiku statičke čvrstoće, slika 1.37. Najsličnija izvorišnom Smithovom 

Tabela 1.8: 

Vrsta mat. 

Konstrukcijski 

čelici 

Čelici za 

poboljša 

nje* 

Karakteristike čvrstoće važnijih konstrukcijskih materijala 


Trajna dinamička čvrstoća 

Granica tečenja 

HRN DIN 

Vlak/tlak Savijanje Torzija 

R e R es R et R -1 R 0 R -1s R 0s R -1t R 0t 

Č 0361 RSt 37-2 225 300 150 175 240 200 340 140 170 

Č 0460 St 44 260 360 180 190 260 220 360 150 180 

Č 0560 St 52 340 450 230 250 310 270 450 190 220 

Č 0545 St 50-2 300 420 210 230 300 260 420 180 210 

Č 0645 St 60-2 340 470 230 270 340 300 470 210 230 

Č 0745 St 70-2 370 520 260 320 370 340 520 240 260 

Č 1331 C 25 360 500 250 250 360 280 480 190 250 

Č 1531 Ck 45 490 670 340 340 490 370 650 260 340 

Č 1733 C 67 1050 1200 630 300 490 360 600 240 390

Čelici za 

cementiranje** 

Čelični 

lijev 

Sivi 

lijev 

Nodularni 

lijev 

Č 3130 28Mn6 650 900 450 400 650 440 750 300 450 

Č 4830 50CrV4 1200 1390 710 350 560 400 650 260 440 

Č 4733 50CrMo4 900 1250 630 500 860 540 940 370 630 

Č 5432 

30CrNiM 

o8 

1050 1450 730 570 980 600 1040 420 730 

Č 1221 Ck 15 300 420 210 270 300 300 420 180 210 

Č 4120 15Cr3 400 560 280 320 400 350 560 210 280 

Č 4320 16MnCr5 600 840 430 400 600 450 770 270 430 

Č 4321 20MnCr5 700 980 490 540 700 600 980 340 490 

Č 5420 15CrNi6 650 900 450 500 650 550 900 300 450 

Č 5421 18CrNi8 800 1060 550 580 800 650 1060 410 550 

ČL 0300 GS-38 200 250 110 150 190 150 250 85 110 

ČL 0400 GS-45 230 300 130 180 230 180 300 100 130 

ČL 0500 GS-52 260 350 160 210 260 210 350 120 160 

ČL 0600 GS-60 300 400 180 240 300 240 400 140 180 

SL 20 GG-20 - - - 50 80 90 140 80 110 

SL 30 GG-30 - - - 70 110 130 210 100 150 

SL 40 GG-40 - - - 100 160 200 320 170 240 

NL 380 GGG-40 250 350 140 110 180 150 260 95 140 

NL 420 GGG-42 280 400 160 130 220 180 320 100 160 

NL 500 GGG-50 320 500 200 150 250 210 370 130 200 

NL 600 GGG-60 380 600 250 180 300 250 440 150 250 

NL 700 GGG-70 440 700 290 210 360 300 530 170 290 

Napomene: Vrijednosti granica tečenja su za srednje debljine epruveta od 16...40 mm 

* Vrijednosti čvrstoća su za poboljšano stanje 

** Vrijednosti čvrstoća su za kaljeno stanje nakon cementiranja 

Indeks s označava savijanje, indeks t torziju 

dijagramu jest aproksimacija u obliku (Gerberove) parabole između točaka (0, R -1 ) i (R m , R m ) 

(slika1.38a), ali se on ipak najčešće aproksimira pravcem između istih točaka (slika 1.38b), u 

kojem slučaju se taj pravac naziva Goodmanovom linijom. Kod rastezljivih materijala se ova 

linija trajne dinamičke čvrstoće obično ograničava granicom tečenja, jer plastične deformacije 

najčešće nisu dopuštene niti kod dinamičkih naprezanja. Shematizacija Smithovog dijagrama se 

tada najpreciznije provodi prema slici 1.37b, a može se provesti i prema slikama 1.38a do 1.38d.

oj ciklusa 

Slika 1.36: Nastanak Smithovog dijagrama trajne dinamičke čvrstoće 

Treba zapaziti da svaka točka T u koordinatama (σ m , σ max ) Smithovog dijagrama definira 

određeno cikličko naprezanje, slika 1.39a. Naime, uz poznato srednje i maksimalno naprezanje, 

koje definira točka T, poznato je i amplitudno naprezanje σ a = σ max - σ m , te minimalno naprezanje 

σ min = σ m - σ a , pa je ciklus sasvim definiran. Također, svaki pravac povučen kroz ishodište je 

geometrijsko mjesto maksimalnih naprezanja različitih ciklusa jednakog koeficijenta asimetrije r. 

Naime, koeficijent smjera k tog pravca je 

k 

σ 2σ 

2 

σ σ + σ 1+ r 

, (1.96) 

max 

max 

= = = 

m 

max 

min 

σ max [N/mm 2 ] maksimalno naprezanje ciklusa 

σ m [N/mm 2 ] srednje naprezanje ciklusa 

σ min [N/mm 2 ] minimalno naprezanje ciklusa 

r 

koeficijent asimetrije ciklusa radnih naprezanja, r = σ min /σ max 

Odatle slijedi da svaka točka pravca predstavlja ciklus naprezanja jednakog koeficijenta 

asimetrije. Zato se taj pravac označuje s r = const, slika 1.39b. Budući da porastom radnih 

opterećenja strojnih dijelova koeficijent asimetrije ciklusa opterećenja ostaje sačuvan, a ako odziv 

strojnog dijela na ta opterećenja ne sadrži značajnije vibracije, onda i koeficijent asimetrije 

ciklusa naprezanja ostaje sačuvan. Na temelju toga može se ustvrditi da maksimalne vrijednosti 

naprezanja rastu po pravcu r = const. Zbog toga se taj pravac naziva pravcem opterećenja. 

Granično naprezanje tj. dinamička čvrstoća za taj r se također nalazi na tom pravcu. Kako se ona 

nalazi i na gornjoj konturi Smithovog dijagrama, očito je da se trajna dinamička čvrstoća za 

određeni koeficijent asimetrije ciklusa naprezanja određuje kao presjecište pravca opterećenja r = 

const i linije trajne dinamičke čvrstoće R r = f(σ m ), slika 1.39c.

a) 

0,2 

naizmjenično opterećenje 

pulzirajuće opterećenje ( = 0) 

= 0,2 

za vlak i tlak 

za savijanje 

za torziju 

Slika 1.37: Smithov dijagram trajne dinamičke čvrstoće 

a) za različite vrste naprezanja b) konstrukcija Smithovog dijagrama 

za poznate tri karakteristike čvrstoće: R -1 , R 0 i R e 

a) b) 

c) d) 

Slika 1.38: Neki od načina aproksimacije linije trajne dinamičke čvrstoće 

a) Gerberova parabola b) Goodmanova linija c) Goodmanova linija presječena granicom tečenja d) 

pravac pod definiranim kutem ograničen granicom tečenja 

Ako je strojni dio prije početka eksploatacije stroja prednapregnut statičkim naprezanjem σ pr 

(npr. pritezanjem vijčanog spoja, navlačenjem glavine na vratilo, ugradnjom predopružene

opruge, od zaostalih naprezanja od zavarivanja itd.), onda proces njegovog opterećenja ne počinje 

od ishodišta 

max 

m 

T 

t 

1 

r 

2 

r 

max 

=const 

45° 

m 

m 

a) b) 

m 

=1 

R r 

max 

=-1 

r 

=const 

R =R (R ) 

r r m 

=1 

R r 

max 

=-1 

r 

=const 

r 

r 

r 

R -1 

R -1 

R r 

R 

r 

arctg k 

pr 

45° 

45° 

R m 

m 

c) d) 

Slika 1.39: Osnovni principi Smithovog dijagrama 

a) jedna točka - jedno cikličko naprezanje b) pravac kroz ishodište - pravac opterećenja - niz različitih 

cikličkih naprezanja iste asimetrije ciklusa c) dinamička čvrstoća za ciklička naprezanja s koeficijentom 

asimetrije ciklusa r jednaka je ordinati presjecišta pravca opterećenja i linije odgovarajuće dinamičke 

čvrstoće d) u prisustvu statičkog prednaprezanja σ pr ishodište pravca opterećenja je pomaknuto u točku 

(σ pr , σ pr ), dok mu nagib ostaje isti 

dijagrama, već od točke (σ pr , σ pr ) dalje pravcem r= const (Slika 1.39d), koji je pod istim kutem 

arctan 2 (1 + r) 

kao prije. Trajna dinamička čvrstoća za ovaj r je naravno, opet presjecište 

( ( )) 

pravca opterećenja i iste linije trajne dinamičke čvrstoće R r = f(σ m ) Smithovog dijagrama. 

Iz izraza 1.91 slijedi također da je os ordinata pravac opterećenja za r = -1, pravac pod kutem 

arctan2 je pravac opterećenja za r = 0, a simetrala dijagrama (pod kutem od 45 0 ) je pravac po 

kojem rastu statička opterećenja, tj. r = 1 (u svakoj njegovoj točki je maksimalno naprezanje 

jednako srednjem i minimalnom, tj. σ a = 0). 

Budući da je za ovaj opći slučaj opterećenja (uz prisustvo statičkog prednaprezanja) jednadžba 

pravca opterećenja u Smithovom dijagramu 

pr 

R m 

m

2 

σmax 

= σ + ( σ −σ 

1+ 

r 

pr m pr 

m 

) 

, (1.97) 

a jednadžba linije trajne dinamičke čvrstoće za shematizirani Smithov dijagram (tj. za pravac) 

R = R + k σ 

⋅ σ 

(1.98) 

r 

−1 

R r [N/mm 2 ] ordinata linije trajne dinamičke čvrstoća materijala u Smithovom dijagramu 

(trajna dinamička čvrstoća za srednje naprezanje ciklusa σ m ) 

R -1 [N/mm 2 ] trajna dinamička čvrstoća materijala za koeficijent asimetrije ciklusa r = -1 

σ m [N/mm 2 ] srednje naprezanje ciklusa 

k σ 

koeficijent smjera linije trajne dinamičke čvrstoće u Smithovom dijagramu 

k σ = 1 - R -1 /R m za Goodmanovu liniju, slika 1.40b i 1.40c 

k σ = (R m - R 0 )/(R m - R 0 /2) za liniju trajne dinamičke čvrstoće definiranu 

trajnom dinamičkom čvrstoćom R 0 i statičkom čvrstoćom R m 

R 0 [N/mm 2 ] trajna dinamička čvrstoća materijala za koeficijent asimetrije ciklusa r = 0, 

onda ordinata presjecišta ovih dvaju pravaca daje vrijednost trajne dinamičke čvrstoće materijala 

za proizvoljni koeficijent asimetrije ciklusa radnih naprezanja i statičko prednaprezanje σ pr : 

R 

r 

2 1 − r 

= R + 

2− k 1+ r 2− k 1+ 

r 

σ 

−1 

( ) ( ) 

σ 

k σ 

σ 

pr 

(1.99) 

Ipak, u najvećem broju slučajeva strojni dijelovi nisu statički prednapregnuti, pa se izraz 1.99 

znatno pojednostavnjuje, jer nestaje drugi član. 

Na isti način kako se formirao Smithov dijagram za neograničenu trajnost tj. za trajnu dinamičku 

čvrstoću, formira se i za proizvoljnu ograničenu trajnost N. Pri tome najveća vrijednost srednjeg i 

maksimalnog naprezanja ostaje statička čvrstoća, dok se vremenska dinamička čvrstoća za 

trajnost od N ciklusa asimetrije r određuje prema jednadžbi Wöhlerove krivulje 

rN r gr 

( ) 1 m 

R = R N N 

(1.100) 

R rN [N/mm 2 ] dinamička čvrstoća materijala za koeficijent asimetrije ciklusa r i za trajnost od N 

ciklusa 

N gr 

broj ciklusa na prelazu između vremenske i trajne dinamičke čvrstoće 

N 

trajnost u brojevima ciklusa. 

Obično je poznata trajna dinamička čvrstoća R -1 , pa izraz 1.100 prelazi u 

−1N 

−1 

( ) 1 

gr 

m 

R = R N N 

(1.101) 

R -1N [N/mm 2 ] dinamička čvrstoća materijala za koeficijent asimetrije ciklusa r = -1 i za 

trajnost od N ciklusa. 

Linije vremenskih dinamičkih čvrstoća dakle povezuju točke (0, R -1N ) i (R m , R m ) i u stvarnosti tim 

manje odstupaju od pravca što je trajnost manja. Za teoretski najmanju trajnost od N = 1/4 ciklusa 

(statičko opterećenje), ova linija je horizontalni pravac, tj. mjerodavna karakteristika čvrstoće 

postaje statička čvrstoća, slika 1.40. Za proizvoljnu trajnost N, dinamička čvrstoća se dobije na

isti način kao i za neograničenu trajnost: to je ordinata presjecišta istog pravca opterećenja i linije 

vremenske dinamičke čvrstoće 

R 

2 1− 

r 

= R + 

2− k 1+ r 2− k 1+ 

r 

−1 

( ) ( ) 

k σ 

rN N σ pr 

σ 

σ 

(1.102) 

max 

R r 

=-1 

r 

R m 

N=1/4 

=const 

r 

=0 

r 

=1 

r 

max 

R r 

R m 

N =1/4 

=-1 

r 

r =const 

r =0 

=1 

r 

R -1,N 

N=const 

R -1,N 

N=const 

R -1 

N 

N 

R -1 

N 

N 

R 

R 

45° 

45° 

0 

R m 

m 

0 pr 

R m m 

Slika 1.40: Određivanje dinamičke čvrstoće za ograničenu trajnost N materijala izloženog 

cikličkim naprezanjima s koeficijentom asimetrije ciklusa r 

a) u odsustvu statičkog prednaprezanja b) uz statičko prednaprezanje σ pr 

1.1.1.3.1 Dinamička čvrstoća strojnog dijela 

Dinamička čvrstoća strojnog dijela manja je od dinamičke čvrstoće materijala (tj. standardne 

probne epruvete od istog materijala) zbog čitavog niza utjecaja, od kojih su najvažniji oblik 

strojnog dijela, njegove apsolutne dimenzije i kvaliteta njegove površinske obrade. 

1.1.1.3.1.1 Utjecaj oblika - koncentracija naprezanja 

Utjecaj oblika strojnog dijela na njegovu dinamičku čvrstoću svodi se na (ne)ravnomjernost 

rasporeda naprezanja po presjeku. Naime, presjeci strojnih dijelova se mijenjaju, pa se mijenjaju i 

naprezanja u njima. No, ne samo promjena presjeka, nego i svaka druga promjena oblika izaziva 

skok naprezanja na mjestu promjene, tj. prijelaza. U takvim slučajevima, raspodjela naprezanja 

po presjeku bitno se razlikuje od od slučaja tijela konstantnog presjeka, slika 1.41a. Dijagram 

rasporeda naprezanja po presjeku pokazuje nagli porast naprezanja na mjestu prijelaza, utoliko 

izrazitiji, ukoliko je prijelaz nagliji. Ovakva pojava naglih skokova naprezanja na mjestima 

promjene oblika, naziva se koncentracija naprezanja. Koncentracija naprezanja se može 

pojednostavnjeno opisati iskrivljavanjem strujnica sile (silnica - zamišljenih linija po kojima 

djeluje sila) do koje dolazi na mjestu skokovite promjene oblika, tj. na mjestu na kojem postoji 

koncentrator naprezanja - tzv. zarez, slika 1.41b. Zbog toga broj silnica u određenom dijelu 

presjeka kvalitativno ukazuje na veličinu naprezanja. U takvim točkama naprezanja su znatno 

veća od nominalnih naprezanja, izračunatih prema Nauci o čvrstoći.

Faktor koji pokazuje koliko puta je maksimalno naprezanje u određenoj točki tijela iz idealnog 

(elastičnog, izotropnog i homogenog) materijala, veće od nominalnog naprezanja u toj točki, 

naziva se teoretski (geometrijski) faktor koncentracije naprezanja i definira se kao: 

σ 

max 

αk 

= ≥ 1 

(1.103) 

σ 

n 

σ max [N/mm 2 ] najveće naprezanje zbog učinka koncentracije, slika 1.41 

σ n [N/mm 2 ] nominalno naprezanje 

a) b) 

σ 

n 

σn 

σ 

max 

σmax 

σ 

n 

σ 

max 

Slika 1.41: Koncentracija naprezanja 

a) raspodjela naprezanja po presjeku b) tok silnica 

Pri statičkom opterećenju dijelova iz razvlačivih materijala, prilikom dostizanja granice tečenja 

na mjestima koncentracije naprezanja, materijal se na tim mjestima plastično deformira (razvlači) 

bez povećanja opterećenja. To uzrokuje ravnomjerniji raspored naprezanja, tj. efekat 

koncentracije naprezanja se poništi. Običaj je da se koncentracija naprezanja pri statičkim 

opterećenjima uzima u obzir samo kod izrazito krtih materijala, vidi poglavlje 1.8.1.2.1. 

Kod dinamičkih opterećenja, koncentracija naprezanja vodi do smanjenja dinamičke čvrstoće 

strojnih dijelova izrađenih kako od krtih, tako i od razvlačivih materijala. Ovo je uzrokovano 

činjenicom da pri promjenjivom naprezanju efekat poravnanja naprezanja ne može sasvim doći 

do izražaja kao pri statičkom naprezanju. Naime, materijal nema vremena za veće poravnanje 

naprezanja, jer je već u idućem trenutku napregnut mnogo manje, često i naprezanjem suprotnog 

predznaka. Svojstvo materijala da pri promjenjivom naprezanju, lokalnim plastičnim 

deformacijama ipak donekle smanji koncentraciju naprezanja, procjenjuje se faktorom 

osjetljivosti materijala na koncentraciju naprezanja. Očito je da su razvlačivi materijali manje 

osjetljivi na koncentraciju naprezanja negoli krti materijali. U izrazito nehomogenih materijala, 

kao što je sivi lijev, unutrašnji izvori koncentracije (zbog nehomogenosti) u velikoj mjeri 

poništavaju efekte vanjske koncentracije naprezanja (zbog oblika), tako da se dinamička čvrstoća 

dijelova izrađenih od ovakvih materijala malo razlikuje od dinamičke čvrstoće polirane probne 

epruvete iz istog materijala. Kaže se da su takvi materijali malo osjetljivi, ili neosjetljivi na 

koncentraciju naprezanja. 

Faktor osjetljivosti materijala na koncentraciju naprezanja η k definira se omjerom stvarnog 

lokalnog povećanja naprezanja poslije lokalnog razvlačenja, prema lokalnom povećanju 

naprezanja za homogen, izotropan i elastičan materijal, u odnosu na nominalno naprezanje. Ako

je najveće lokalno naprezanje za slučaj idealnog materijala α k·σ n , a za slučaj stvarnog materijala 

β k·σ n , onda je faktor osjetljivosti materijala na koncentraciju naprezanja dan izrazom 

βk 

−1 

ηk 

= 

α −1 

k 

(1.104) 

α k 

teoretski (geometrijski) faktor koncentracije naprezanja 

β 

σ 

ef 

k 

= (1.105) 

σ 

n 

β k 

efektivni (stvarni) faktor koncentracije naprezanja 

σ ef [N/mm 2 ] stvarno (efektivno) naprezanje na mjestu koncentracije naprezanja 

σ n [N/mm 2 ] nominalno naprezanje na mjestu koncentracije naprezanja 

Izraz 1.102 u praksi služi za određivanje stvarne vrijednosti naprezanja na mjestu koncentracije, 

pri čemu se efektivni faktor koncentracije naprezanja procjenjuje prema izrazu izvedenom iz 

izraza 1.101 

( ) 

βk = 1+ ηk αk − 1 

(1.106) 

Ako je materijal neosjetljiv na koncentraciju naprezanja, bit će η k = 0, pa je β k = 1 bez obzira na 

veličinu α k . Za materijale čije su osobine slične osobinama idealnog materijala, je η k = 1, pa je β k 

= α k . U tom slučaju kaže se da je materijal apsolutno osjetljiv na koncentraciju naprezanja. 

Osjetljivost ugljičnih konstrukcijskih čelika na koncentraciju naprezanja kreće se u granicama od 

0,40 do 0,85, legiranih čelika od 0,65 do 0,95, dok je u čelika za opruge od 0,95 do 1,0. U lakih 

metala osjetljivost je od 0,40 do 0,80, u čeličnom lijevu 0,30 do 0,40, dok je kod sivog lijeva, 

zbog opisanih uzroka, ona vrlo mala, i kreće se u granicama od 0,01 do 0,20. Za sve materijale 

važi pravilo da osjetljivost prema koncentraciji naprezanja raste s povećanjem statičke čvrstoće. 

Običaj je da se koncentracija naprezanja ne uzima u obzir kod proračuna naprezanja, već se 

čvrstoća umanji za vrijednost efektivnog faktora koncentracije naprezanja. Zbog toga se kod 

promjenjivih naprezanja efektivni faktor koncentracije naprezanja definira omjerom trajne 

dinamičke čvrstoće materijala i trajne dinamičke čvrstoće modela strojnog dijela, koji ima iste 

dimenzije i istu kvalitetu površinske obrade kao ispitivana probna epruveta. Budući da 

koncentracija naprezanja uglavnom ne utiče na statičku komponentu naprezanja, već samo na 

amplitudu naprezanja, onda se efektivni faktor koncentracije naprezanja najčešće ispituje za čisto 

dinamičko naprezanje, tj. za r = -1. Dakle 

R 

βk 

= ≥ 1 

(1.107) 

R 

−1 

' 

−1D 

R -1 [N/mm 2 ] trajna dinamička čvrstoća probne epruvete 

R' -1D [N/mm 2 ] trajna dinamička čvrstoća modela strojnog dijela. 

U području vremenske dinamičke čvrstoće, u kojem su deformacije pretežno elastično - 

plastične, efektivni faktor koncentracije naprezanja β kN je, slično kao gore, jednak omjeru 

vremenskih dinamičkih čvrstoća epruvete i strojnog dijela. One su ovisne o broju ciklusa, pa je i 

β kN ovisan o broju ciklusa, slika 1.42. Temeljem ove definicije izveden je izraz za njegovo 

određivanje:

R (log) N N gr 

R m 

R q ' 

R -1N 

R -1DN 

1/4 

α t = 1 

αt > 1 

N q 

Slika 1.42: K određivanju efektivnog faktora koncentracije naprezanja 

u području vremenske čvrstoće 

β 

1 1 

− 

m' 

m 

kN 

= βk ( / 

gr 

) 

N (log) 

N N (1.108) 

N 

N gr 

m 

m' 

vijek trajanja strojnog dijela u brojevima ciklusa 

granica između vremenske i trajne dinamičke čvrstoće, u brojevima ciklusa 

nagib Wöhlerove krivulje za standardnu probnu epruvetu 

nagib Wöhlerove krivulje strojnog dijela 

Omjer nagiba Wöhlerovih krivulja je približno 

m' 3 

m 

= 3 + mlog( β / β ) 

k q 

, (1.109) 

dok se efektivni faktor koncentracije naprezanja β q na granici kvazistatičkog loma N q za čelike 

određuje prema empiričkoj formuli 

β = 1 + (0,00038 −0,1)( β −1) 

q 

Rm 

k 

. (1.110) 

R m [N/mm 2 ] statička čvrstoća materijala 

β k 

efektivni faktor koncentracije naprezanja u elastičnom području (za trajnu 

dinamičku čvrstoću) 

Za približne proračune u fazi projektiranja može se upotrijebiti i jednostavna, ali približna 

formula, dobivena na aproksimaciji da je β q = 1, a N q = 10 3 : 

β 

kN 

1 

k 

k 

log β 

3 

= N 

(1.108a) 

β 

1.1.1.3.1.2 Utjecaj apsolutnih dimenzija

S povećanjem apsolutnih dimenzija strojnih dijelova njihova čvrstoća se smanjuje. Uzrok tome 

jest što je u većem volumenu veća vjerojatnost nehomogenosti, te grešaka u materijalu i obradi, a 

time je i veća vjerojatnost nastanka i širenja pukotine. Ovo se naročito odnosi na dinamička 

opterećenja, kod kojih se negativan utjecaj povećanih dimenzija na čvrstoću strojnog dijela 

procjenjuje faktorom dimenzija b 1 . Ovaj je stvarno jednak omjeru dinamičkih čvrstoća strojnog 

dijela i modela strojnog dijela s dimenzijom u kritičnom presjeku jednakoj dimenziji standardne 

probne epruvete, ali ga se redovito aproksimira kao omjer dinamičkih čvrstoća epruvete s 

dimenzijom jednakoj dimenziji strojnog dijela, i standardne probne epruvete: 

R 

−1d 

1 

= ≤ 

R− 

1 

b 

1 

(1.111) 

R -1d [N/mm 2 ] trajna dinamička čvrstoća za r = -1 probne epruvete promjera d 

R -1 [N/mm 2 ] trajna dinamička čvrstoća za r = -1 standardne probne epruvete promjera 7 mm. 

Razumljivo, i faktor dimenzija je različit za različite vrste naprezanja, kao i za različite 

materijale. Ipak, za približne proračune, njegova vrijednost se može orijentacijski odrediti prema 

tabeli 1.9 za čelične strojne djelove proizvoljno opterećene. 

Tabela 1.9: Ovisnost faktora dimenzija o promjeru strojnih dijelova 

Promjer 

[mm] 

Faktor apsolutnih dimenzija 

b 1 

7 1,0 

10 0,95…0,98 

15 0,90…0,95 

25 0,80…0,90 

50 0,70…0,80 

100 0,63…0,70 

300 i više 0,55…0,61 

Napomena: Manje vrijednosti vrijede za legirane čelike, 

veće za ugljične konstrukcijske čelike. 

Utjecaj dužine na dinamičku čvrstoću još nije dovoljno proučen, iako su uzroci jednaki kao i kod 

povećanja promjera. Neka ispitivanja su pokazala da se povećanjem dužine strojnih elemenata 

nijhova dinamička čvrstoća smanjuje za najviše 15...20%, ovisno o vrsti čelika i načinu njegove 

mehaničke i termičke obrade. 

1.1.1.3.1.3 Utjecaj kvalitete površine 

Utjecaj stanja površine strojnog dijela na njegovu dinamičku čvrstoću vrlo je značajan, jer 

inicijalna pukotina redovito nastaje na površini i to zbog slijedećih razloga: 

• 

• 

• 

• 

Koncentracija naprezanja je redovito na površini 

Površinske mikroneravnine i lokalne plastične deformacije nastale u procesu obrade 

uzrokuju lokalne koncentracije naprezanja 

Utjecaj vanjske sredine je najveći na površinske slojeve 

Nominalna naprezanja su najveća na površinama strojnih dijelova. 

Smanjenje dinamičke čvrstoće strojnih dijelova zbog navedenih upliva obuhvaćeno je faktorom 

kvalitete površine strojnog dijela b 2 , koji je definiran omjerom trajne dinamičke čvrstoće 

izvjesnog strojnog dijela i trajne dinamičke čvrstoće istog strojnog dijela, ali polirane površine.

Slično kao ranije, ovaj se faktor aproksimira omjerom dinamičkih čvrstoća epruvete obrađene 

kao predmetni strojni dio i polirane probne epruvete: 

b 

2 

' 

R− 

1 

= (1.112) 

R 

−1 

b 2 faktor kvalitete površine, tabela 1.10 

R -1 ' [N/mm 2 ] trajna dinamička čvrstoća epruvete proizvoljne površinske 

obrade pri r = -1 

R -1 [N/mm 2 ] trajna dinamička čvrstoća materijala pri r = -1 

Vrijednosti faktora kvalitete površine date su u tabeli 1.10. 

Tabela 1.10: 

Hrapavost 

površine 

R z 

[µm] 

Orijentacijske vrijednosti faktora kvalitete površine 

R Vlačna čvrstoća materijala osovine ili vratila R m u [N/mm 2 a 

] 

[µm] 300 400 500 600 800 1000 1200 1500 

0,8 0,2 1 1 1 1 1 1 1 1 

1,6 0,4 0,99 0,98 0,97 0,97 0,96 0,96 0,96 0,96 

3,2 0,8 0,98 0,97 0,96 0,95 0,94 0,94 0,94 0,94 

6,3 1,6 0,97 0,96 0,95 0,93 0,91 0,89 0,88 0,88 

10 2,5 0,95 0,93 0,90 0,88 0,84 0,81 0,79 0,78 

40 10 0,94 0,90 0,85 0,82 0,75 0,70 0,67 0,65 

160 40 0,91 0,86 0,80 0,76 0,69 0,63 0,57 0,50 

R a srednje aritmetičko odstupanje profila 

R z srednja visina neravnina 

Znatno povećanje vrijednosti ovog faktora, a time i dinamičke čvrstoće strojnog dijela, postiže se 

naknadnom posebnom mehaničkom obradom tj. površinskim očvršćenjem tlačnim plastičnim 

deformacijama (kugličenje, pjeskarenje, valjanje kotačićem i sl.). Sličan efekat očvršćavanja 

dobiva se svakom vrstom plastičnog oblikovanja (valjanje, kovanje, provlačenje itd.), nakon koje 

uvijek ostaju tlačna naprezanja na površini. Toplinskom i toplinsko-kemijskom obradom 

(kaljenje, cementiranje, nitriranje, cijaniranje itd.) moguće je postići i 100% povećanje dinamičke 

čvrstoće (b 2 = 2). 

b 2 

1.1.1.3.1.4 Određivanje dinamičke čvrstoće strojnog dijela i stupnja sigurnosti 

Opisana tri osnovna utjecaja na dinamičku čvrstoću strojnog dijela kvantificiraju smanjenje trajne 

dinamičke čvrstoće strojnog dijela u odnosu prema trajnoj dinamičkoj čvrstoći materijala. Svi ovi 

utjecaji računaju se za čisto dinamičko naprezanje (bez statičke komponente), tj. za r = -1. To 

znači da je trajna dinamička čvrstoća strojnog dijela napregnutog cikličkim naprezanjem s 

koeficijentom asimetrije r = -1, jednaka 

b ⋅b 

R = b ⋅ R = R (1.113) 

1 2 

−1D D −1 −1 

β k

R -1D [N/mm 2 ] trajna dinamička čvrstoća epruvete proizvoljne površinske obrade, pri r = -1 

R -1 [N/mm 2 ] trajna dinamička čvrstoća materijala pri r = -1, tabela 1.9 

b ⋅b 

b = 

(1.114) 

D 

1 2 

β k 

b D 

b 1 

b 2 

β k 

zbirni faktor dinamičkih utjecaja 

faktor dimenzija 

faktor kvalitete površine 

efektivni faktor koncentracije naprezanja u elastičnom području (za trajnu 

dinamičku čvrstoću). 

Smatra se da od početne točke σ m = 0, pa do krajnje točke σ m = R m Smithovog dijagrama, tj. od 

čisto dinamičkog do čisto statičkog naprezanja, zbirni faktor dinamičkih utjecaja raste linearno od 

vrijednosti b D do vrijednosti 1. Zbog toga se za liniju trajne dinamičke čvrstoće u Smithovom 

dijagramu može uzeti Goodmanova linija definirana svojim krajnjim točkama (0, R -1D ) i (R m , R m ), 

slika 1.38. Njezina jednadžba je 

R = b R + k σ 

σ m 

(1.115) 

r D D −1D 

R rD [N/mm 2 ] trajna dinamička čvrstoća strojnog dijela za proizvoljnu asimetriju ciklusa r 

R -1D [N/mm 2 ] trajna dinamička čvrstoća strojnog dijela za asimetriju ciklusa r = -1, izraz 1.113 

k σ 

koeficijent smjera linije dinamičke čvrstoće strojnog dijela za trajnost N 

k σ = 1 - R -1D /R m za Goodmanovu liniju prema slikama 1.38b i 1.38c 

σ m [N/mm 2 ] srednje naprezanje ciklusa trajne dinamičke čvrstoće 

Ordinata presjecišta ove linije trajne dinamičke čvrstoće s pravcem opterećenja (izraz 1.98) za 

opći slučaj prednapregnutog strojnog dijela je trajna dinamička čvrstoća strojnog dijela 

napregnutog ciklički promjenjivim naprezanjima s koeficijentom asimetrije ciklusa r : 

R 

2 1 − r 

= b R + 

2− k 1+ r 2− k 1+ 

r 

− 

( ) ( ) 

r D D 1 

σ 

σ 

k σ 

σ 

pr 

(1.116) 

R rD [N/mm 2 ] trajna dinamička čvrstoća strojnog dijela za proizvoljnu asimetriju ciklusa r 

dijagramu, k σ = 1 - R -1D /R m za Goodmanovu liniju, slika 1.38b i 1.38c 

σ pr [N/mm 2 ] statičko prednaprezanje 

Za čvrstoću strojnog dijela važna je i amplituda graničnog naprezanja na nivou dinamičke 

čvrstoće - tzv. amplituda dinamičke čvrstoće R A . Ona je jednaka razlici dinamičke čvrstoće i 

srednjeg naprezanja. Lako se dobije izraz 

R 

A 

1− 

r 

= ⎡bDR−1 

− − 

2− k 1+ 

⎣ 

σ 

( r) 

( 1 k ) 

σ 

σ 

pr 

⎤⎦ 

(1.117) 

Na sličan način se dobije i izraz za dinamičku čvrstoću pri asimetriji ciklusa r za vijek trajanja N 

ciklusa: 

R 

2 1− 

r 

= R + 

2− k 1+ r 2− k 1+ 

r 

−1D 

( ) ( ) 

k σ 

rDN N σ pr 

σ 

σ 

(1.116a)

R rDN [N/mm 2 ] dinamička čvrstoća strojnog dijela pri asimetriji ciklusa r za vijek trajanja N 

ciklusa 

k σ 

koeficijent smjera linije trajne dinamičke čvrstoće strojnog dijela u Smithovom 

dijagramu, k σ = 1 - R -1DN /R m za Goodmanovu liniju, slika 1.38b i 1.38c 

R = b ⋅ R 

(1.118) 

−1DN 

D −1N 

R -1DN [N/mm 2 ] dinamička čvrstoća strojnog dijela pri asimetriji ciklusa r = -1 za vijek trajanja N 

ciklusa 

R -1N [N/mm 2 ] dinamička čvrstoća materijala pri r = -1 za vijek trajanja N ciklusa 

b 

b 

⋅ b 

1 2 

D 

= (1.114a) 

βkN 

b D 

zbirni faktor dinamičkih utjecaja u području vremenske čvrstoće 

b 1 faktor dimenzija, tabela 1.9 


β kN 

efektivni faktor koncentracije naprezanja u području vremenske čvrstoće, izraz 

1.105. 

Za poznato maksimalno naprezanje ciklusa σ max pri određenom faktoru asimetrije ciklusa r 

naprezanja proizišlih iz pogonskog opterećenja, a uz statičko prednaprezanje σ pr , odgovarajuća 

dinamička čvrstoća R -1DN strojnog dijela dobije se uvrštenjem srednjeg naprezanja σ m = 0 u 

jednadžbu (Goodmanove) linije dinamičke čvrstoće strojnog dijela za trajnost N. Ova je pak 

⎛1 definirana dvjema točkama kroz koje prolazi: točkom + r 1 r 

σ − ⎞ 

⎜ max 

+ σ 

pr 

, σmax 

⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ , dobivenoj 

određivanjem srednjeg naprezanja σ m graničnog ciklusa (na nivou dinamičke čvrstoće) iz 

jednadžbu pravca opterećenja (izraz 1.111), te točkom (R m , R m ): 

R 

−1DN 

( 1 r) 

= − 

m 

σ 

max 

−σ 

( ) σ ( ) 

2R − 1+ r − 1−r 

σ 

max 

pr 

pr 

R 

m 

(1.119) 

Sada se iz jednadžbe Wöhlerove krivulje strojnog dijela 

R ⋅ N = R ⋅ N 

(1.120) 

m' 

m' 

−1DN 

−1D 

gr 

R -1D [N/mm 2 ] trajna dinamička čvrstoća strojnog dijela pri asimetriji ciklusa r = -1 

N 

vijek trajanja strojnog dijela, u ciklusima 

N gr 

broj ciklusa na granici vremenske i trajne dinamičke čvrstoće strojnog 

dijela,, N gr @ 10 7 za čelike 

m' nagib Wöhlerove krivulje strojnog dijela, izraz 1.115. 

uz uvrštenje izraza 1.119, lako nalazi izraz za određivanje vijeka njegovog trajanja za poznate 

vrijednosti naprezanja σ max i σ pr i asimetrije ciklusa r : 

N 

( ) σ ( ) 

⎡2R − 1+ r − 1−r σ b ⋅ R 

m max pr D −1 

= Ngr 

⎢ ⎥ 

Rm 

⎢⎣ 

( 1−r)( σmax 

−σ 

pr ) 

⎤ 

⎥⎦ 

m' 

(1.121) 

N 

vijek trajanja strojnog dijela napregnutog cikličkim naprezanjima s koeficijentom 

asimetrije r i prednapregnutog statičkim prednprezanjem σ pr

N gr broj ciklusa na granici vremenske i trajne dinamičke čvrstoće strojnog dijela, 

N gr @ 10 7 za čelike 


Najveći dio strojnih dijelova nije statički prednapregnut, pa se izraz 1.121 pojednostavnjuje: 

N 

( ) 

( 1− 

r) 

σ 

⎡2R − 1+ r σ b ⋅ R 

= N ⎢ 

⎤ 

m' 

m max D −1 

gr 

⎣ max 

R 

⎥ (1.21a) 

m ⎦ 

Stupanj sigurnosti ν strojnog dijela izloženog dijelovanju vremenski promjenjivih naprezanja 

jednak je, shodno izrazu (1.69) ili (1.75), omjeru njihove dinamičke čvrstoće i maksimalnog 

(ekvivalentnog) naprezanja ciklusa: 

ν 

R 

rD 

= ≥ ν 

potr 

(1.122) 

σ 

max 

R rD [N/mm 2 ] dinamička čvrstoća strojnog dijela za proizvoljnu asimetriju ciklusa r 

σ max [N/mm 2 ] maksimalno naprezanje ciklusa 

n potr 

potrebni stupanj sigurnosti. 

No, ako plastična deformacija strojnog dijela nije dopuštena, onda uvjet čvrstoće (1.122) može 

biti ispunjen, ali do neželjene plastične deformacije će ipak doći, ako je naprezanje veće od 

granice tečenja. Zato je uvjet čvrstoće strojnih dijelova kod vremenski promjenjivih naprezanja 

ν 

( R R ) 

min , 

rD 

e 

= ≥ ν 

potr 

(1.123) 

σ 

max 

min 

funkcija minimuma, označava najmanju od vrijednosti navedenih u 

zagradi 

R rD [N/mm 2 ] dinamička čvrstoća strojnog dijela za proizvoljnu asimetriju ciklusa r 

R e [N/mm 2 ] granica tečenja. 

Ponekad se čvrstoća dinamički napregnutih strojnih dijelova kontrolira računanjem stupnja 

sigurnosti prema amplitudi naprezanja. Naime, do loma zbog zamora materijala će doći i kada 

amplituda naprezanja σ a postane veća od amplitude dinamičke čvrstoće R A . Dakle, amplitudni 

stupanj sigurnosti treba biti 

R 

= ≥ (1.124) 

A 

ν 

a 

ν a , potr 

σ 

a 

n a,potr 

potrebni amplitudni stupanj sigurnosti. 

Ovdje treba napomenuti da je u uvjet čvrstoće (1.124) potrebno uvrstiti vrijednost amplitude 

dinamičke čvrstoće izračunate isključivo prema izrazu (1.117), tj. za stvarni koeficijent asimetrije 

ciklusa. Računanje s amplitudom R A dobivenoj ispitivanjima s nekom drugom asimetrijom 

ciklusa (najčešće r = -1, ili npr. kod vijaka r = 0) vodi do ozbiljne pogreške, koja može imati 

katastrofalne posljedice.

Niti ispravna primjena izraza (1.124) nije dovoljna s gledišta čvrstoće. Naime, ako nisu dopuštene 

plastične deformacije, potrebno je provjeriti još i stupanj sigurnsti prema granici tečenja: 

R 

= ≥ (1.125) 

e 

ν 

T 

ν Tpotr 

σ 

max 

Najnovija ispitivanja u području pogonske čvrstoće srušila su jedan od stupova temeljaca na 

kojemu su ležali proračuni čvrstoće u posljednjih stotinjak godina: trajna dinamička čvrstoća ne 

postoji ni za jedan materijal, uključivši čelike! Pri tome, izgled Wöhlerove krivulje u 

8 

logaritamskim koordinatama ostaje nepromijenjen sve do blizu 10 ciklusa (za čelike), ali tada 

ponovno počinje padati pod nešto manjim nagibom nego što je u području "a" (primarne) 

vremenske čvrstoće, slika 1.43. 

Ipak, rijetki su dijelovi strojeva i konstrukcija, koji u konačnom vijeku trajanja mogu dostići npr. 

10 8 ciklusa. Zbog toga, znanstvena činjenica da trajna dinamička čvrstoća ne postoji, ne utjeće 

bitno na dosadašnje, ovdje prikazane metode proračuna čvrstoće i vijeka trajanja strojnih 

dijelova. Naravno, ovo se ne odnosi na djelove visokofrekventnih (ultra brzohodnih) strojeva, kao 

što su plinske turbine, čija frekvencija vrtnje iznosi i preko 10 5 okretaja u minuti, pa se 10 8 

ciklusa može dostići za pedesetak sati pogona. 

Amplituda naprezanja 

a 

b 

c 

10 4 5 

6 

10 10 10 10 

Broj ciklusa do loma 

7 

8 

10 

10 

Slika 1.43: Shematski izgled Wöhlerove krivulje za čelik Č 4732 u visokocikličkom i 

gigacikličkom području (iznad 10 8 ciklusa) 

cikličkim naprezanjima promjenjive amplitude, koja ostaje konstantna kroz n i ciklusa, slika 1.45, 

doći će do loma uslijed zamora kada se ispuni uvjet 

ni 

D = ≥ D ≅1 

N 

∑ ∑ (1.126) 

i 

i i i 

D i 

zamorno oštećenje od n i ciklusa na nivou maksimalnog naprezanja σ i 

n i 

broj ciklusa na nivou maksimalnog naprezanja σ i 

N i broj ciklusa do loma na nivou maksimalnog naprezanja σ i , 

jednadžba Wöhlerove krivulje, izraz 1.96. 

D 

ukupno oštećenje uslijed zamora materijala, empirička konstanta. 

D = 0,3...3,0; izvorno prema Mineru D = 1,0.

Ako se jednadžbu (1.126) podijeli s vijekom trajanja N strojnog dijela u ciklusima, dobije se 

jednostavan izraz za računanje vijeka trajanja: 

D 

N = (1.127) 

α ∑ 

i 

N 

D ukupno oštećenje uslijed zamora materijala, izraz 1.126 

α i 

udio broja ciklusa na i-tom nivou naprezanja prema ukupnom broju ciklusa, 

frekvencija pojavljivanja i-tog naprezanja, α i = n i /Σn i . U trenutku loma je 

α i = n i /ΣN i =n i /N. 

i 

( ) m' 

i gr D i 

i 

N = N R σ 

(1.95a) 

N i 

broj ciklusa do loma na i-tom nivou maksimalnog naprezanja 

N gr 

broj ciklusa na granici vremenske i trajne dinamičke čvrstoće 

R D [N/mm 2 ] trajna dinamička čvrstoća strojnog dijela 

σ i [N/mm 2 ] maksimalno naprezanje i-tog nivoa 


Uvrštavajući izraz 1.92a u izraz 1.124, dobije se poznati izraz za procjenu vijeka trajanja strojnog 

dijela izloženog dijelovanju cikličkih naprezanja diskretno promjenjive amplitude: 

a) 

b) 

c) 

d) 

vrijeme 

Slika 1.44: Neke karakteristične povijesti naprezanja (opterećenja) 

a) normalna naprezanja automobilskog točka b) pritisak u naftnom cjevovodu 

c) moment savijanja u vratilu točka automobila (poluosovina) 

d) vertikalna akceleracija transportnog zrakoplova

Slika 1.45: Definiranje parametara čvrstoće kod cikličkih naprezanja promjenjive amplitude 

( ) m' 

N = D⋅N ⋅ R σ 

(1.128) 

gr D e 

N gr 

broj ciklusa na granici vremenske i trajne dinamičke čvrstoće 

R D [N/mm 2 ] trajna dinamička čvrstoća strojnog dijela 

1 

m' 

m' 

σ ⎛ ⎞ 

e 

= ⎜∑αi ⋅σi 

⎟ (1.129) 

⎝ i ⎠ 

σ e [N/mm 2 ] ekvivalentno naprezanje konstantne amplitude, koje uzrokuje isti nivo 

oštećenja tj. isti vijek trajanja strojnog dijela, kao sva djelujuća naprezanja σ i 

zajedno 

α i 

udio broja ciklusa na i-tom nivou naprezanja prema ukupnom broju ciklusa, 

frekvencija pojavljivanja i-tog naprezanja 

σ i [N/mm 2 ] maksimalno naprezanje i-tog nivoa 


Stupanj sigurnosti protiv loma strojnog dijela zbog zamora pri vijeku trajanja N se računa prema 

izrazu: 

ν 

R 

DN 

= ≥ ν 

potr 

(1.130) 

σ 

e 

R DN [N/mm 2 ] dinamička čvrstoća strojnog dijela za vijek trajanja N, izraz 1.95 

σ e [N/mm 2 ] ekvivalentno naprezanje konstantne amplitude 

ν potr 

potrebni stupanj sigurnosti 

Za neograničenu trajnost je stupanj sigurnosti: 

ν 

R 

D 

= ≥ ν 

potr 

(1.131) 

σ 

e

pri čemu treba biti ispunjen i uvjet max(σ i ) ≤ R D . 

Kod cikličkih naprezanja s kontinuirano promjenjivim amplitudama, kao što su slučajna 

naprezanja (slika 1.44), pomoću razrađenih metoda (kao što je npr. tzv. metoda kišnih kapi), 

formiraju se spektri naprezanja. To su krivulje koje prikazuju relativne vrijednosti naprezanja, ili 

češće, relativne vrijednosti amplitude naprezanja poredane po veličini, u ovisnosti o broju 

doživljenih ciklusa. Ako se na apcisi nanesu relativne vrijednosti broja ciklusa, one predstavljaju 

kumulativnu frekvenciju pojavljivanja amplitude naprezanja određene veličine. Uočeno je da 

svakoj vrsti slučajnih opterećenja pripada sličan, karakterističan spektar. DIN 15018 i ISO 4301/1 

su standardizirali neke karakteristične spektre naprezanja, slika 1.46. Za te i druge karakteristične 

spektre naprezanja provode se ispitivanja na zamor, metodologijom istom kao za Wöhlerovu 

krivulju. Dobivena krivulja naziva se krivuljom zamaranja ili krivuljom vijeka trajanja, a za isti 

strojni dio paralelna je Wöhlerovoj krivulji, tj. nagib m im je isti. Na slici 1.47 shematski su 

prikazana tri karakteristična spektra naprezanja sa pripadajućim povijestima naprezanja, te 

krivulje vijeka trajanja za svakog od njih. Može se uočiti da strojni dio izložen cikličkim 

opterećenjima s amplitudom koja se mijenja po stacionarno slučajnoj raspodjeli (Gaussovoj) ima 

vijek trajanja oko 250 puta veći od vijeka trajanja istog strojnog dijela izloženog opterećenju 

konstantne amplitude, a deset puta manji od vijeka trajanja pri kvazi-stacionarnoj (log-normalnoj) 

raspodjeli opterećenja. 

s 

s 

a 

b 

3/3 

s 

c 

s 

d 

2/3 

1/3 

0/3 

0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 

log /log 10 6 

Slika 1.46: Standardni spektri naprezanja prema DIN 15018 i ISO 4301/1

Povijest 

naprezanja 

Spektri 

naprezanja 

a 

m 

a 

a 

a b c 

m 

m 

N 0 

N 0 

N 0 

Amplituda naprezanja a 

1 

a 

b 

c 

10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 

Broj ciklusa N 0 

Slika 1.47: Krivulje vijeka trajanja za tri karakteristična spektra naprezanja 

a) puni spektar (konstantna amplituda) b) spektar za raspodjelu naprezanja prema Gaussovom 

slučajnom procesu c) spektar za kvazi-stacionarnu (log-normalnu) raspodjelu naprezanja 

Kod proračuna čvrstoće ili procjene vijeka trajanja, projektantu preostaje formirati (na osnovi 

mjerenja ili pretpostavke temeljene na iskustvu) spektar naprezanja za dio stroja ili konstrukcije 

koju projektira, svesti ga na bezdimenzionalni oblik standardnog spektra, te ga svrstati u područje 

nekog od spektara za kojeg ima krivulju vijeka trajanja. Drugi način je spektar diskretizirati na 

određeni broj područja s n i ciklusa određenog konstantnog nivoa naprezanja (ili amplitude) σ i , pa 

računati prema izrazima za diskretno promjenjivu amplitudu. 

Vijek trajanja N A strojnog dijela za poznati spektar naprezanja A može se dobro ocijeniti, ako se 

poznaje vijek trajanja N S istog strojnog dijela izloženog spektru S: 

N 

A 

= N 

S 

∑ 

i 

∑ 

i 

( n / N ) 

i 

( n / N ) 

i 

i 

i 

S 

A 

(1.132) 

n i 

broj ciklusa na nivou maksimalnog naprezanja σ i 

N i broj ciklusa do loma na nivou maksimalnog naprezanja σ i . 

Konačno, preostaje naravno, još jedan način za određivanje ili procjenu vijeka trajanja ili 

dinamičke čvrstoće spektralno opterećenih strojnih dijelova: složena, skupa i dugotrajna 

provedba testiranja na zamor modela strojnog dijela, ili barem epruvete iz istog materijala.

1.8.1.3.4. Čvrstoća i trajnost strojnih dijelova u niskocikličkom području 

U području niskocikličkog zamora (N < 10 4 ciklusa), promjenjive elastično-plastične deformacije, 

a ne naprezanja, su one koje određuju integritet (nenarušenu funkcionalnost) strojnih dijelova. 

Zbog toga se glede čvrstoće provode dva tipa testiranja: testiranje za dobivanje dijagrama 

ovisnosti cikličkog naprezanja o cikličkoj deformaciji, te testiranje na zamor istih standardnih 

epruveta kao za dobivanje Wöhlerove krivulje, ali se sada pored broja ciklusa i naprezanja, mjeri 

i deformacija. 

Potrebno je napomenuti da u prisustvu plastičnih deformacija samo računanje sa stvarnim 

vrijednostima naprezanja i deformacija σ* i ε* može dati vjerodostojnost proračunima u kojima 

su oni sadržani, naročito u području u kojem su plastične deformacije veće od elastičnih (otprilike 

N < 10 2 do 10 5 ciklusa): 

= σ ( +ε ) ε* ln( 1 ε ) 

σ * 1 

ε 

konvencionalna vrijednost relativne deformacije 

σ [N/mm 2 ] konvencionalna vrijednost naprezanja. 

= + (1.133) 

U oba spomenuta slučaja testiranja, epruvete se izlažu cikličkom opterećenju (s kontroliranim 

deformacijama ili naprezanjima), koje u nekoliko desetaka (ili stotina) prvih ciklusa izaziva 

gomilanje plastičnih deformacija (slika 1.48a). Nakon toga se petlja histereze stabilizira i poprimi 

izgled kao na slici 1.48b. Maksimalne vrijednosti amplitude naprezanja i amplitude ukupne 

deformacije stabilizirane petlje histereze predstavljaju jednu točku cikličke krivulje deformacija - 

naprezanje, slika 1.49, iz kojeg je vidljivo da nju ustvari tvori skup vrhova petlji histereze pri 

različitim nivoima opterećenja. Jednadžba ove krivulje je 

ε * 

a 

σ * 

a ⎛σ 

* 

a ⎞ 

= + ⎜ ⎟ 

E ⎝ K' 

⎠ 

1 

n' 

(1.134) 

ε* a amplituda ukupne stvarne deformacije 

σ* a [N/mm 2 ] amplituda stvarnog naprezanja 


K' [N/mm 2 ] koeficijent dinamičke čvrstoće, konstanta materijala 

n' 

eksponent cikličkog očvršćavanja, konstanta materijala. 

a) 

b) 

Slika 1.48: Petlja histereze kod cikličkog opterećenja 

a) gomilanje plastičnih deformacija u prvim ciklusima b) stabilizirana petlja histereze

Slika 1.49: Nastanak dijagrama cikličkih deformacija 

* 

c 

a 

b 

arctan 

Slika 1.50: Krivulja cikličkih deformacija 

a) krivulja (statičkih) rastezanja b) krivulja deformacija za ciklički oslabljen materijal 

c) krivulja deformacija za ciklički očvršćen materijal 

U većem dijelu elastičnog područja krivulja cikličkih deformacija se podudara s krivuljom 

rastezanja (statičkom), dok je u elastično - plastičnom području smještena ispod ili iznad statičke 

krivulje ε* a - σ* a , slika 1.50. U prvom slučaju kaže se da je materijal ciklički oslabljen, a u 

drugom, da je materijal ciklički očvršćen. 

* 

1.8.1.3.4.1 Veza između cikličkih deformacija i vijeka trajanja 

Kod ispitivanja na zamor opterećivanje epruvete se nastavlja sve do njezinog loma, pri čemu se 

izmjeri broj ciklusa, dok se veličine elastičnih i plastičnih deformacija iščitaju iz iste, prije 

spomenute stabilizirane petlje histereze. Rezultati se prikazuju, slično kao kod Wöhlerove 

krivulje, u logaritamskim koordinatama deformacija i broja ciklusa do loma, slika 1.51. Kao što 

se vidi na slici, obično se krivulje za elastičnu i plastičnu deformaciju ucrtavaju posebno, a 

rezultantna krivulja je zbroj ovih dviju, poznata pod imenom Manson-Coffinova jednadžba: 

σ ' 

* * * 

f b 

c 

εa = εa, el 

+ εa, 

pl 

= N + ε' 

f⋅ N 

(1.135) 

E 

ε* a amplituda ukupne stvarne deformacije 

ε* a,el amplituda stvarne elastične deformacije 

ε* a,pl amplituda stvarne plastične deformacije

σ' f [N/mm 2 ] koeficijent dinamičke čvrstoće: ona vrijednost stvarnog naprezanja, 

koja odgovara statičkom lomu (N = 1/4), konstanta materijala. Treba 

primijetiti da krivulja elastičnih deformacija počinje s tom vrijednošću 


N 

broj ciklusa do loma 

ε' f 

koeficijent deformabilnosti pri zamaranju: ona stvarna deformacija, koja 

odgovara statičkom lomu, konstanta materijala 

b 

nagib krivulje elastičnih deformacija, konstanta materijala 

c 

nagib krivulje plastičnih deformacija, konstanta materijala. 

Ovaj izraz je osnova deformacijskog pristupa problemu zamora materijala, potvrđen je mnogim 

eksperimentima, a vrijedi za čitav raspon vijeka trajanja tj. za 1/4 ≤ N ≤ N gr . On omogućava 

izračun granične deformacije za određeni vijek trajanja strojnog dijela, ili vijek trajanja za 

određenu razinu deformacije pri koeficijentu asimetrije ciklusa r = -1. U području broja ciklusa 

za kojega je ε a,el < ε a,pl , dovoljno je za približne proračune računati samo s njegovim drugim 

članom, dok je za ε a,pl < ε a,el dovoljno računati samo sa prvim članom i sa konvencionalnim 

naprezanjima i deformacijama. Granica između ova dva područja (prelazna točka T na slici 1.51) 

ovisi o materijalu strojnog dijela, linearno opada s tvrdoćom i za čelike se kreće u granicama N T 

= 10 2 ...10 5 . 

Sličan izraz za računanje granične amplitude deformacije ili vijeka trajanja pri različitim 

vrijednostima srednjeg naprezanja, tj. za različite asimetrije ciklusa naprezanja, izveden je u 

novije doba i potvrđen eksperimentalno: 

σ ' 

f 

−kσ ' ⎛ 

m 

σ ' 

f 

−kσ 

' ⎞ 

b 

m c 

ε * 

a 

= N + ε' 

f⋅⎜ ⋅ N 

(1.136) 

E 

⎜ σ ' ⎟ 

⎝ f ⎠ 

k koeficijent osjetljivosti na srednje naprezanje, k = 1,0...1,5 

σ' m [N/mm 2 ] korigirana vrijednost od σ' f , tj. ona vrijednost stvarnog naprezanja, koja u 

Smithovom dijagramu za stvarna naprezanja zamjenjuje statičku čvrstoću, σ' m 

=σ' f / k 

n' 

eksponent cikličkog očvršćavanja, konstanta materijala. 

1 

n' 

amplituda deformacije 

10 

10 

10 

-3 

10 

0 

-1 

-2 

-4 

10 

2 3 4 5 6 

1/4 10 10 10 10 10 10 1 

broj ciklusa 

Slika 1.51: Dijagram graničnih deformacija kod ispitivanja na zamor čelika ... 

T 

0 7

Iz izraza 1.135 i 1.136 moguće je odrediti vijek trajanja izražen u brojevima ciklusa N za poznatu, 

graničnu vrijednost ukupne deformacije ε* a . 

Važno je znati da nije potrebno poznavati vrijednost svih šest konstanti materijala (σ' f , ε' f , b, c, n' i 

K'), koje se javljaju u izrazima 1.134 do 1.136, već samo četiri, jer su one međusobno vezane 

relacijama: 

σ ' 

f 

K ' = (1.137) 

n 

( ε ' ) ' 

f 

b 

c = (1.138) 

n' 

1.8.1.3.4.2 Faktor koncentracije deformacija 

Izrazi 1.135 i 1.136 za proračun čvrstoće i vijeka trajanja u niskocikličnom području vrijede samo 

za standardnu probnu epruvetu. Da bi vrijedili i za strojne djelove, potrebno je računati sa 

vrijednostima maksimalnih amplituda stvarnih deformacija na mjestima skokovite promjene 

oblika, koje se računaju slično kao i amplitude maksimalnih naprezanja, tj. množenjem 

nominalnih vrijednosti deformacija s faktorom koncentracije cikličkih deformacija β ε : 

* 

ε 

a,max 

βε 

= ≥ 1 

(1.139) 

ε 

a n 

ε * a,max 

ε a,n 

maksimalna vrijednost amplitude stvarne deformacije na mjestu koncentracije 

nominalna vrijednost amplitude deformacije 

Budući da je prema Neuberovom pravilu 

β ⋅ β = α 

(1.140) 

ε 

k 

2 

k 

β ε 

ciklički faktor koncentracije deformacija 

β 

σ * 

a,max 

k 

= ≥ 1 

(1.141) 

σ 

an , 

β k 

efektivni faktor koncentracije naprezanja 

α k 

teoretski faktor koncentracije naprezanja 

σ * a,max [N/mm 2 ] maksimalna vrijednost amplitude stvarnih naprezanja 

σ a,,n [N/mm 2 ] nominalna vrijednost amplitude naprezanja, 

ono se može napisati i kao 

σ 

2 2 

αk 

⋅σ 

a, 

n 

⋅ ε = . (1.142) 

E 

* * 

a,max 

a,max 

Desna strana ovog izraza je konstanta, pa je očito da izraz predstavlja hiperbolu u dijagramu 

rastezanja ε - σ. Sjecište ove hiperbole i krivulje cikličke deformacije, izraz (1.134), daje

maksimalne vrijednosti stvarnih amplituda naprezanja σ * a,max i deformacije ε * a,max, s kojom se 

onda ulazi u formulu (1.135) ili (1.136). 

1.8.1.3.4.3 Naprezanjski pristup proračunu čvrstoće i trajnosti u niskocikličkom području 

Nažalost, opisanim pristupom problemu čvrstoće kod vremenski promjenjivih naprezanja nije 

moguće na ispravan način obuhvatiti utjecaj statičkog prednaprezanja (ili prethodnog 

deformiranja) na čvrstoću i vijek trajanja strojnih dijelova. Na sreću, to nije niti potrebno. Naime, 

proračune čvrstoće i trajnosti strojnih dijelova u niskocikličnom području moguće je također 

voditi metodologijom pokazanoj u poglavljima 1.8.1.2.1 i 1.8.1.2.2, čiju osnovu čine Wöhlerova 

krivulja i Smithov dijagram. Potrebno je samo umjesto s konvencionalnim, računati sa stvarnim 

vrijednostima naprezanja i čvrstoće, a umjesto sa statičkom granicom čvrstoće R m , računati s 

, 

koeficijentom dinamičke čvrstoće , umanjenom za faktor osjetljivosti na srednje naprezanje k 

σ f 

= 1,1…1,5. Na taj način Smithov dijagram se transformira prema slici 1.52, a izrazi za dinamičku 

čvrstoću i vijek trajanja postaju: 

R 

2 1− 

r 

= R + 

k σ 

* * 

* 

rDN −1DN σ pr 

2− kσ 

( 1+ r) 2− kσ 

( 1+ 

r) 

(1.143) 

R * rDN [N/mm 2 ] stvarna vrijednost dinamičke čvrstoće strojnog dijela pri asimetriji ciklusa r 

za vijek trajanja N ciklusa 

k σ 

koeficijent smjera linije trajne dinamičke čvrstoće strojnog dijela u 

Smithovom dijagramu, k σ = 1 - R * -1DN/σ' m za Goodmanovu liniju, slika 1.52 

σ * pr [N/mm 2 ] stvarna vrijednost statičkog prednaprezanja 

r 

koeficijent asimetrije ciklusa radnih naprezanja 

=1/4 

= const 

8 

r = const 

Slika 1.52: Smithov dijagram za niskocikličko područje

R− = b ⋅R 

* 

1DN 

D 

R* -1DN [N/mm 2 ] stvarna vrijednost dinamičke čvrstoće strojnog dijela pri asimetriji ciklusa r 

= -1 za vijek trajanja N ciklusa 

R -1N [N/mm 2 ] dinamička čvrstoća materijala pri r = -1 za vijek trajanja N ciklusa 

σ' m [N/mm 2 ] stvarna vrijednost stvarnog naprezanja pri statičkom lomu, σ' m = σ ' f/k 

k 

faktor osjetljivosti na srednje naprezanje k = 1,1…1,5 

b 

b 

⋅ b 

* 

−1N 

(1.144) 

1 2 

D 

= (1.114a) 

βk 

b D 


b 1 faktor dimenzija, tabela 1.9 


β k 

efektivni faktor koncentracije naprezanja u području vremenske 

čvrstoće, izraz 1.141. 

Trajnost do loma izračunava se analogno izrazu (1.121): 

N 

( ) σ ( ) 

⎡ 

* * * * 

2Rm 

− 1+ r 

max 

− 1−r σ 

p bD R ⎤ 

r ⋅ 

−1 

= Ngr 

⎢ ⎥ 

* * 

' 

⎢ ( 1−r)( σmax 

−σ 

pr ) σ 

⎣ 

m ⎥⎦ 

m' 

(1.145) 

N 

vijek trajanja strojnog dijela napregnutog cikličkim naprezanjima s 

koeficijentom asimetrije r i prednapregnutog statičkim prednprezanjem σ * pr 

b D 


N gr 

broj ciklusa na granici vremenske i trajne dinamičke čvrstoće strojnog dijela, 

N gr @ 10 7 za čelike 

r 

koeficijent asimetrije ciklusa radnih naprezanja 

m' nagib Wöhlerove krivulje strojnog dijela, izraz 1.98 

σ * max [N/mm 2 ] maksimalna vrijednost stvarnog naprezanja ciklusa 

σ * pr [N/mm 2 ] statičko prednaprezanje 

R -1 [N/mm 2 ] trajna dinamička čvrstoća materijala za r = -1. 

σ' m [N/mm 2 ] stvarna vrijednost stvarnog naprezanja pri statičkom lomu, σ' m = σ ' f/k 

k faktor osjetljivosti na srednje naprezanje k = 1,1…1,5 . 

1.8.1.3.5. Višeosno stanje naprezanja 

Za višeosno stanje naprezanja potrebno je odrediti povijest svih komponenti naprezanja, odvojiti 

statičke i dinamičke (promjenjive) komponente naprezanja i deformacija, zamijeniti ih s 

odgovarajućim ekvivalentnim jednoosnim naprezanjima i deformacijama, i konačno, odrediti 

dinamičku čvrstoću ili vijek trajanja na način opisan za jednoosno stanje naprezanja. Pri tome se 

pretpostavlja da sve komponente naprezanja i deformacija potiču iz istog izvora, te da su sinhrona 

i sinfazna. 

Postoje dva načina za određivanje promjenjivih trodimenzionalnih komponenti naprezanja i 

deformacija u funkciji vremena. Koji će se od njih odabrati ovisi o uvjetima koji vladaju za 

vrijeme onog dijela ciklusa opterećenja u kojem opterećenja rastu. Naime, u tom dijelu ciklusa 

komponente naprezanja rastu ili u jednakim omjerima - proporcionalno opterećenje, ili u 

nejednakim omjerima - neproporcionalno opterećenje. U prvom slučaju pravci glavnih 

naprezanja ostaju konstantni, a u drugom se mijenjaju. 

Neproporcionalno opterećenje zahtjeva dodatnu analizu, koja prelazi obim ove knjige. Ovdje će 

se samo kazati da se za neproporcionalno opterećenje komponente oštećenja za normalna i

tangencijalna naprezanja procjenjuju odvojeno. Prema Eurocodeu 3, ugovornom pravilniku za 

projektiranje Evropske unije, maksimalno tangencijalno naprezanje može biti upotrijebljeno kao 

ekvivalentno naprezanje za neproporcionalna opterećenja. Može se primijeniti i bilo koji drugi 

način određivanja ekvivalentnih naprezanja, samo ako je određen takav pravac glavnog 

naprezanja, koji rezultira s najmanjim stupnjem sigurnosti. 

Za proporcionalno opterećenje, preporuča se ekvivalentno srednje naprezanje odrediti kao zbroj 

srednjih vrijednosti glavnih naprezanja 

σ = σ + σ + σ , (1.146) 

m, e m1 

m2 

m3 

σ m,e [N/mm 2 ] 

ekvivalentno srednje naprezanje 

σ m1 [N/mm 2 ] srednja vrijednost glavnog naprezanja 1 



iako taj izraz ne proizlazi ni iz jedne hipoteze čvrstoće. On je i jednostavniji od izraza po bilo 

kojoj hipotezi čvrstoće, a daje rezultate koji se bolje slažu s eksperimentalnim ispitivanjima. 

Posebna mu je prednost što uzima u obzir različit uticaj vlačnih i tlačnih statičkih naprezanja na 

dinamičku čvrstoću i vijek trajanja. Na isti način treba odrediti ekvivalentno naprezanje od 

statičkog predopterećenja. Ekvivalentno amplitudno naprezanje poželjno je računati prema 

hipotezi najvećih tangencijalnih naprezanja. Za poznata glavna naprezanja dobije se: 

σ 

2 

2 

2 

[( 

σ −σ 

) + ( σ −σ 

) + ( σ −σ 

] 

1 

= , (1.147) 

2 

a, e 

a1 

a2 

a2 

a3 

a3 

a1) 

σ a,e [N/mm 2 ] ekvivalentno amplitudno naprezanje 

σ a1 [N/mm 2 ] amplituda glavnog naprezanja 1 



Ekvivalentno amplitudno naprezanje može se izračunati i poznavanjem amplitudnih naprezanja u 

bilo koje tri ravnine: 

2 

2 

2 2 2 2 

[( 

σ − σ ) + ( σ −σ 

) + ( σ −σ 

) + 6 τ + τ τ ] 

1 

σ 

a, e 

= 

a, 

x a, 

y a, 

y a, 

z a, 

z a, 

x 

( 

a, 

xy a, 

yz 

+ 

a, 

zx 

(1.148) 

2 

σ a,e [N/mm 2 ] ekvivalentno amplitudno naprezanje 

σ a,x [N/mm 2 ] amplituda normalnog naprezanja u smjeru osi x 

σ a,y [N/mm 2 ] amplituda normalnog naprezanja u smjeru osi y 

σ a,z [N/mm 2 ] amplituda normalnog naprezanja u smjeru osi z 

σ a,z [N/mm 2 ] amplituda normalnog naprezanja u smjeru osi z 

τ a,xy [N/mm 2 ] amplituda tangencijalnog naprezanja okomitog na os x, u smjeru osi y 

τ a,yz [N/mm 2 ] amplituda tangencijalnog naprezanja okomitog na os y, u smjeru osi z 

τ a,zx [N/mm 2 ] amplituda tangencijalnog naprezanja okomitog na os z, u smjeru osi x. 

U slučaju niskocikličkog zamora, potrebno je izračunati i ekvivalentnu jednoosnu amplitudnu 

deformaciju. Prema Henckyju je 

* 2 * * 2 * * 2 * 

εae , 

= ( εa1 − εa2 ) + ( εa2 − εa3 ) + ( εa3 

− * 2 

a1 3 

ε ) 

(1.149)

ε * a,e ekvivalentna amplituda stvarnih deformacija 

ε * a,1 amplituda glavnih stvarnih deformacija 1 

ε * a,2 amplituda glavnih stvarnih deformacija 2 

ε * a,3 amplituda glavnih stvarnih deformacija 3. 

Sada se dinamička čvrstoća, granična naprezanja i vijek trajanja računaju prema izrazima za 

jednoosno stanje naprezanja, poglavlje 1.8.1.2.3.4, i za jednoosno stanje deformacija, poglavlje 

1.8.1.2.4. 

1.8.1.3.6. Čvrstoća pri povišenim temperaturama 

Osnovna značajka dinamičke čvrstoće pri povišenim temperaturama jest da Wöhlerova krivulja 

nema horizontalni dio - dakle trajna dinamička čvrstoća ne postoji. U tom slučaju proračuni 

čvrstoće se provode na isti način kao za vremensku dinamičku čvrstoću pri normalnoj 

temperaturi. Jedini uvjet jest da je potrebno imati Wöhlerovu krivulju i karakteristike statičke 

čvrstoće za tu, određenu temperaturu. 

Međutim, povišene temperature pogoduju i procesu puzanja, kojega ciklička promjena naprezanja 

dodatno ubrzava. Dakle, u kritičnim točkama strojnog dijela istovremeno djeluju dva procesa, 

koji neovisno jedan od drugome, vode zajedničkom cilju: lomu. Pri tome nije presudno da li je 

ciklička promjena naprezanja i deformacija uzrokovana promjenom opterećenja (klasični zamor), 

ili promjenom temperature (toplinski zamor, npr. kod hlađenih lopatica plinskih turbina). Naime, 

u oba slučaja osnovu proračuna čvrstoće čini pravilo o linearnom gomilanju oštećenja od 

različitih mehanizama oštećenja: 

n t 

D = u 

D + D = st 

N 

+ t 

(1.150) 

gr 

D u ukupno oštećenje strojnog dijela u kritičnom presjeku, u trenutku loma D u ≈ 1 

D 

oštećenje strojnog dijela zbog zamora materijala 

D st 

oštećenje strojnog dijela zbog cikličkog puzanja 

n 

ukupni broj ciklusa naprezanja 

N 

broj ciklusa do loma 

t [h] ukupno vrijeme puzanja, t = n/f 

f [h -1 ] frekvencija ciklusa, broj ciklusa u jedinici vremena u kojoj se mjeri t 

t gr [h] vrijeme do kvazistatičkog loma zbog puzanja na nivou amplitude cikličkog 

naprezanja. 

Kod diskretno promjenjivih režima opterećenja, koji rezultiraju s promjenjivim amplitudama 

naprezanja, čvrstoća se računa prema izrazu 

n 

t 

i 

j 

∑ + ∑ = Du 

(1.151) 

i Ni 

j tj, 

gr 

t j [h] vrijeme cikličkog puzanja na nivou j-og nivoa naprezanja 

t j,gr [h] vrijeme do kvazistatičkog loma zbog puzanja na nivou j-og nivoa cikličkog 

naprezanja 

n i , N i , D u 

kao gore.

Kod kontinuirano promjenjivih naprezanja sume prelaze u integrale, pa se za uvjet čvrstoće 

uzima izraz 

N 

t 

dn dt 

+ = 1 

N t 

∫ ∫ . (1.152) 

0 0 

Za rješenje ovog integrala potrebni je imati krivulje zamaranja i puzanja za spektar naprezanja 

koji djeluje u kritičnoj točki elementa stroja ili konstrukcije. 

gr

Strength of structures and components.pdf - FESB

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?