Geometrie pro FST 2

Geometrie pro FST 2
Pomocný učební text
František Ježek, Světlana Tomiczková
Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Předmluva
Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme
pro studenty druhého ročníku Strojní fakulty v zimním semetru. Snažili jsme se napsat
velice stručné a jednoduché pojednání. Věříme, že je to ta forma, kterou studenti potřebují.
Pokud jsme v textu nechali nedopatření, resp. pokud je text někde nesrozumitelný,
prosíme o sdělení takových poznatků. Ideální cestou pro takové sdělení je použití e-mailu
a adresy JEZEK@KMA.ZCU.CZ. Zvláště pilní hledači chyb a překlepů budou odměněni.
Věříme, že tou odměnou ale bude především úspěšné složení zkoušky, nebot’ ten, kdo
našel chybu, zpravidla přemýšlel. Právě geometrie je příležitostí k ověření myšlenkového
potenciálu.
Autoři
2

Obsah
1 Geometrická zobrazení a transformace souřadnic 6
1.1 Transformace kartézského systému souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Homogenní souřadnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Geometrické transformace v E 2 , resp. v P (E 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Posunutí neboli translace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Otáčení neboli rotace okolo bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Osová souměrnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.4 Změna měřítka neboli dilatace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.5 Obecná afinní transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.6 Skládání transformací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.7 Inverzní geometrická transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Geometrické transformace v E 3 , resp. v P (E 3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Posunutí neboli translace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Otáčení neboli rotace okolo osy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.3 Souměrnost podle roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.4 Dilatace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.5 Obecná afinní transformace a projektivní transformace . . . . . . . 15
1.5 Skládání transformací a inverzní transformace . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Křivky 20
2.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Tečna a normála křivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Klasifikace bodů křivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3 Rektifikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.4 Oskulační rovina a oskulační kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.5 Obálka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.6 Ekvidistanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.7 Cykloida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.8 Evoluta a evolventa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.9 Řídící kuželová plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Šroubovice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Parametrické vyjádření šroubovice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3

OBSAH 4
2.2.3 Tečna šroubovice a její průvodní trojhran . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.4 Křivosti šroubovice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Obecné poznatky o plochách 33
3.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Úlohy na plochách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Výpočetní řešení některých úloh na plochách . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Gaussova křivost plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Parametrické vyjádření ploch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Rotační plochy 41
4.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Parametrické vyjádření rotační plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3 Vlastnosti rotačních ploch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 Klasifikace rotačních ploch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5 Úlohy na rotačních plochách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.6 Průniky rotačních ploch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.7 Rotační kvadriky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.8 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.9 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5 Šroubové plochy 50
5.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 Parametrické vyjádření šroubové plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Vlastnosti šroubových ploch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Klasifikace šroubových ploch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5 Úlohy na šroubových plochách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.6 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.7 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6 Obalové plochy 56
6.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2 Charakteristika roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 Charakteristika kulové plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4 Metoda kulových ploch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.5 Metoda tečných rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.6 Určení obalové plochy výpočtem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.7 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.8 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7 Rozvinutelné plochy 68
7.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2 Typy rozvinutelných ploch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.3 Metody komplanace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

OBSAH 5
7.3.1 Metoda normálového řezu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.3.2 Metoda triangulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.4 Tečna křivky v rozvinutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.5 Rozvinutí rozvinutelné šroubové plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.6 Konstrukce a rozvinutí přechodové rozvinutelné plochy . . . . . . . . . . . 72
7.7 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8 Některé nekartézské souřadnicové soustavy 74
8.1 Sférické souřadnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.2 Cylindrické souřadnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.3 Využití nekartézských souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.4 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.5 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9 Nelineární útvary v rovině a v prostoru 77
9.1 Vyjádření křivek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.1.1 Kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.1.2 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.1.3 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.1.4 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.1.5 Obecná rovnice kuželosečky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.2 Vektorové vyjádření kuželových a válcových ploch . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2.1 Obecná kuželová plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2.2 Obecná válcová plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3 Rotační plochy druhého stupně (kvadriky) v E 3 . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.3.1 Kulová plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.3.2 Rotační elipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.3.3 Rotační paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.3.4 Rotační hyperboloid jednodílný . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.3.5 Rotační hyperboloid dvoudílný . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.4 Obecná rovnice kvadriky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.5 Kuželosečky a kvadriky v obecné poloze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.6 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.7 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Kapitola 1
Geometrická zobrazení
a transformace souřadnic
Uvažujme dvě množiny bodů M a N. Geometrickým zobrazením T rozumíme předpis,
kterým každému bodu X (vzoru) z množiny M přiřadíme jednoznačně bod T(X) (obraz)
z množiny N. Příkladem geometrického zobrazení je kolmé promítání do půdorysny (roviny
xy), posunutí o daný vektor, otočení okolo dané osy apod.
Řekneme, že geometrické zobrazení T je vzájemně jednoznačné, jestliže každým dvěma
různým bodům jsou přiřazeny různé body, tj. platí-li
X ≠ Y, X ∈ M, Y ∈ M ⇒ T(X) ≠ T(Y ) .
Pro vzájemně jednoznačné zobrazení T množiny M na množinu N, tj. pro prosté zobrazení,
existuje zobrazení T −1 , které obrazu Y = T(X) přiřadí vzor, tj. bod X. Říkáme, že
zobrazení T −1 je inverzní k zobrazení T.
Vzájemně jednoznačné zobrazení, pro nějž M = N, nazýváme transformace. Např.
pro posunutí můžeme položit M = N = E 3 a jistě jde o prosté zobrazení, tj. posunutí
je transformace. Inverzní transformací je posunutí o vektor opačný k danému vektoru
posunutí T. Pro kolmé promítání do půdorysny je M = E 3 a N = E 2 . Nejde tedy o transformaci
a navíc neexistuje inverzní zobrazení (z jednoho průmětu nelze rekonstruovat“
”
prostorový objekt).
Dále rozlišíme dva způsoby, jakým jsou v geometrii a jejích aplikacích používány transformace:
Geometrické transformace (bodů): Je zvolen souřadnicový systém. Transformaci jsou
podrobeny body geometrického objektu, který tím mění polohu vzhledem k systému
souřadnic, popř. i svůj tvar.
Transformace systému souřadnic: Transformaci je podroben souřadnicový systém.
Transformace je zvolena např. tak, aby vybraný geometrický objekt získal vzhledem
k novému souřadnicovému systému polohu výhodnou pro matematické vyjádření
operací s objektem.
6

1.1. TRANSFORMACE KARTÉZSKÉHO SYSTÉMU SOUŘADNIC 7
1.1 Transformace kartézského systému souřadnic
V tomto odstavci budeme popisovat transformace souřadnicových soustav v E 3 , ale provedené
úvahy a výpočty lze snadno aplikovat i na transformace kartézských systémů souřadnic
v rovině, tj. v prostoru E 2 (a i v prostorech jiné dimenze). V textu použijeme tzv. Kroneckerovo
delta δ ij , které nabývá hodnoty 1 pro i = j a hodnoty 0 v případě i ≠ j.
Připomeňme, že kartézskou soustavu
souřadnic v E 3 můžeme
chápat jako uspořádanou čtveřici
(O, e 1 , e 2 , e 3 ), kde O je počátek
soustavy souřadnic a vektory e i jsou
ortonormální, tj. platí pro ně
e i · e j = δ ij , i, j = 1, 2, 3. (1.1)
Obrázek 1.1:
Transformaci soustavy souřadnic
používáme, chceme-li zjednodušit
vyjádření objektů, nebo jestliže
pro několik objektů chceme využít
jednu souřadnicovou soustavu.
Pro změnu souřadnicové soustavy
odvodíme potřebné vztahy mezi
původnímu souřadnicemi a novými
souřadnicemi.
V prostoru E 3 zvolíme dvě kartézské soustavy souřadnic S a S ′ (obr. 1.1):
S : (O, e 1 , e 2 , e 3 ) , S ′ : (O ′ , e ′ 1, e ′ 2, e ′ 3). (1.2)
V soustavě souřadnic S má obecný bod X souřadnice X[x 1 , x 2 , x 3 ] a v S ′ má tentýž bod
X souřadnice X[x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3]. V soustavě S vyjádříme počátek O ′ a vektory e ′ i:
O ′ = O +
3∑
b j e j , (1.3)
j=1
Podrobněji lze (1.4) rozepsat na
e ′ i =
3∑
a ji e j , i = 1, 2, 3. (1.4)
j=1
e ′ 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 + a 31 e 3 ,
e ′ 2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + a 32 e 3 , (1.5)
e ′ 3 = a 13 e 1 + a 23 e 2 + a 33 e 3 .

1.1. TRANSFORMACE KARTÉZSKÉHO SYSTÉMU SOUŘADNIC 8
Bod X vyjádříme v obou soustavách souřadnic:
3∑
X = O + x j e j = O ′ +
j=1
3∑
x ′ ie ′ i . (1.6)
i=1
Použijeme-li v (1.6) vyjádření (1.3) a (1.4), dostaneme
O +
neboli
3∑
3∑
x j e j = O + b j e j +
j=1
3∑
j=1 i=1
j=1
j=1 i=1
x ′ i
( 3∑
j=1
)
a ji e j , (1.7)
(
)
3∑
3∑
3∑
x j e j = b j + a ji x ′ i e j . (1.8)
Porovnáním obou stran v (1.8) zjistíme, že pro ”
nové“ a ”
staré“ souřadnice platí
x j =
3∑
a ji x ′ i + b j , j = 1, 2, 3. (1.9)
i=1
Transformační rovnice rozepsané pro jednotlivá i a j mají tvar
x 1 = a 11 x ′ 1 + a 12 x ′ 2 + a 13 x ′ 3 + b 1 ,
x 2 = a 21 x ′ 1 + a 22 x ′ 2 + a 23 x ′ 3 + b 2 , (1.10)
x 3 = a 31 x ′ 1 + a 32 x ′ 2 + a 33 x ′ 3 + b 3 .
V maticovém tvaru můžeme zapsat rovnice (1.10) jako
X = X ′ · A T + b , (1.11)
kde X[x 1 , x 2 , x 3 ], X ′ [x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3], b = (b 1 , b 2 , b 3 ) a matice A má prvky a ij , i = 1, 2, 3, j =
1, 2, 3. Matici A budeme nazývat transformační matice. O této matici se dá dokázat
přímým výpočtem, že platí:
a 1i a 1j + a 2i a 2j + a 3i a 3j = δ ij . (1.12)
Jde o skalární součiny vektorů daných sloupci matice A. Takto určené vektory jsou jednotkové
a vzájemně kolmé. Proto se matice s touto vlastností označují jako ortonormální.
Navíc lze vypočítat, že pro determinant ortononální matice A platí
det A = ±1 .
Můžeme tedy rozlišit dva případy orientace S a S ′ :
1. je-li det A = 1, jsou soustavy orientovány souhlasně;
2. je-li det A = −1, jsou soustavy orientovány nesouhlasně.

1.1. TRANSFORMACE KARTÉZSKÉHO SYSTÉMU SOUŘADNIC 9
V geometrii a v řadě aplikací se používají i tzv. afinní souřadnicové soustavy, tj.
soustavy souřadnic, v nichž vektory e 1 , e 2 a e 3 nejsou ortonormální, ale tvoří obecnou
bázi. Přechod od kartézské soustavy souřadnic k afinní soustavě je popsán rovněž vztahem
(1.11), ale matice A je jen regulární (nikoliv nutně ortonormální).
Příklad 1. Uvažujme bod X[1,1,1] daný souřadnicemi v kartézské souřadnicové soustavě
(O, e 1 , e 2 , e 3 ). Určíme souřadnice bodu X v afinní (nekartézské) souřadnicové soustavě
(O, e ′ 1, e ′ 2, e ′ 3),
kde
e ′ 1 = e 1 , e ′ 2 = e 2 , e ′ 3 = e 2 + e 3 .
Řešení: Pokud si načtnete ilustrační obrázek, snadno dojdete při tomto jednoduchém
zadání k výsledku bez výpočtu (doporučujeme, abyste si hypotézu o výsledku vytvořili).
Pokud využijeme vztah (1.11) a uvědomíme-li si, že počátek souřadnicového systému
se nemění, tj. vektor b je nulový, můžeme psát
[1, 1, 1] = [x ′ , y ′ , z ′ ]A T ,
neboli (vzhledem k přepodkládané regularitě matice A existuje matice inverzní)
[x ′ , y ′ , z ′ ] = [1, 1, 1](A T ) −1 .
Matice A má podle (1.5) ve sloupcích souřadnice vektorů nové souřadnicové soustavy
vzhledem k původní souřadnicové soustavě, tj. platí
⎛
1, 0,
⎞
0
⎛
1, 0,
⎞
0
A = ⎝ 0, 1, 1 ⎠ , A T −1 = ⎝ 0, 1, 0 ⎠ .
0, 0, 1
0, −1, 1
Všimněte si, že matice A není ortonormální (uvažujte např. druhý a třetí sloupec, resp.
velikost vektoru daného třetím sloupcem). Výpočet inverzní matice zde neuvádíme, nebot’
jde jen o velmi jednoduché cvičení na uplatnění Jordanovy eliminace, resp. výpočtu pomocí
algebraických doplňků.
Nyní již můžeme psát
⎛
[x ′ , y ′ , z ′ ] = [1, 1, 1] ⎝
1, 0, 0
0, 1, 0
0, −1, 1
⎞
⎠ = [1, 0, 1] .
Věříme, že se výsledek shoduje s předpokládaným výsledkem na základě vašeho úvodního
náčrtku.
□

1.2. HOMOGENNÍ SOUŘADNICE 10
1.2 Homogenní souřadnice
Než přistoupíme k popisu geometrických transformací bodů, zavedeme speciální souřadnice
bodů – tzv. homogenní souřadnice – pomocí nichž se zjednoduší maticový zápis geometrických
transformací.
Uspořádanou čtveřici čísel [x h , y h , z h , w] (w ≠ 0) nazveme pravoúhlé homogenní souřadnice
bodu P v projektivním rozšíření euklidovského prostoru E 3 , platí-li:
x = x h
w ,
y = y h
w ,
z = z h
w
kde čísla x, y, z jsou kartézské souřadnice bodu P . Body, pro které je w = 0, odpovídají
vektorům a nazývají se nevlastní body. Tyto body nelze určit jejich kartézskými souřadnicemi.
Projektivní rozšíření euklidovského prostoru značíme P (E 3 ) a můžeme říci, že vznikne doplněním
eukleidovského prostoru o nevlastní body.
Z definice je patrné, jak lze převádět homogenní souřadnice vlastních bodů (w ≠ 0)
na jejich kartézské souřadnice a naopak.
Příklad 2. Bod A má v daném kartézském systému souřadnic souřadnice [3,2,1]. Za jeho
homogenní souřadnice lze volit trojici [3w, 2w, w, w], kde w ≠ 0. Např. pro w = 1 jsou to
souřadnice [3,2,1,1]. Body (v homogenních souřadnicích) B=[3,2,1,0.5] a C=[3,2,1,2] mají
kartézské souřadnice B=[6,4,2] a C=[1,5;1;0,5]. Homogenní souřadnice nevlastního bodu
určeného vektorem OA jsou např. [3,2,1,0].
Obdobně lze zavést pravoúhlé homogenní souřadnice bodu P v rovině.
1.3 Geometrické transformace v E 2 , resp. v P (E 2 )
Zabývejme se nejprve transformacemi v rovině E 2 , resp. v jejím projektivním rozšíření
P (E 2 ). Bod o souřadnicích [x, y], popř. [x h , y h , w] budeme transformovat do bodu [x ′ , y ′ ],
popř. [x ′ h , y′ h , w′ ].
1.3.1 Posunutí neboli translace
Posunutí (translace) je určeno vektorem posunutí p = (x t , y t ). Souřadnice bodu [x, y] se
transformují rovnicemi
x ′ = x + x t , y ′ = y + y t .
Je zřejmé, že nevlastní bod určený vektorem (x, y) se posunutím nemění.
Použijeme-li homogenní souřadnice, lze obě transformace pro vlastní i nevlastní body
zapsat jednotně v maticovém tvaru:
⎛
[x ′ , y ′ , w ′ ] = [x, y, w] ⎝
1, 0, 0
0, 1, 0
x t , y t , 1
⎞
⎠

1.3. GEOMETRICKÉ TRANSFORMACE V E 2, RESP. V P (E 2 ) 11
1.3.2 Otáčení neboli rotace okolo bodu
Otáčení (rotace) kolem počátku O[0, 0] je určeno orientovaným úhlem α. Na obr. 1.2 je
znázorněna odpovídající situace.
Koeficienty odvodíme z podmínky, že body [0,0], [1,0] a [0,1] se otočí do bodů [0, 0],
[cos α, sin α], [− sin α, cos α]. Platí:
x ′ = x cos α − y sin α , y ′ = x sin α + y cos α. (1.13)
Obrázek 1.2: Obrázek 1.3:
Transformační rovnice přepíšeme do maticového tvaru:
⎛
cos α, sin α,
⎞
0
[x ′ , y ′ , w ′ ] = [x, y, w] ⎝ − sin α, cos α, 0 ⎠ . (1.14)
0, 0, 1
Snadno zjistíme, že w ′ = w.
1.3.3 Osová souměrnost
Osová souměrnost je určena osou souměrnosti. Uvedeme transformační rovnice pro případ,
kdy osou souměrnosti je některá souřadnicová osa. Platí
x ′ = ix,
y ′ = jy,
kde
i = −1, j = 1 pro souměrnost podle osy y;
i = 1, j = −1 pro souměrnost podle osy x.
Transformační rovnice pro souměrnost podle osy x přepíšeme do maticového tvaru:
⎛
[x ′ , y ′ , w ′ ] = [x, y, w] ⎝
1, 0, 0
0, −1, 0
0, 0, 1
⎞
⎠ . (1.15)

1.3. GEOMETRICKÉ TRANSFORMACE V E 2, RESP. V P (E 2 ) 12
Podobně je možné uvést maticový zápis souměrnosti podle osy y. Souměrnost podle
obecné osy popíšeme pomocí rozkladu na ”
elementární transformace“ – viz odst. 1.3.6
1.3.4 Změna měřítka neboli dilatace
Změna měřítka (dilatace) na souřadnicových osách je určena násobky původních jednotek:
x ′ = s x x , y ′ = s y y .
Je-li s x = s y = s dostaneme stejnolehlost se středem v počátku O[0, 0] a koeficientem stejnolehlosti
s. Maticový zápis transformačních rovnic si snadno představíte. Matice dilatace
je diagonální.
1.3.5 Obecná afinní transformace
Ŕekneme, že tři body A, B, C jsou kolineární, jsou-li kolineární vektory B − A a C − A.
Afinní transformací rozumíme geometrické zobrazení T, které zachovává kolinearitu
bodů a jejich dělící poměr, tj. pro každé tři kolineární body A, B, C platí, že body
T(A), T(B), T(C) jsou kolineární a pro dělící poměr tří navzájem různých kolineárních
bodů A, B, C platí
(A, B, C) = (T(A), T(B), T(C))
.
Dá se ukázat, že každou afinní transformaci lze popsat v následujícím maticovém
tvaru:
⎛
a 11 , a 12 ,
⎞
0
[x ′ , y ′ , w ′ ] = [x, y, w] ⎝ a 21 , a 22 , 0 ⎠ , (1.16)
p 1 , p 2 , 1
(
a11 ,
kde matice A =
a 21 ,
)
a 12
a 22
je regulární (tj. má nenulový determinant) a p = (p 1 , p 2 )
je vektor posunutí.
Pokud bychom upustili od použití homogenních souřadnic, je možné zapsat vztah
(1.16) pro body prostoru E 2 je tvaru
(
[x ′ , y ′ a11 ,
] = [x, y]
a 21 ,
)
a 12
a 22
+ (p 1 , p 2 ), (1.17)
neboli stručně:
X ′ = X · A + p, (1.18)
kde p = (p 1 , p 2 ) je vektor posunutí.
Pokud použijeme homogenních souřadnic a označíme
⎛
a 11 , a 12 ,
⎞
0
T = ⎝ a 21 , a 22 , 0 ⎠ , (1.19)
p 1 , p 2 , 1
máme pro transformaci vlastních i nevlastních bodů vztah X ′ = X · T.

1.3. GEOMETRICKÉ TRANSFORMACE V E 2, RESP. V P (E 2 ) 13
Příklad 3. Na obr. 1.3 je uveden příklad afinní transformace v rovině. Stín“ je odvozen
”
pomocí afinní transformace s maticí
⎛
1; 0;
⎞
0
[x ′ , y ′ , w ′ ] = [x, y, w] ⎝ 1; −0, 5; 0 ⎠ . (1.20)
0; 0; 1
1.3.6 Skládání transformací
Geometrický objekt je zpravidla podroben posloupnosti uvedených elementárních transformací.
Z asociativního zákona pro násobení matic plyne, že matice složené transformace
je součinem matic elementárních transformací.
V předcházejících odstavcích jsme uvedli některé transformace s tím, že jsme předpokládali
speciální určení (např. středem rotace byl počátek, osou souměrnosti byla souřadnicová
osa). Složitější transformace můžeme popsat pomocí rozkladu (dekompozice) na transformace
elementární. Postup vysvětlíme na příkladu.
Příklad 4. Najdeme rovnici rovinné transformace pro otáčení kolem bodu A[x A , y A , 1]
o úhel α.
Řešení: Hledanou transformaci složíme ze tří elementárních transformací. Posunutím
o vektor p = (−x A , −y A ) se bod A ztotožní s počátkem O. Po otočení bodů kolem
počátku o úhel α posuneme výsledné body zpět o vektor −p . Posloupnost transformací
zapíšeme za využití homogenních souřadnic v maticovém tvaru:
⎛
X ′ = X ⎝
1, 0, 0
0, 1, 0
−x A , −y A , 1
⎞ ⎛
⎠ ⎝
cos α, sin α, 0
− sin α, cos α, 0
0, 0, 1
⎞ ⎛
⎠ ⎝
1, 0, 0
0, 1, 0
x A , y A , 1
Provedeme-li vynásobení uvedených tří matic, obdržíme matici dané transformace ve
tvaru ⎛
cos α, sin α,
⎞
0
⎝ − sin α, cos α, 0 ⎠ .
x A (1 − cos α) + y A sin α, y A (1 − cos α) − x A sin α, 1
1.3.7 Inverzní geometrická transformace
Pro inverzní transformaci T −1 k dané transformaci T platí, že složením těchto dvou
transformací je identita, tj. transformace, která každému bodu X přiřadí týž bod, tj. X ′ =
X. Maticí identity je samozřejmě jednotková matice I. Označme T matici transformace
T a L matici transformace T −1 . Pro tyto matice však musí platit vztah
T · L = L · T = I,
tj. L = T −1 – matice inverzní transformace je inverzní maticí k matici dané transformace.
⎞
⎠ .
□

1.4. GEOMETRICKÉ TRANSFORMACE V E 3, RESP. V P (E 3 ) 14
1.4 Geometrické transformace v E 3 , resp. v P (E 3 )
Uvedeme přehled elementárních afinních transformací v prostoru E 3 , resp. v P (E 3 ). Transformační
rovnice zapíšeme v maticovém tvaru. Postupovat budeme rychleji, nebot’ v mnoha
případech je určení transformací v P (E 3 ) analogické k uvedeným poznatkům pro prostor
P (E 2 ). Podrobnější výklad je uveden jen tam, kde tato analogie neexistuje.
1.4.1 Posunutí neboli translace
Pro posunutí (translaci) určenou vektorem posunutí p = (x t , y t , z t ) máme transformační
rovnici:
⎛
⎞
1, 0, 0, 0
[x ′ , y ′ , z ′ , w ′ ] = [x, y, z, w] ⎜ 0, 1, 0, 0
⎟
⎝ 0, 0, 1, 0 ⎠ .
x t , y t , z t , 1
1.4.2 Otáčení neboli rotace okolo osy
Otáčení (rotace) je určeno osou otáčení a orientovaným úhlem otáčení. Uvedeme matici
R x,α pro otáčení kolem souřadnicové osy x o úhel α, matici R y,β pro otáčení kolem osy y
o úhel β a matici R z,γ pro otáčení kolem osy z o úhel γ. Snadno stanovíme matici R z,γ ,
nebot’ vztahy pro transformaci složky x a y jsou analogické s rotací bodu okolo počátku –
vztah (1.13), souřadnice z se nemění. Další případy, tj. popis rotace okolo osy x a y,
získáme cyklickou záměnou os – tab. 1.1.
Osa rotace 1. osa 2. osa
z x y
x y z
y z x
Tabulka 1.1:
Pro hledané matice platí:
⎛
R x,α =
⎜
⎝
1, 0, 0, 0
0, cos α, sin α, 0
0, − sin α, cos α, 0
0, 0, 0, 1
R z,γ =
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠ , R y,β =
⎛
⎜
⎝
cos γ, sin γ, 0, 0
− sin γ, cos γ, 0, 0
0, 0, 1, 0
0, 0, 0, 1
cos β, 0, − sin β, 0
0, 1, 0, 0
sin β, 0, cos β, 0
0, 0, 0, 1
Všimněte si, že souměrnost podle osy můžeme v prostoru P (E 3 ) nahradit rotací okolo
dané osy o úhel ϕ = π. V prostoru P (E 2 ) je rotace okolo bodu o úhel ϕ = π souměrností
podle daného bodu (středu).
⎞
⎟
⎠ .
⎞
⎟
⎠ ,

1.4. GEOMETRICKÉ TRANSFORMACE V E 3, RESP. V P (E 3 ) 15
1.4.3 Souměrnost podle roviny
Souměrnost podle roviny je určena rovinou souměrnosti. Uvedeme rovnice pro transformaci
bodu souměrností podle jednotlivých souřadnicových rovin:
⎛
⎞
i, 0, 0, 0
[x ′ , y ′ , z ′ , w ′ ] = [x, y, z, w] ⎜ 0, j, 0, 0
⎟
⎝ 0, 0, k, 0 ⎠ ,
0, 0, 0, 1
kde
i = -1, j = 1, k = 1 pro souměrnost podle roviny yz,
i = 1, j = -1, k = 1 pro souměrnost podle roviny xz,
i = 1, j = 1, k = -1 pro souměrnost podle roviny xy.
1.4.4 Dilatace
Dilatace neboli změna měřítka na souřadnicových osách je určena nenulovými násobky
s x , s y , s z původních jednotek. Maticově můžeme psát:
⎛
⎞
s x 0 0 0
[x ′ , y ′ , z ′ , w ′ ] = [x, y, z, w] ⎜ 0 s y 0 0
⎟
⎝ 0 0 s z 0 ⎠ .
0 0 0 1
Podobně jako v případu rovinné geometrie dostaneme i zde pro s = s x = s y
stejnolehlost se středem stejnolehlosti v počátku a s koeficientem s.
= s z
1.4.5 Obecná afinní transformace a projektivní transformace
Podobně jako v rovinném případě můžeme i v prostoru P (E 3 ) popsat každou afinní transformaci
v následujícím maticovém tvaru:
⎛
⎞
a 11 , a 12 , a 13 , 0
[x ′ , y ′ , z ′ , w ′ ] = [x, y, z, w] ⎜ a 21 , a 22 , a 23 , 0
⎟
⎝ a 31 , a 32 , a 33 , 0 ⎠ , (1.21)
p 1 , p 2 , p 3 , 1
⎛
⎞
a 11 , a 12 , a 13
kde matice A = ⎝ a 21 , a 22 , a 23
⎠ je regulární (tj. má nenulový determinant).
a 31 , a 32 , a 33
Opět můžeme uvést, že uplatnění obecné afinní transformace je popsáno maticovým
součinem X ′ = X · T, kde T je matice transformace.
Pro zvídavého čtenáře můžeme ještě doplnit, že obecnější transformací je tzv. projektivní
transformace. Ta sice zachovává kolinearitu bodů, ale již může měnit dělící poměr
bodů (nemění však podíl dělících poměrů – tzv. dvojpoměr). Popis takového transformace
je tvaru (1.21) s tím, že poslední sloupec transformační matice může obsahovat i nenulové
prvky. V afinní transformaci vlastnímu bodu byl přiřazen vždy bod vlastní (a nevlastnímu

1.5. SKLÁDÁNÍ TRANSFORMACÍ A INVERZNÍ TRANSFORMACE 16
bod nevlastní). Toto již neplatí v případě projektivní transformace. V důsledku to znamená,
že projektivní transformace obecně nezachovává rovnoběžnost (afinní transformace
rovnoběžnost zachovává). Příkladem projektivního zobrazení je např. perspektivní pohled
apod.
1.5 Skládání transformací a inverzní transformace
Vše, co jsme uvedli o skládání transformací a o inverzní transformaci v rovinném případě,
je platné i pro transformace v prostoru P (E 3 ).
Pro ilustraci uvedeme alespoň jeden příklad.
Příklad 5. Sestavíme matici souměrnosti podle roviny x−2z +3 = 0. Určíme pak obrazy
bodů O[0, 0, 0], R[1, 1, 1] a Q[−3, 0, 5] a obraz směru (nevlastního bodu) daného vektorem
(1, 0, −2).
Řešení: Zvolíme postup, který byl použit již v části věnované rovinným transformacím,
tj. provedeme rozklad (dekompozici) hledané transformace T na elementární transformace.
Daná rovina je zřejmě rovnoběžná s osou y (koeficient u y je nulový). Transformaci T tedy
získáme složením:
• posunutí P (rovina souměrnosti bude po posunutí procházet osou y),
• rotace R (rovinu souměrnosti převedeme do polohy totožné s rovinou xy),
• souměrnosti S podle roviny xy,
• rotace R −1 ,
• posunutí P −1 .
Poslední dvě transformace (pozor na pořadí) umístí zpět rovinu souměrnosti do původní
polohy. Píšeme
T = P −1 ◦ R −1 ◦ S ◦ R ◦ P .
Vektor normály dané roviny je n = (1, 0, −2). Určíme dále alespoň jeden bod roviny,
např. bod X ∈ x. Volíme tedy z = 0 a máme X[−3, 0, 0]. První transformací bude posunutí
P o vektor (3, 0, 0). Rovina souměrnosti prochází po provedení transformace P počátkem
a osou y. Nyní provedeme rotaci R, v níž rovina přejde do některé souřadnicové roviny,
např. xy. Stanovíme úhel otočení α jako odchylku rovin. Použijeme k tomu normálové
vektory n a z, kde z=(0,0,1) je normálový vektor roviny xy. Platí
cos α =
|n · z|
|n| · |z| ,
tj.
cos α = 2 √
5
= 2 5√
5.
Pomocí vztahu sin 2 α = 1 − cos 2 α vypočteme sin α = √ 5
5 .

1.6. CVIČENÍ 17
Označme matice, které odpovídají daným transformacím stejnými písmeny, jako jsou
označeny dílčí transformace (R bude matice rotace R apod.). Pro matici T výsledné
transformace platí (pozor na pořadí):
T = P · R · S · R −1 · P −1 ,
tj.
T =
⎛
⎜
⎝
1, 0, 0, 0
0, 1, 0, 0
0, 0, 1 0
3, 0, 0, 1
⎛
· ⎜
⎝
2
5
⎞
⎟
⎠ ·
⎛
⎜
⎝
√ √
2
5 5, 0, − 5
, 0 5
0, 1, 0, 0
√
5
, 0, 2
5 5√
5, 0
√ √
5, 0,
5
, 0 5
0, 1, 0, 0
, 0, 2
5 5√
5, 0
− √ 5
0, 0, 0, 1
0, 0, 0, 1
⎞ ⎛
⎟
⎠ ·
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠ ·
⎛
⎜
⎝
1, 0, 0, 0
0, 1, 0, 0
0, 0, 1 0
−3, 0, 0, 1
1, 0, 0, 0
0, 1, 0, 0
0, 0, −1 0
0, 0, 0, 1
⎞
⎟
⎠ .
⎞
⎟
⎠ ·
Provedeme-li naznačené násobení matic, obdržíme matici výsledné transformace:
⎛
3
, 0, 4
, 0 ⎞
5 5
T = ⎜ 0, 1, 0, 0
⎝ 4
, 0, − 3, 0
⎟
⎠ .
5 5
− 6, 0, 12
, 1 5 5
Pro určení nové (transformované) polohy daných vlastních bodů O, R, Q a nevlastního
bodu [1, 0, −2, 0] stačí vynásobit homogenní souřadnice daných maticí T. S výhodou
můžeme tuto operaci zapsat ve tvaru (řádky první matice jsou dány homogenními souřadnicemi
zadaných bodů):
⎛
⎞ ⎛
3
⎜
⎟
⎝
⎠ ·
, 0, 4
, 0 ⎛
− 6 5 5
⎜ 0, 1, 0, 0
⎟
⎝ 4
⎠ = , 0, 12
, 1 ⎞
5 5
1
⎜ , 1, 13
, 1
5 5 ⎟
⎝
⎠ .
0, 0, 0, 1
1, 1, 1, 1
−3, 0, 5, 1
1, 0, −2, 0
⎞
, 0, − 3, 0
5 5
− 6, 0, 12
, 1 5 5
1, 0, −3, 1
−1, 0, 2, 0
Máme tedy T(O) = [− 6, 0, 12, 1], T(R) = [ 1, 1, 13 , 1], T(Q) = [1, 0, −3, 1] a obrazem
5 5 5 5
vektoru s = (1, 0, −2) je vektor T(s) = (−1, 0, 2), tj. vektor opačný (jde vlastně o obraz
normálového vektoru zadané roviny souměrnosti). Oba vektory s a T(s) určují stejný
nevlastní bod, tj. bod, který je v dané transformaci samodružný.
□
1.6 Cvičení
1.1 Je dána jednotková krychle ABCDA ′ B ′ C ′ D ′ . Napište transformační rovnice přechodu
od kartézského souřadnicového systému {A, AB, −→
AD, −→
AA −→
′ } k systému {C ′ −→
, C ′ D ′
−→
, C ′ B ′ , C −→
′ C}.
[x = −x ′ + 1, y = −y ′ + 1, z = −z ′ + 1]

1.6. CVIČENÍ 18
1.2 Rozhodněte, zda matice
A =
⎛
⎜
⎝
1
, − √ 2
, − 1
2 2 2
1
, √
2
, − 1
2 2 2
− √ 2
, 0, √
2
2 2
⎞
⎟
⎠
je transformační maticí pro přechod mezi dvěma kartézskými soustavami souřadnic.
[využijeme vztahů (1.12) – není]
1.3 Sestavte transformační rovnice přechodu mezi dvěma kartézskými systémy souřadnic,
jestliže nový systém vznikne z původního otočením kolem osy z o úhel ϕ = − π.
4
[x = √ 2
2 (x′ + y ′ ), y = √ 2
2 (−x′ + y ′ ), z = z ′ ]
1.4 Určete nové souřadnice bodu M[2, −1, 3], jestliže se kartézská souřadnicová soustava
otočí okolo osy z o orientovaný úhel α = π. 6 [ √3
[ −
1
, −1 − √ 3
]] , 3 2 2
1.5 Sestavte matici geometrické transformace v E 2 , která vznikne složením (v tomto
pořadí) rotace okolo bodu S[1, 2] o úhel 45 o a dilatace, v níž se mění měřítko na ose
x na poloviční.
⎡ ⎛ √
2
, √ ⎤
2
, 0
4 2
⎢
⎣T =
⎜
⎝
− √ 2
, √
2
4
1
+ √ 2
, 2 − 3
2 4 2
⎞
√ , 0 ⎟⎥
2
⎠⎦
2, 1
1.6 Určete obrazy bodů S[1, 2] a O[0, 0] a vektoru a = (1, 1) v transformaci podle
předcházejícího příkladu. [
T(A) = [ 1, 2] , T(0) = [ 1 + √ 2
, 2 − √ √ ]
3
2 2 4 2 2] , T(a) = (0, 2)
1.7 Určete matici inverzní transformace k transformaci podle cvičení 5 z této kapitoly.
[ určete T −1 , příp. (pořadí!) T −1 = R S,−45 0 ◦ D sx=2 ]
1.8 V prostoru E 2 určete afinní transformaci, která má samodružné body O[0, 0] a A[1, 0]
a obrazem bodu B[0, 1] je bod B ′ [1, 1].
⎡ ⎛ ⎞⎤
1, 0, 0
⎣T = ⎝ 1, 1, 0 ⎠⎦
0, 0, 1
1.9 Sestavte matici rotace – jako geometrické transformace v E 3 , je-li osou rotace přímka
o : x = −t , y = 2t , z = −1 ⎡ .
⎤
⎛
T = P −1
o→o 1
◦ R −1
o 1 →y ◦ R y,ϕ ◦ R o1 →y ◦ P o→o1 ;
4
cos ϕ + 1, 2
cos ϕ − 2, − ⎞
2√ 5
sin ϕ, 0
5 5 5 5 5
2
⎢ T = ⎜
cos ϕ − 2, 1
cos ϕ + 4, − √ 5
sin ϕ, 0
5 5 5 5 5 ⎣ ⎝
2 √ √
5
sin ϕ, 5
⎟ ⎥
sin ϕ, cos ϕ, 0 ⎠ ⎦
5 5
2 √ √
5
sin ϕ, 5
sin ϕ, cos ϕ − 1, 1 5 5

1.7. KONTROLNÍ OTÁZKY 19
1.10 Maticově popište geometrickou transformaci, která vznikne složením rotace okolo
osy z a posunutí ve směru ⎡ této osy (jde o popis šroubového ⎛ pohybu). ⎞⎤
cos ϕ, sin ϕ, 0, 0
⎢
⎣ matice transformace T = ⎜ − sin ϕ, cos ϕ, 0, 0
⎟⎥
⎝ 0, 0, 1, 0 ⎠⎦
0, 0, v 0 ϕ, 1
1.7 Kontrolní otázky
1.1 Jak se liší homogenní souřadnice vlastního a nevlastního bodu.
1.2 Pomocí geometrických transformací v rovině uved’te příklad dvou matic A a B, pro
něž A · B = B · A, tj. případ zaměnitelného pořadí dvou transformací.
1.3 Pomocí geometrických transformací v rovině uved’te příklad dvou matic A a B, pro
něž A · B ≠ B · A, tj. případ nezaměnitelného pořadí dvou transformací.
1.4 Matice transformace v P (E 3 ) je tvaru
⎛
T =
⎜
⎝
α, 0, 0, 0
0, β, 0, 0
0, 0, γ, 0
0, 0, 0, 1
Do následující tabulky doplňte pro dané hodnoty diagonálních prvků, o jaké souměrnosti
se jedná:
⎞
⎟
⎠ .
α β γ souměrnost podle
-1 1 1
-1 -1 1
-1 -1 -1
1 -1 1
1 1 -1
-1 1 -1
1 -1 -1
1.5 K maticím souměrností z předcházející otázky stanovte inverzní transformace a formulujte
obecné tvrzení o inverzní transformaci k souměrnosti.
1.6 Popište, jak je možné stanovit parametrické vyjádření translačních (vznikají posuvným
pohybem křivky), rotačních a šroubových ploch pomocí transformací.

Kapitola 2
Křivky
2.1 Základní pojmy
Křivkou rozumíme dráhu pohybujícího se bodu.
Křivka je jednoparametrická množina bodů, nebot’ pohyb je závislý na jediném parametru
– zpravidla jde o čas.
Obrázek 2.1: K definici křivky
Pomocí matematických prostředků je možné definovat regulární křivku takto:
Definice 1. Regulární křivkou třídy C n v E 3 rozumíme množinu K ⊂ E 3 (obr. 2.1), pro
níž existuje vektorová funkce P (t), t ∈ I tak, že
(a) P : I → K, I je otevřený interval,
(b) P je třídy C n ,
(c) |P ′ (t 0 )| ≠ 0 pro všechna t 0 ∈ I,
(d) t 1 ≠ t 2 ⇒ P (t 1 ) ≠ P (t 2 ).
20

2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 21
Je samozřejmě možné omezit se v definici na rovinu, tedy na prostor E 2 , tedy na
křivky ležící v rovině. Rovinnou křivkou rozumíme navíc ale i křivku, která je definována
v prostoru E 3 , ale všechny její body leží v jedné rovině.
Křivkou (bez přívlastku ”
regulární“) zpravidla rozumíme množinu bodů, která je po
částech regulární křivkou, tj. připouštíme, že v konečném počtu bodů jsou porušeny uvedené
podmínky.
Uvedená definice využívá tzv. vektorový popis křivky, který lze ale snadno rozepsat
do parametrických rovnic.
Příklad 6. Např. elipsa má parametrické vyjádření
její vektorový popis v E 2 je
Rovnice
x = a cos t, y = b sin t, t ∈ (0, 2π); a, b > 0,
P (t) = (a cos t, b sin t).
x = r cos t, y = r sin t, z = 2t, t ∈ (−π, π)
jsou vyjádřením části šroubovice. Vektorově můžeme psát
P (t) = (r cos t, r sin t, 2t).
I rovinnou křivku můžeme zapsat jako křivku v prostoru např.
je vyjádřením úsečky v prostoru.
2.1.1 Tečna a normála křivky
x = 1 + t, y = t, z = 2 − 0.5t, t ∈ 〈5, 6〉
Na křivce zvolíme bod T a v jeho okolí bod A. Tečna křivky je limitní polohou přímky
AT pro A → T (obr.2.2).
Pomocí vektoru první derivace můžeme definovat tečnu křivky jako přímku určenou
bodem křivky a tečným vektorem. Píšeme X = T + su, kde
u = (x ′ (t), y ′ (t), z ′ (t)), u ≠ o
je tečný vektor a T [T 1 , T 2 , T 3 ] dotykový bod.
Sečna je spojnice dvou bodů křivky.
Asymptota je tečna v nevlastním bodě.
Normála v bodě T je každá přímka kolmá k tečně v bodě T procházející bodem T .
Normálová rovina je množina všech normál v bodě křivky. Je to rovina kolmá k
tečně.
Úhel křivek k 1 , k 2 (protínajících se) je úhel jejich tečen v jejich průsečíku (obr.2.3).
Rovnoběžným nebo středovým průmětem prostorové křivky je rovinná křivka. Průmětem
tečny je tečna nebo bod.

2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 22
Obrázek 2.2: Obrázek 2.3:
2.1.2 Klasifikace bodů křivky
Bod, ve kterém má křivka jedinou tečnu určenou jediným nenulovým vektorem, nazýváme
regulární bod; v opačném případě bod nazveme singulární.
Různé typy singulárních bodů vidíme na obr. 2.4. Bod A v obrázku 2.4a) se nazývá
uzlový bod , body B a C v obrázku 2.4b) a c) jsou body vratu a bod D v obrázku
2.4d) je inflexní bod (ten je speciálním případem regulárního bodu).
Obrázek 2.4:
2.1.3 Rektifikace
Rektifikace oblouku křivky je rozvinutí oblouku křivky na přímku, tj. sestrojení úsečky
stejné velikosti, jako je délka oblouku křivky. Nejjednodušší rektifikace je založena na
náhradě křivky lomenou čarou (lineární interpolace) - obr. 2.5 . Na křivce zvolíme vhodný
počet bodů (na obr. 2.5 jsou označeny A 1 , A 2 , . . .), spojíme lomenou čarou a jednotlivé
úsečky přeneseme na přímku. Je zřejmé, že čím více bodů zvolíme, tím přesněji můžeme
zjistit délku křivky.
Věta 1. Délku oblouku prostorové křivky, pro kterou známe její parametrické vyjádření,
můžeme vypočítat pomocí integrálu
∫ t2
√
x′ (t) 2 + y ′ (t) 2 + z ′ (t) 2 dt,
t 1

2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 23
Obrázek 2.5: Obrázek 2.6:
kde t 1 a t 2 jsou krajní body oblouku křivky.
K rektifikaci oblouku kružnice se často užívalo přibližných konstrukcí jako např. konstrukce
Kochaňského, d’Ocagneova nebo Sobotkova. Použití počítačů v technických oborech
nám umožňuje zjistit délku oblouku mnohem pohodlněji i přesněji, proto i zde budeme
používat bud’ výpočtu pomocí integrálu, nebo pomocí lineární interpolace (jako součet
délek stran nahrazující lomené čáry).
Obráceně můžeme také navinout úsečku na křivku, tj. na dané křivce najdeme oblouk,
jehož délka se rovná velikosti dané úsečky.
2.1.4 Oskulační rovina a oskulační kružnice
Je dán bod T a tečna t v tomto bodě, na křivce zvolíme v okolí bodu T bod A. Rovina α je
určená bodem A a tečnou t. Limitní poloha této roviny při A → T se nazývá oskulační
rovina . V oskulační rovině leží jedna z normál křivky v daném bodě. Tuto normálu
nazýváme hlavní normála . Normála kolmá k oskulační rovině se nazývá binormála.
Určení rovnice oskulační roviny můžeme provést podle následujícího tvrzení:
Věta 2. Pokud jsou vektory P ′ a P ′′ v daném bodě P (t 0 ) křivky nekolineární, tj. daný bod
křivky není jejím inflexním bodem, pak oskulační rovina křivky v daném bodě je určena
vektory P ′ a P ′′ , tj. rovnici oskulační roviny můžeme psát ve tvaru
X(u, v) = P (t 0 ) + uP ′ (t 0 ) + vP ′′ (t 0 ) , u ∈ R, v ∈ R .
Na křivce k zvolíme libovolný regulární bod A. Dále na křivce zvolíme ještě další dva
body A 1 , A 2 . Body A, A 1 , A 2 je určena kružnice l. Oskulační kružnice křivky k v bodě
A je limitní polohou kružnice l(A, A 1 , A 2 ), jestliže A 1 → A a A 2 → A (obr.2.6). Střed
této kružnice nazýváme střed křivosti a poloměr r této kružnice nazýváme poloměr
křivosti. Číslo 1 k = 1 nazýváme první křivostí (flexí) křivky k v bodě A. Kromě toho
r
u křivek pracujeme i s druhou křivostí (torzí) 2 k, která vyjadřuje prostorové zakřivení
křivky, tedy zakřivení vzhledem k oskulační rovině. Návod k určení obou křivostí dává
následující věta.

2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 24
Věta 3. Pro regulární křivku s obecným parametrem platí
( 1 k) 2 = (P ′ × P ′′ ) 2
(P ′ · P ′ ) 3
2 k = (P ′ , P ′′ , P ′′′ )
(P ′ × P ′′ ) 2
Oskulační kružnice se v malém okolí bodu A velmi málo liší od křivky k, a proto
můžeme v okolí bodu A nahradit křivku její oskulační kružnicí. Toto nahrazení se používá
např. u kuželoseček, kde známe jednoduché konstrukce oskulačních kružnic ve vrcholech.
Oskulační kružnice leží v oskulační rovině křivky a má poloměr rovný převrácené hodnotě
první křivosti dané křivky v daném bodě. Pro polohový vektor středu S křivosti křivky v
bodě daném parametrem t 0 máme
S = P (t 0 ) + 1
1
k(t 0 ) n.
Křivky se dotýkají v daném bodě, mají-li v něm společnou tečnu.
Křivka může být dána i jiným způsobem, než jako dráha bodu, např. jako obálka
jednoparametrické soustavy křivek, ekvidistanta, evoluta, evolventa, cykloida nebo jako
průnik ploch.
Některé z těchto křivek dále popíšeme, ale více se zaměříme na prostorovou křivku
důležitou pro technickou praxi – šroubovici.
Obrázek 2.7: Obrázek 2.8:
Příklad 7. Pro prostorovou křivku danou vektorovou funkcí P (t), t ∈ I, určete jednotkové
vektory určující tečnu, hlavní normálu a binormálu tak, aby tvořily pravotočivý systém.
Řešení: Hledané jednotkové a vzájemně kolmé vektory označme t, n a b. Je zřejmé, že
t = P ′
|P ′ |
(jde o normování tečného vektoru). Vektory P ′ a P ′′ určují (pokud jde o neinflexní bod)
spolu s daným bodem křivky oskulační rovinu. Místo vektoru P ′ můžeme uvažovat již

2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 25
jednotkový vektor t. Pomocí vektorového součinu určíme vektor kolmý k oskulační rovině
a provedeme jeho normování. Pro vektor binormály tedy platí
b = t × P ′′
|t × P ′′ | .
Jednotkový vektor hlavní normály (pozor na pořadí vektorů) určíme již snadno pomocí
vektorového součinu jednotkových a na sebe kolmých vektorů (není již nutné normování):
2.1.5 Obálka
n = b × t.
Je dána jednoparametrická soustava křivek v rovině. Křivka u, které se dotýkají všechny
křivky soustavy se nazývá obálka soustavy křivek. Dotykový bod obálky a křivky
daného systému se nazývá charakteristický bod.
Na obrázku 2.7a) je křivka u obálkou soustavy přímek, na obrázku 2.7b) je dvojice
křivek u, u ′ obálkou soustavy elips. Na každé obálce je vyznačeno několik charakteristických
bodů.
Věta 4. Uvažujeme rovinnou křivku danou implicitní rovnicí F (x, y, α) = 0, kde α je
parametr popisující jednotlivé křivky dané soustavy křivek. Necht’ ∂2 F
≠ 0, tj. tvořící
∂α 2
křivka má s obalovou křivkou lokálně společný jen bod, tedy křivka se svým pohybem nereprodukuje.
Pak souřadnice bodů obalové křivky jsou řešením soustavy
F (x, y, α) = 0 ,
∂F (x, y, α)
∂α
= 0.
Uvažujeme-li α jako parametr, dostaneme obalovou křivku a α je její parametr.
Příklad 8. Určete obálku systému kružnic (x − α) 2 + y 2 = 1.
Řešení: Podle předcházející věty máme rovnice:
Dostáváme dvě rovnice
(x − α) 2 + y 2 = 1 ∂F
∂α
= 2(x − α)(−1) = 0 .
(x − α) 2 + y 2 − 1 = 0
x − α = 0
Dosazením z druhé rovnic do první, máme tuto rovnici y 2 − 1 = 0, tj. y = ±1. Obálkou
systému křivek jsou tedy dvě přímky y = 1 a y = −1. Výsledkem je samozřejmě v souladu
s tím, že v zadání šlo o jednotkovou kružnici, které se posouvá svým středem po ose x.
□
□

2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 26
2.1.6 Ekvidistanta
Máme dánu rovinnou křivku k. Okolo každého bodu této křivky opíšeme kružnici o
poloměru r. Jestliže existuje obálka této soustavy kružnic nazýváme ji ekvidistantou
křivky k - obr. 2.8.
Body ekvidistanty můžeme získat také jiným způsobem: v každém bodě A křivky k
sestrojíme hlavní normálu a naneseme na ni od bodu A úsečku o velikosti r. Tento postup
lze použít i pro prostorové křivky.
k
h
c
e
p
Obrázek 2.9: Obrázek 2.10:
2.1.7 Cykloida
Při odvalování křivky k po pevné křivce p opíše každý bod roviny křivku, kterou nazýváme
trajektorie (dráha).
Při odvalování kružnice k po přímce p opíše každý bod kružnice (prostou) cykloidu.
Bod uvnitř kružnice k opíše zkrácenou cykloidu a bod vně kružnice opíše prodlouženou
cykloidu. Na obrázku 2.9 je znázorněna cykloida c, zkrácená cykloida e a prodloužená
cykloida h.
2.1.8 Evoluta a evolventa
Jestliže existuje obálka hlavních normál rovinné křivky, nazýváme ji evolutou. Lze ji pak
také získat jako množinu středů křivosti křivky.
Evolventu křivky p získáme následujícím způsobem: Na křivce p zvolíme bod A, na
křivce volíme další body, v každém bodě A 1 sestrojíme tečnu a naneseme na ni délku
oblouku A 1 A. Takto získaný bod je bodem evolventy křivky p.
Můžeme také říci, že jestliže odvalujeme přímku po křivce p, bod přímky opisuje
evolventu.
Na obrázku 2.10 je část evolventy kružnice. Křivka q je evolventou kružnice p (kruhovou
evolventou). Kružnice p je evolutou křivky q.
2.1.9 Řídící kuželová plocha
Řídící kuželová plocha prostorové křivky je množina všech přímek, vedených pevným
bodem V rovnoběžně se všemi tečnami křivky (tečna křivky je rovnoběžná s povrchovou

2.2. ŠROUBOVICE 27
přímkou řídící kuželové plochy) (obr.2.11).
Obrázek 2.11:
2.2 Šroubovice
2.2.1 Základní pojmy
Definice 2. Šroubový pohyb vzniká složením rovnoměrného otáčivého pohybu kolem
pevné přímky (osy) a rovnoměrného posuvného pohybu ve směru této přímky.
Šroubovice je dráha bodu A při šroubovém pohybu, kde ω je úhel otočení a p posunutí
bodu A (obr. 2.12).
Výška závitu v je velikost posunutí bodu při otočení o 2π radiánů. Jestliže otočíme
bod o 1 radián, označíme velikost posunutí v 0 a nazýváme redukovanou výškou závitu.
Platí v 0 = v . 2π
Šroubovice (o, A, v 0 , {±}) je určena osou o, bodem A, redukovanou výškou závitu v 0
a informací o pravotočivosti nebo levotočivosti šroubovice (+ nebo −).
Šroubovice leží na rotační válcové ploše. Jestliže rozvineme tuto válcovou plochu do
roviny, šroubovice se rozvine do přímky. Pokud zavedeme souřadnicový systém tak, aby
stopník šroubovice (bod, ve kterém šroubovice protíná půdorysnu) ležel v počátku a osa
šroubovice byla rovnoběžná s osou y, je toto rozvinutí šroubovice grafem závislosti posunutí
na délce oblouku (neboli úhlu otočení) (obr.2.13).
2.2.2 Parametrické vyjádření šroubovice
Parametrické rovnice pravotočivé šroubovice, jejíž osou je osa z, r je poloměr válcové
plochy, na níž šroubovice leží, redukovaná výška závitu je v 0 a bod A[r, 0, 0], jsou
x = r cos ω, y = r sin ω, z = v 0 ω, ω ∈ (0, 2π).
Jestliže šroubovici umístíme tak, aby osa šroubovice byla kolmá na půdorysnu, pak
půdorysem šroubovice je kružnice a nárysem šroubovice je zobecněná sinusoida (křivka
odpovídající sinusoidě v afinitě).

2.2. ŠROUBOVICE 28
Obrázek 2.12:
Obrázek 2.13: Obrázek 2.14:
2.2.3 Tečna šroubovice a její průvodní trojhran
Věta 5. Tečny šroubovice svírají konstantní úhel s rovinou kolmou k ose šroubovice, resp.
s osou šroubového pohybu. Říkáme, že šroubovice je křivka konstantního spádu.
Důkaz: Určíme tečný vektor křivky a vypočteme odchylku tohoto vektoru od směrového
vektoru osy šroubovice. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že osou šroubovice je
osa z, tedy směrový vektor osy z = (0, 0, 1). Derivováním složek parametrické rovnice
šroubovice podle parametru ω vypočteme
Pro odchylku α vektorů z a P ′ platí
P ′ = (−r sin ω, r cos ω, v 0 ).
cos α = z · P ′
|z| · |P ′ | = v 0
1 · √r 2 + v 2 0
=
v
√ 0
.
r2 + v0
2
Z toho je zřejmé, že úhel α nezávisí na parametru ω a tedy odchylka tečny šroubovice od
její osy je ve všech bodech šroubovice stejná.

2.2. ŠROUBOVICE 29
Půdorysné stopníky tečen šroubovice leží na kruhové evolventě kružnice, která je
půdorysem šroubovice.
Věta 6. Řídící kužel šroubovice (řídící kuželová plocha), který je tvořen površkami
rovnoběžnými s tečnami šroubovice, je rotační, má výšku v 0 a poloměr podstavy r.
Důkaz: Tvrzení plyne z důkazu věty 5. Tečna šroubovice je rovnoběžná s přeponou
trojúhelníka o odvěsnách v 0 a r s tím, že odvěsna délky v 0 leží na ose šroubového pohybu.
Hlavní normála šroubovice je normála kolmá k ose a osu protíná.
Oskulační rovina je určena hlavní normálou a tečnou šroubovice.
Binormála je normála kolmá na oskulační rovinu.
2.2.4 Křivosti šroubovice
Provedeme výpočet první a druhé křivosti šroubovice. Máme
a vypočteme
Určíme vektor
P ′ = (−r sin ω, r cos ω, v 0 )
P ′′ = (−r cos ω, −r sin ω, 0).
q = P ′ × P ′′ = (rv 0 sin ω, −rv 0 cos ω, r 2 ).
Pro první křivost podle věty 3 obdržíme
√
1 r
k =
2 v0 2 + r 4
(r 2 + v 02 ) = r
3 r 2 + v . 2 0
První křivost šroubovice je tedy konstatní.
Pro druhou křivost vypočteme
2 k =
v 0 r 2
r 2 v 02 + r 4 = v 0
r 2 + v 0
2 .
Tedy i druhá křivost šroubovice je konstatní.
Provedený výpočet zřejmě nezáleží na orientaci šroubovice a ani na umístění osy.
Věta 7.
První křivost šroubovice je konstatní a platí
1 k =
r
r 2 + v 0
2 .
Druhá křivost šroubovice je konstatní a platí
2 k =
v 0
r 2 + v 0
2 .
Frenetův průvodní trojhran je tvořen tečnou, hlavní normálou a binormálou.

2.2. ŠROUBOVICE 30
Obrázek 2.15: Obrázek 2.16:
Poznámka 1.
Šipkou budeme v půdorysu vyznačovat směr klesání šroubovice.
Příklad 9. Sestrojíme průsečík šroubovice (o, A, v 0 , +) s rovinou α ‖ o - obr. 2.15.
Řešení: (obr.2.16)
1. Najdeme půdorys průsečíku A 1 šroubovice s rovinou α.
2. Pomocí velikostí v 0 a r sestrojíme graf závislosti výšky na délce oblouku.
3. Ze znalosti délky oblouku x = A 1 A 1 odečteme z grafu velikost výšky v x a tuto výšku
naneseme od bodu A 2 ve směru stoupání. Na ordinále pak najdeme bod A 2 .
□

2.2. ŠROUBOVICE 31
Obrázek 2.17: Obrázek 2.18:
Obrázek 2.19: Obrázek 2.20:

2.3. KONTROLNÍ OTÁZKY 32
Příklad 10. Sestrojíme průsečík šroubovice (o, A, v 0 , +) s rovinou β ⊥ o - obr. 2.17.
Řešení: (obr.2.18)
1. V nárysu zjistíme vzdálenost v x bodu A šroubovice od roviny β.
2. Pomocí velikostí v 0 a r sestrojíme graf závislosti výšky na délce oblouku.
3. Ze znalosti změny výšky, o kterou musí vystoupat bod A, odečteme z grafu délku
oblouku x, tento oblouk naneseme od bodu A 1 ve směru stoupání. Na ordinále pak
najdeme v rovině β bod A (rozumí se jeho nárys).
Příklad 11. Sestrojíme tečnu šroubovice (o, A, v 0 , +) v bodě A - obr. 2.19.
Řešení: (obr.2.20)
1. Určíme půdorys t 1 tečny t v bodě A.
2. Sestrojíme půdorys površky t řídícího kužele, která je rovnoběžná s tečnou (její
stopník najdeme na půdorysu šroubovice o úhel 90 o ve směru klesání od bodu A).
3. Odvodíme nárys P 2 stopníku P a nárys površky t.
4. Tečna prochází bodem A a je rovnoběžná s t.
□
□
2.3 Kontrolní otázky
2.1 Definujte hlavní normálu prostorové křivky.
2.2 Definujte řídící kuželovou plochu prostorové křivky.
2.3 Jakou první a druhou křivost má přímka?
2.4 Jakou první a druhou křivost má kružnice?
2.5 Uved’te definici šroubového pohybu.
2.6
Čím je určen šroubový pohyb?
2.7 Definujete parametr v 0 šroubového pohybu?
2.8 Uved’te vztah mezi výškou závitu šroubovice a redukovanou výškou závitu.
2.9 Definujte (dvěma způsoby) evolutu křivky a přibližně načrtněte evolutu elipsy.

Kapitola 3
Obecné poznatky o plochách
3.1 Základní pojmy
Plocha je
• jednoparametrická soustava křivek (plocha vzniká pohybem křivky, která není dráhou
pohybu - křivka se může během pohybu měnit)
• dvouparametrická soustava bodů
Obrázek 3.1: Obrázek 3.2:
Podobně jako u křivek nyní uvedeme ”
matematickou“ definici plochy. Používáme zde
značení parametrů, které vychází z tenzorové symboliky. V dalším textu budeme ale pro
jednoduchost místo parametrů u 1 , u 2 používat označení u, v:
Definice 3. Regulární plochou třídy C n v E 3 rozumíme množinu P ⊂ E 3 , pro niž existuje
vektorová funkce P (u 1 , u 2 ), (u 1 , u 2 ) ⊂ Ω, kde Ω je oblast (otevřená kompaktní množina),
taková že
(a) P : Ω → P je zobrazení na množinu,
(b) P je třídy C n (n ≥ 3),
(c) ∂P
∂u 1
a ∂P
∂u 2 jsou lineárně nezávislé ve všech bodech oblasti Ω,
33

3.1. ZÁKLADNÍ POJMY 34
(d) (u 1 0, u 2 0) ∈ Ω,(u 1 1, u 2 1) ∈ Ω a (u 1 0, u 2 0) ≠ (u 1 1, u 2 1) ⇒ P (u 1 0, u 2 0) ≠ P (u 1 1, u 2 1).
Klasifikace ploch
Plocha vzniká pohybem křivky, proto nás zajímají dva způsoby klasifikace ploch: podle
druhu pohybu a podle tvořící křivky. V následujících dvou tabulkách jsme plochy
roztřídili podle těchto dvou hledisek.
Podle druhu pohybu
Název Pohyb Příklad
translační posunutí válec, rovina
rotační rotace rot. válec, rot. kužel, rot. hyperboloid
šroubové šroubový pohyb cyklická šroubová plocha, vývrtková plocha
Podle tvořící křivky
Název Křivka Příklad
přímkové přímka kuželová plocha, hyperbolický paraboloid
cyklické kružnice válec, Archimédova serpentina
jiné jiná křivka kvadriky, obalové, grafické
Rovnice plochy
• Parametrické vyjádření:
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), u ∈ I, v ∈ J
(např. parametrické vyjádření rotační válcové plochy je x = 3 cos u, y = 3 sin u, z =
v, u ∈ 〈0, 2π〉, v ∈ R
nebo zápis pomocí vektorové funkce: r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
jestliže u = konst. dostáváme:
x = x(u 0 , v), y = y(u 0 , v), z = z(u 0 , v) v-křivky, (pro uvedený válec jsou v-
křivkami přímky)
jestliže v = konst. dostáváme:

3.2. ÚLOHY NA PLOCHÁCH 35
x = x(u, v 0 ), y = y(u, v 0 ), z = z(u, v 0 ) u-křivky, (pro uvedený válec jsou u-
křivkami kružnice)
• Explicitní tvar: z = f(x, y) (např. z = 3x + 7y − 9)
• Implicitní vyjádření: F (x, y, z) = 0 (např. 3x 2 + y 2 + 4z − 2x = 0)
Křivka na ploše je křivka, jejíž body vyhovují rovnici plochy. Speciálními křivkami
na ploše jsou parametrické křivky. Jsou charakterizovány tím, že jeden z parametrů je
konstantní.
Tečná rovina plochy je množina tečen křivek plochy v daném bodě. Tečna plochy
je přímka tečné roviny, která prochází dotykovým bodem.
Normála plochy je kolmice k tečné rovině plochy v bodě dotyku. Dvě plochy se
dotýkají v daném bodě, jestliže v něm mají společnou tečnou rovinu.
Průniková křivka je množina společných bodů dvou ploch.
Bod na ploše je regulární, jestliže v něm existuje právě jedna tečná rovina a singulární
v ostatních případech.
Přímky na ploše rozdělujeme na regulární, kdy v každém bodě přímky existuje jiná
tečná rovina - tečné roviny tvoří svazek rovin (např. přímky na rotačním jednodílném
hyperboloidu) a torzální, kdy existuje jediná tečná rovina podél celé přímky (např.
přímky na kuželové ploše).
3.2 Úlohy na plochách
• Tečná rovina τ v bodě T a normála plochy:
1. zvolíme dvě křivky k 1 , k 2 na ploše procházející bodem T (vhodné jsou např.
tvořící křivka a dráha pohybu, při řešení úlohy výpočtem pak je vhodné zejména
parametrické křivky),
2. určíme tečny t 1 a t 2 k těmto křivkám (předpokládáme, že jsou různé),
3. tečná rovina τ je určena tečnami t 1 a t 2 (obr. 3.2),
4. normálu plochy určíme jako kolmici k tečné rovině v daném bodě.
• Řez plochy rovinou ϱ a tečna řezu:
1. zvolíme křivku k plochy
2. průnikem křivky k s rovinou ϱ je bod K (jeden bod řezu)
3. opakováním bodů 1) a 2) dostáváme jednotlivé body řezu (obr. 3.3).
4. tečna řezu je průsečnicí tečné roviny a roviny řezu (obr. 3.4).
• Průsečík přímky p s plochou κ:
1. proložíme rovinu ϱ přímkou p,

3.2. ÚLOHY NA PLOCHÁCH 36
Obrázek 3.3: Obrázek 3.4:
2. určíme řez plochy κ rovinou ϱ, dostaneme průnikovou křivku k,
3. průnik přímky p a křivky k je hledaný průsečík X (obr. 3.5).
Obrázek 3.5: Obrázek 3.6:
• Průnik dvou ploch α a β:
1. zvolíme pomocnou rovinu ϱ,
2. najdeme průnikovou křivku k 1 roviny ϱ s plochou α,
3. najdeme průnikovou křivku k 2 roviny ϱ s plochou β,
4. průsečík P křivek k 1 a k 2 je bodem průniku ploch α a β (obr. 3.6),
5. opakováním bodů 1)-4) najdeme požadovaný počet bodů průniku ploch α a β,
6. tečna průnikové křivky v daném bodě je průsečnicí tečných rovin obou ploch v
daném bodě (jiná možnost určení tečny průnikové křivky spočívá v konstrukci
kolmice k rovině dané normálami daných ploch v daném bodě).
Skutečný obrys plochy tvoří body plochy, v nichž jsou promítací přímky tečnami
plochy. Zdánlivý obrys plochy je průmět skutečného obrysu plochy.

3.3. VÝPOČETNÍ ŘEŠENÍ NĚKTERÝCH ÚLOH NA PLOCHÁCH 37
3.3 Výpočetní řešení některých úloh na plochách
Uved’me některé důležité věty z diferenciální geometrie ploch.
Věta 8. Všechny tečny regulárních křivek na regulární ploše v daném bodě leží v jedné
rovině.
Důkaz: Uvažujme křivku ( u(t), v(t) ) na ploše P ( u, v ) . Určíme
dP
dt = ∂P
∂u · du
dt + ∂P
∂v · dv
dt = P 1 · du
dt + P 2 · dv
dt .
Tedy každý tečný vektor je lineární kombinací nekolineárních vektorů P 1 a P 2 .
Na základě této věty můžeme stanovit rovnici tečné roviny plochy dané parametrickým
(nebo vektorovým) vyjádřením tak, že určíme tečné vektory parametrických křivek pomocí
parciálního derivování. Tyto vektory tvoří zaměření tečné roviny. Normálu plochy
pak vypočteme pomocí operace vektorového násobení.
Příklad 12. Pro plochu danou vektorovým vyjádřením
P (u, v) = (u 2 cos v, u 2 sin v, u) , u ∈ (0, +∞) , v ∈ (0, 2π) .
určete v obecném bodě tečnou rovinu a normálu.
Řešení: Pomocí parciálního derivování určíme tečné vektory parametrických křivek:
P 1 (u, v) = ∂P
∂u
= (2u cos v, 2u sin v, 1) ,
P 2 (u, v) = ∂P
∂v = (−u2 sin v, u 2 cos v, 0) ,
n(u, v) = P 1 × P 2 = (−u 2 cos v, −u 2 sin v, 2u 3 ) .
Tečná rovina v daném bodě A je určena uvedenými tečnými vektory. Normála je
pak určena daným bodem vektorem normály. Obecně lze tedy tečnou rovinu vyjádřit ve
vektorovém tvaru
X(α, β) = A + αP 1 + βP 2 , α ∈ R , β ∈ R .
Vektorový popis normály v daném bodě A je tvaru
Y (γ) = A + γn , γ ∈ R .
Zadanou plochou je rotační paraboloid, který vzniká rotací paraboly z = x okolo
osy z. Parametrickými křivkami jsou jednotlivé polohy rotující paraboly a rovnoběžkové
kružnice.
□
Věta 9. Necht’ je plocha dána implicitním vyjádřením f(x 1 , x 2 , x 3 ) = 0. Pak jejím normálovým
vektorem (v daném bodě) je vektor n = (f 1 , f 2 , f 3 ), jehož složky jsou dány parciálními
derivacemi funkce f.

3.4. GAUSSOVA KŘIVOST PLOCHY 38
Příklad 13. Pro plochu danou implicitním vyjádřením
f(x, y, z) = x 2 + y 2 − z = 0 .
určete v bodě X[1, 1, 2] tečnou rovinu a normálu.
Řešení: Pomocí věty 9 stanovíme vektor normály plochy v daném bodě:
n = ( ∂f
∂x
(1, 1, 2),
∂f
∂y
∂f
(1, 1, 2), (1, 1, 2)) = (2, 2, −1) .
∂z
Tečná rovina je pak určena bodem X a svým normálovým vektorem, tj. normálovým
vektorem plochy. Tečná rovina má tedy rovnici (absolutní člen vyjde nulový)
2x + 2y − z = 0 .
Poznamenejme, že jde o rotační kuželovou plochu s vrcholem v počátku souřadnicového
systému a s osou v ose z.
□
3.4 Gaussova křivost plochy
V bodě X plochy uvažujme normálu n a touto normálou proložme svazek rovin. Každá
z rovin tohoto svazku vytváří na ploše řez. Uvažujme orientovanou první křivost těchto
řezů (nazýváme je normálové řezy) a označme k max , resp. k min , největší, resp. nejmenší,
z hodnot, kterých orientované křivosti nabývají.
Pokud není hodnota první křivosti pro všechny normálové křivosti stejná, pak řezy,
pro které dostaneme extrémní první křivosti, leží v rovinách na sebe kolmých.
Gaussovou křivostí v bodě plochy rozumíme číslo G = k max · k min .
3.5 Parametrické vyjádření ploch
Nyní se vrátíme k otázce parametrizace ploch, které vznikají pohybem křivky. Jestliže v
transformační matici existuje jeden parametr, může matice popisovat pohyb. Příkladem
je rotace nebo šroubový pohyb, kde parametrem bude úhel otočení.
Uvažujme prostorovou křivku
Y (v) = (x(v), y(v), z(v)), v ∈ I v . (3.1)
a matici T transformace (např. rotace nebo šroubového pohybu, ale může jít i o jiný pohyb).
Parametr pohybu označme u, tedy matice transformace se stává maticovým popisem
pohybu a značíme ji T(u). Parametrické vyjádření plochy, která vznikne daným pohybem
dané křivky, pak můžeme snadno zapsat ve tvaru
P h (u, v) = Y h (v)T(u) , v ∈ I v , u ∈ I u , (3.2)
kde P h (u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v), 1] a Y h (v) = [x(v), y(v), z(v), 1] je vyjádření bodu
na ploše a bodu na křivce v homogenních souřadnicích.

3.5. PARAMETRICKÉ VYJÁDŘENÍ PLOCH 39
Pomocí vztahu (3.2) odvodíme parametrické vyjádření rotační plochy, která vzniká
rotaci dané (obecně prostorové) křivky okolo osy z. Platí
⎛
⎞
cos u, sin u, 0, 0
P h (u, v) = [x(v), y(v), z(v), 1] · ⎜ − sin u, cos u, 0, 0
⎟
⎝ 0, 0, 1, 0 ⎠ , v ∈ I v, u ∈ I u . (3.3)
0, 0, 0, 1
Snadno dostaneme po vynechání homogenizující složky parametrické rovnice rotační
plochy, že platí
P (u, v) = (x(v) cos u − y(v) sin u, x(v) sin u + y(v) cos u, z(v)) , u ∈ I u , v ∈ I v , (3.4)
což je vyjádření, které jsme uvedli v kapitole o rotačních plochách na straně 42 – rovnice
(4.3).
Podobně je možné odvodit parametrické vyjádření šroubové plochy, která vzniká pohybem
dané prostorové křivky a která má osu v ose z, je dáno v 0 a uvádíme obě možnosti
orientace šroubového pohybu (znaménko plus pro kladnou orientaci, znaménko minus pro
zápornou orientaci):
P h (u, v) = [x(v), y(v), z(v), 1] ·
⎛
⎜
⎝
cos u, sin u, 0, 0
− sin u, cos u, 0, 0
0, 0, 1, 0
0, 0, ±v 0 u, 1
⎞
⎟
⎠ , v ∈ I v, u ∈ I u . (3.5)
Po vynechání homogenizující složky parametrické rovnice šroubové plochy dostaneme
P (u, v) = (x(v) cos u−y(v) sin u, x(v) sin u+y(v) cos u, z(v)±v 0 u) , u ∈ I u , v ∈ I v , (3.6)
což je vyjádření, které jsme uvedli v kapitole o šroubových plochách na straně 51 – rovnice
(5.3).
Použití transformací pro odvození rovnic ploch ale dovoluje podstatně více. Je možné
použít např. rotaci okolo jiné souřadnicové osy nebo okolo osy obecně umístěné. Podobně
je možné postupovat u šroubových ploch. Tvořící křivka může při daném pohybu podléhat
i tvarové změně v závislosti na pohybovém parametru, čímž vznikají objekty, kterými
se v tomto textu nezabýváme, ale které jsou využívány v kategorii “sweep” moderních
CAD/CAM systémů.
Příklad 14. Uved’me, jakou Gaussovu křivost mají některé plochy:
• Rovina má ve všech bodech nulovou Gaussovu křivost, nebot’ normálovými řezy jsou
přimky a tedy k max = k min = 0.
• Normálovými řezy na kulové ploše jsou kružnice se středem ve středu kulové plochy.
Jejich křivost je 1 , kde r je poloměr kulové plochy. Tedy pro kulovou plochu platí,
r
že ve všech bodech G = 1 .
r 2
• Na rotační válcové ploše jsou normálovými řezy s extrémní křivostí površka a
rovnoběžková kružnice, tedy k max = 1 a k r min = 0. V libovolném bodě rotační
válcové plochy tedy G = 1 · 0 = 0. Roviny normálových řezů pro uvedené dvě
r
extrémní křivosti jsou na sebe kolmé.

3.6. KONTROLNÍ OTÁZKY 40
• Anuloidem (kruhovým prstencem) rozumíme rotační plochu, která vznikne rotací
kružnice okolo osy ležící v rovině této kružnice. Necht’ osová kružnice anuloidu, tj.
kružnice, po které se pohybuje při rotaci střed kružnice, má poloměr a a necht’
rotující kružnice má poloměr r, r < a. Pro Gaussovu křivost v bodech anuloidu,
které leží nejblíže ose, máme (není ale jasné, která z těchto křivostí je menší, proto
uvedené označení)
k 1 = 1 r , k 2 = 1
a − r , G = − 1
r(a − r) .
Gaussova křivost je v tomto případě záporná, nebot’ orientace uvedených křivostí je
opačná, tj. středy uvedených dvou kružnic leží na opačných částech (polopřímkách)
normály.
3.6 Kontrolní otázky
3.1 Popište, jak lze obecně určit tečnou rovinu a normálu plochu.
3.2 Popište, jak lze určit tečnou rovinu a normálu plochu z parametrických rovnic plochy.
3.3 Popište, jak lze zkonstruovat tečnu řezu plochy.
3.4 Uved’te dva způsoby určení tečny průnikové křivky dvou ploch (návod: pomocí
tečných rovin nebo pomocí normál ploch).

Kapitola 4
Rotační plochy
4.1 Základní pojmy
Rotační plocha vzniká rotací křivky k kolem přímky o. Předpokládáme, že křivka k
nesplývá s přímkou o a neleží v rovině kolmé na přímku o (obr. 4.1, 4.2). Při řešení úloh
v Mongeově promítání budeme volit osu o zpravidla kolmou k půdorysně.
Křivku k nazýváme tvořící křivka rotační plochy, přímku o osou rotační plochy.
Obrázek 4.1: Obrázek 4.2:
Rovnoběžková kružnice (rovnoběžka) r A je kružnice, která vznikne rotací libovolného
bodu A tvořící křivky kolem osy o.
Meridián (poledník) je řez rotační plochy rovinou, procházející osou rotační plochy;
hlavní meridián m je meridián ležící v rovině rovnoběžné s průmětnou.
Tečnou rovinu rotační plochy určujeme tečnami dvou křivek plochy procházejících
daným bodem. Obvykle je tečná rovina určena bud’ tečnou meridiánu (t m ) a tečnou
rovnoběžkové kružnice (t r ), nebo tečnou tvořící křivky (t k ) a tečnou rovnoběžkové kružnice
(t r ).
Normála n rotační plochy je kolmice na tečnou rovinu v bodě dotyku.
41

4.2. PARAMETRICKÉ VYJÁDŘENÍ ROTAČNÍ PLOCHY 42
4.2 Parametrické vyjádření rotační plochy
Rotační plocha vznikne otáčením tzv. tvořící křivky k kolem osy o. Necht’ osou otáčení o
je souřadnicová osa z a křivka k je dána vektorovou funkcí Y (v), v ∈ I v (obr. 4.3).
Obrázek 4.3:
Pro křivku k označme složky její vektorové rovnice
Y (v) = (x(v), y(v), z(v)), v ∈ I v . (4.1)
Trajektorií bodu Y (v) křivky k je kružnice, která leží v rovině kolmé k o = z. Tato
kružnice má střed S na ose o a její poloměr je roven r(v) = |SY (v)| = √ [x(v)] 2 + [y(v)] 2 .
Pro polohový vektor bodu X rotační plochy platí
X(u, v) = (r(v) cos u, r(v) sin u, z(v)) , (4.2)
kde pro parametry u, v platí u ∈ 〈0, 2π) a v ∈ I v . Tak jsme odvodili vektorovou rovnici
rotační plochy, která vznikne rotací křivky k (může být i prostorová).
Stanovení parametrického vyjádření rotační plochy lze ale provést také obecným postupem
pomocí transformační matice – viz str. 38. Tak snadno odvodíme odvodíme i jiný
tvar rovnice rotační plochy:
X(u, v) = (x(v) cos u − y(v) sin u, x(v) sin u + y(v) cos u, z(v)) , u ∈ R , v ∈ I v . (4.3)
Rozdíl v uvedených dvou tvarech parametrického popisu rotační plochy je patrný
při studiu parametrických křivek. Jedním systémem parametrických křivek jsou v obou
případech rovnoběžkové kružnice. Druhým systémem parametrických křivek jsou v případě
(4.2) polomeridiány dané rotační plochy. Pokud použijeme vyjádření (4.3), je druhý
systém parametrických křivek tvořen polohami tvořící křivky při daném pohybu.

4.3. VLASTNOSTI ROTAČNÍCH PLOCH 43
Příklad 15. Určíme parametrické vyjádření rotační plochy, která vznikne rotací přímky
Y (v) = (1 − v, 5v, 5v) kolem osy z. Dále určíme tečnou rovinu a normálu plochy v bodě
A = [1; 0; 0].
Řešení: Vyjdeme ze vztahu (4.2). Poloměr trajektorie bodu je r(v) = √ (1 − v) 2 + (5v) 2 =
√
1 − 2v + 26v2 . Plochou je jednodílný rotační hyperboloid a vektorová rovnice plochy je
X(u, v) = ( √ 1 − 2v + 26v 2 cos u, √ 1 − 2v + 26v 2 sin u, 5v), u ∈ 〈0, 2π), v ∈ R.
P 1 (u, v) = ∂P
∂u = (−√ 1 − 2v + 26v 2 sin u, √ 1 − 2v + 26v 2 cos u, 0)
P 2 (u, v) = ∂P
∂v = ( −2 + 52v
2 √ 1 − 2v + 26v cos u, −2 + 52v
2 2 √ sin u, 5).
1 − 2v + 26v2 Bod A = [1; 0; 0] získáme volbou parametrů u = 0, v = 0, dosadíme tyto hodnoty
do vypočtených parciálních derivací a dostaneme dva vektory ze zaměření tečné roviny
P 1 (0, 0) = (0, 1, 0), P 2 (0, 0) = (−1, 0, 5). Normálový vektor roviny vypočteme pomocí
vektorového součinu
n = P 1 (0, 0) × P 2 (0, 0) = (0, 1, 0) × (−1, 0, 5) = (5, 0, 1).
Rovnice tečné roviny po dopočítání absolutního členu je 5x + z − 5 = 0 a vektorová
rovnice normály n(t) = (1 + 5t, 0, t), t ∈ R.
□
4.3 Vlastnosti rotačních ploch
• Rotační plocha je souměrná podle své osy a podle roviny každého meridiánu.
• Tečná rovina rotační plochy je kolmá k rovině meridiánu procházející dotykovým
bodem.
• Tečné roviny rotační plochy v bodech téže rovnoběžkové kružnice obalují bud’
rotační kuželovou plochu, nebo rotační válcovou plochu nebo rovinu.
• Tečny meridiánu v bodech téže rovnoběžkové kružnice tvoří bud’ rotační kuželovou
plochu, nebo rotační válcovou plochu nebo rovinu (obr. 4.4, 4.5).
• Normála rotační plochy protíná osu nebo je s ní rovnoběžná.
• Normály rotační plochy v bodech téže rovnoběžkové kružnice tvoří bud’ rotační
kuželovou plochu, nebo rotační válcovou plochu nebo rovinu.
Rovnoběžková kružnice se nazývá
hrdlo, jestliže tečny podél této rovnoběžky tvoří rotační válcovou plochu a poloměr
je lokálním minimem, tj. ze všech okolních rovnoběžek je tento poloměr nejmenší,
rovník, jestliže tečny podél této rovnoběžky tvoří rotační válcovou plochu a poloměr
je lokálním maximem, tj. ze všech okolních rovnoběžek je tento poloměr největší,
kráter, jestliže tečny podél této rovnoběžky tvoří rovinu.

4.4. KLASIFIKACE ROTAČNÍCH PLOCH 44
2,5
2,5
2
2
1,5
1,5
1
1
1
-1
0,5
-0,5
0,5
00
0
-0,5
0,5
-1
1
0,5
0
-1 -0,5 0
0,5
1
Obrázek 4.4:
Obrázek 4.5:
Skutečným obrysem rotační plochy při pravoúhlém promítání na rovinu rovnoběžnou s
osou je hlavní meridián a hraniční kružnice plochy. V případě kolmého průmětu na rovinu
kolmou k ose jsou skutečným obrysem hrdelní, rovníkové a hraniční kružnice plochy.
Zdánlivým obrysem rotační plochy je průmět skutečného obrysu.
4.4 Klasifikace rotačních ploch
Podle typu tvořící křivky dělíme rotační plochy následovně:
Název Tvořící křivka Rotační plocha
Přímkové přímka p ‖ o válcová
přímka p různoběžná s o
kuželová
přímka p mimoběžná s o
jednodílný rotační hyperboloid
Cyklické kružnice k ⊂ β, o ⊂ β anuloid
kružnice k ⊂ β, o ⊄ β
globoid
kružnice k ⊂ β, o ⊂ β a S ∈ o kulová plocha
Rotační elipsa e ⊂ β, o ⊂ β rotační elipsoid
kvadriky parabola p ⊂ β, o ⊂ β rotační paraboloid
hyperbola (rotace okolo vedlejší osy) jednodílný rotační hyperboloid
hyperbola (rotace okolo hlavní osy) dvojdílný rotační hyperboloid
Obecné
4.5 Úlohy na rotačních plochách
Příklad 16. Rotační plocha je dána osou o a tvořící křivkou k. Sestrojte tečnou rovinu
v bodě M ∈ k - obr. 4.6.

o 2
A 2
r A2
k 2
4.5. ÚLOHY NA ROTAČNÍCH PLOCHÁCH 45
m 2
A 1
k 1
o 1
S 2
x12
m 1
r A1
M 2
M 2
r M2
k 2
o 2
k 2
o 2
t´ 2
t 2
t 1
k 1
o 1
x 12
M 1
t´ 1
k 1
o 1
x 12
M 1
r M1
Obrázek 4.6:
Obrázek 4.7:
Řešení: (obr. 4.7)
1. Sestrojíme nárys a půdorys rovnoběžkové kružnice r procházející bodem M.
2. Sestrojíme v bodě M tečnu t k rovnoběžkové kružnici.
3. Sestrojíme v bodě M tečnu t ′ ke křivce k.
4. Tečná rovina τ je určena tečnami t a t ′ .
Příklad 17. Rotační plocha je dána osou o a hlavním meridiánem m. Sestrojíme tečnou
rovinu plochy v bodě M ∈ k, je-li dáno M 2 - obr. 4.8.
Řešení: (obr. 4.9)
1. Sestrojíme nárys a půdorys rovnoběžkové kružnice r procházející bodem M a odvodíme
půdorys bodu M.
2. Sestrojíme v bodě M tečnu t k rovnoběžkové kružnici.
3. Najdeme bod M hlavního meridiánu, ležící na stejné rovnoběžkové kružnici jako
bod M.
4. Sestrojíme v bodě M tečnu t M k meridiánu.
5. Použitím vlastnosti, že tečny meridiánu v bodech téže rovnoběžkové kružnice se
protínají na ose, sestrojíme tečnu t ′ meridiánu v bodě M.
6. Tečná rovina τ je určena tečnami t a t ′ .
□
Důležitou úlohu představuje určení řezu rotační plochy rovinou ρ. Použijeme obecný
postup z úvodní kapitoly o plochách, ale provedeme modifikaci pro rotační plochy. Nejprve
najdeme vhodnou křivku na ploše. Touto vhodnou křivkou je na rotační ploše
rovnoběžková kružnice, kterou dostaneme jako řez pomocnou rovinou kolmou na osu
rotační plochy. Tuto rovinu využijeme i při hledání průsečíků křivky s rovinou ρ.
□

4.5. ÚLOHY NA ROTAČNÍCH PLOCHÁCH 46
m 2
o 2
m 2
o 2
t´ 2
M 2
M 2
r M2
M 2
t 2
m 1
o 1
x 12
m 1
o 1
x 12
M 1
r M1
M 1
t´ 1
t 1
Obrázek 4.8:
Obrázek 4.9:
Příklad 18. Rotační plocha je dána osou o a meridiánem m. Sestrojíme řez rotační plochy
rovinou ρ, která je určena stopami - obr. 4.10.
Řešení: (obr. 4.11)
1. Zvolíme pomocnou rovinu α kolmou k ose o rotační plochy. V nárysu se tato rovina
promítne do přímky kolmé k ose o.
2. Sestrojíme průnik roviny α s rotační plochou. Průnikem je rovnoběžková kružnice
k α , jejíž poloměr najdeme v nárysu ve skutečné velikosti (je to vzdálenost průsečíku
roviny α s meridiánem od osy). Nárysem této kružnice je úsečka, půdorysem kružnice.
3. Určíme průnik roviny α s rovinou ρ. Průnikem je hlavní přímka h α roviny ρ, odvodíme
ji do půdorysu.
4. v půdoryse najdeme průsečíky A, A hlavní přímky h α s rovnoběžkovou kružnicí k α .
Tyto body jsou zároveň průsečíky kružnice k α s rovinou ρ. Z půdorysu je odvodíme
na hlavní přímku h α do nárysu.
5. Body A, A jsou dva body řezu rotační plochy rovinou ρ.
6. Postup opakujeme volbou další roviny kolmé k ose. Na obr. 4.11 jsou sestrojeny
čtyři body průniku roviny ϱ s touto plochou. Body A, A jsme sestrojili v pomocné
rovině α (α ⊥ o), body B, B v pomocné rovině β (β ⊥ o). Tímto způsobem najdeme
dostatečný počet bodů, kterými pak proložíme křivku řezu.
Poznámka 2. Jestliže je rotační plochou rotační kvadrika, je řezem kuželosečka. V tomto
případě můžeme řez sestrojit přesněji.
□

4.6.
PRŮNIKY ROTAČNÍCH PLOCH 47
Obrázek 4.10: Obrázek 4.11:
4.6 Průniky rotačních ploch
Použijeme algoritmus pro určení průniku ploch, pouze použijeme speciální typ plochy ϱ
pro jednotlivé vzájemné polohy (obr. 4.12).
a) Pokud osy rotačních ploch splývají, jsou průnikovými křivkami společné rovnoběžkové
kružnice.
b) Pokud jsou osy rotačních ploch rovnoběžné, volíme jako plochu ϱ rovinu kolmou na
osy.
c) Pokud jsou osy rotačních ploch různoběžné, volíme jako plochu ϱ kulovou plochu se
středem v průsečíku os.
d) Pokud jsou osy rotačních ploch mimoběžné, použijeme obecný algoritmus.
4.7 Rotační kvadriky
• singulární (vzniknou rotací singulární kuželosečky)
a) rotační válcová plocha x2 + y2
= 1
a 2 a 2
b) rotační kuželová plocha x2 + y2
− z2 = 0
a 2 a 2 c 2
• regulární (vzniknou rotací regulární kuželosečky)
a) kulová plocha x 2 + y 2 + z 2 = r 2

4.8. CVIČENÍ 48
b) elipsoid x2 + y2
+ z2 = 1
a 2 a 2 c 2
b) paraboloid x2
2p + y2
2q ± z = 0
b) hyperboloid
Obrázek 4.12:
jednodílný x2 + y2
− z2 = 1
a 2 a 2 c 2
dvojdílný − x2
a 2
− y2
a 2 z 2
c 2 = 1
Řezem rotační kvadriky je kuželosečka.
Konstrukce řezu:
- najít 5 prvků (5 bodů, 3 body a 2 tečny ve dvou z nich, apod.) a použít Pascalovu
větu
- nebo v konkrétních případech najít určující prvky řezu (např. hlavní osy elipsy).
Průnikem rotačních kvadrik je křivka 4. stupně.
Věta 10. Průnik dvou rotačních kvadrik se rozpadne na dvě kuželosečky právě tehdy, když
existuje kulová plocha současně vepsaná oběma kvadrikám.
4.8 Cvičení
4.1 Sestavte parametrické rovnice plochy, která vznikne rotací obecné přímky okolo osy.
(Návod: za osu rotace zvolte souřadnicovou osu.)
4.2 Sestavte parametrické rovnice anuloidu. (Návod: za osu anuloidu zvolte souřadnicovou
osu.)
4.3 Rozhodněte, jaká plocha je popsána parametrickým vyjádřením:
x = a cos u cos v , y = a cos u cos v , z = b sin u , u ∈ (− π 2 , π ) , v ∈ (0, 2π) .
2

4.9. KONTROLNÍ OTÁZKY 49
4.4 Pro plochu z předcházejícího cvičení určete tečnou rovinu a normálu v bodě, který
odpovídá parametrům u = 0, v = π.
4.5 Dokažte, že normála rotační plochy nemůže být mimoběžná s osou této plochy.
(Návod: plochu umístěte tak, že její osa je souřadnicovou osou; dokažte, že vektor
osy, vektor normály ve zvoleném bodě a polohový vektor zvoleného bodu jsou
lineárně závislé.)
4.6 Určete Gaussovu křivost v bodech rovníkové kružnice anuloidu. Jaké bude mít
znaménko?
4.9 Kontrolní otázky
4.1 Uved’te, jakým postupem se konstruuje průnik dvou rotačních ploch v závislosti na
poloze jejich os.
4.2 Popište dva způsoby vytvoření rotačního jednodílného hyperboloidu.
4.3 Vyjmenujte rotační kvadriky a rozdělte je na singulární a regulární.
4.4 Uved’te nutnou a postačující podmínku pro rozpad průniku dvou rotačních kvadrik
na dvě kuželosečky.

Kapitola 5
Šroubové plochy
5.1 Základní pojmy
Obrázek 5.1:
Šroubová plocha vzniká šroubovým pohybem
křivky k. Šroubový pohyb je dán osou o,
redukovanou výškou závitu v 0 a orientací
{±} (o, v 0 , {±}). Křivku k nazýváme tvořící
křivkou. Tečná rovina τ je obvykle určena
tečnou ke šroubovici t s a tečnou k tvořící křivce
t k .
Normála šroubové plochy je kolmice k tečné
rovině v bodě dotyku.
Osový řez (podélný profil) je řez šroubové
plochy rovinou σ, procházející osou šroubové
plochy.
Meridián je osový řez na jednom závitu plochy.
Polomeridián je osový řez polorovinou s
hraniční přímkou o na jednom závitu plochy.
Čelní řez (příčný profil, normální řez) je řez
šroubové plochy rovinou ϱ, kolmou na osu.
5.2 Parametrické vyjádření šroubové plochy
Šroubová plocha vznikne šroubovým pohybem tzv. tvořící křivky k kolem osy o. Necht’ osou
šroubového pohybu o je souřadnicová osa z, parametr šroubového pohybu je v 0 a křivka
k je rovinná (leží v rovině xz) a je dána vektorovou funkcí Y (v), v ∈ I v .
Pro křivku k označme složky její vektorové rovnice
Y (v) = (x(v), 0, z(v)), v ∈ I v . (5.1)
50

5.3. VLASTNOSTI ŠROUBOVÝCH PLOCH 51
Trajektorií bodu Y (v) křivky k je šroubovice s osou z. Pro polohový vektor bodu X
šroubové plochy platí
X(u, v) = (x(v) cos u, x(v) sin u, z(v) ± v 0 u) , (5.2)
kde pro parametry u, v platí u ∈ R a v ∈ I v . Tak jsme odvodili vektorovou rovnici
šroubové plochy pro speciální případ, kdy tvořící křivka je částí meridiánu. Konkrétní
znaménko plus nebo minus v rovnici (5.2) volíme podle toho, zda jde o pravotočivý (plus)
nebo levotočivý (mínus) pohyb.
V obecném případě, kdy tvořící křivka je prostorová, resp. neleží v rovině xz, má
šroubová plocha vyjádření
X(u, v) = (x(v) cos u−y(v) sin u, x(v) sin u+y(v) cos u, z(v)±v 0 u) , u ∈ R , v ∈ I v . (5.3)
Odvození uvedeného vyjádření vychází z obecného postupu vytváření ploch pomocí
transformačních matic – viz str. 38.
Příklad 19. Určíme parametrické vyjádření šroubové plochy, která vznikne šroubovým
pohybem kružnice ležící v rovině xz se středem v bodě S = [2, 0, 0, ] a poloměrem r = 1.
Osou šroubového pohybu je osa z, parametr v 0 = 3, pohyb je pravotočivý. Dále určíme
tečnou rovinu a normálu plochy v bodě A = [1; 0; 0].
Řešení: Tvořící křivka (kružnice) má vektorovou rovnici Y (v) = (2 + cos v, 0, sin v).
Plochou je osová cyklická šroubová plocha a její vektorová rovnice je
X(u, v) = ((2 + cos v) cos u, (2 + cos v) sin u, sin v + 3u), u ∈ R, v ∈ 〈0, 2π).
P 1 (u, v) = ∂P = (−(2 + cos v) sin u, (2 + cos v) cos u, 3)
∂u
P 2 (u, v) = ∂P = (− sin v cos u, − sin v sin u, cos v).
∂v
Bod A = [1; 0; 0] získáme volbou parametrů u = 0, v = π, dosadíme tyto hodnoty
do vypočtených parciálních derivací a dostaneme dva vektory ze zaměření tečné roviny
P 1 (0, π) = (0, 1, 3), P 2 (0, π) = (0, 0, −1). Normálový vektor roviny vypočteme pomocí
vektorového součinu
n = P 1 (0, 0) × P 2 (0, 0) = (0, 1, 3) × (0, 0, −1) = (−1, 0, 0).
Rovnice tečné roviny po dopočítání absolutního členu je x − 1 = 0 a vektorová rovnice
normály n(t) = (1 − t, 0, 0), t ∈ R.
□
5.3 Vlastnosti šroubových ploch
• Každým bodem šroubové plochy prochází šroubovice s A , která leží na této šroubové
ploše (obr. 5.1).
• Každým bodem šroubové plochy prochází (alespoň) jedna poloha tvořící křivky.

5.4. KLASIFIKACE ŠROUBOVÝCH PLOCH 52
• Všechny polomeridiány jedné šroubové plochy jsou shodné.
• Všechny čelní řezy jedné šroubové plochy jsou shodné.
• Existuje pouze jediná rozvinutelná šroubová plocha – plocha tečen šroubovice.
5.4 Klasifikace šroubových ploch
Klasifikace podle tvořící křivky:
Název Tvořící křivka Šroubová plocha
Přímková plocha Přímka p Otevřená - p, o mimoběžky
-pravoúhlá
Přímka p
-kosoúhlá – speciálně rozvinutelná šroubová plocha
Uzavřená - p, o různoběžky
-pravoúhlá
-kosoúhlá – vývrtková plocha)
Cyklická plocha Kružnice k - vinutý sloupek (k ∈ β, β je kolmá na o)
- osová (k ∈ β, o ∈ β)
- Archimédova serpentina
(k ∈ β, β je kolmá k tečně t)
- ostatní
5.5 Úlohy na šroubových plochách
Příklad 20. Sestrojíme 2 body řezu cyklické šroubové plochy polorovinou α, procházející
osou o. - obr. 5.2.
Řešení: (obr. 5.3)
1. Na tvořící křivce zvolíme bod A.
2. Bodem A proložíme šroubovici, která leží na šroubové ploše (zakreslíme půdorys).
3. Sestrojíme průsečík A této šroubovice s rovinou α.
4. Totéž opakujeme pro bod B.
Uvědomte si , že graf závislosti je nutné konstruovat pro každý bod znovu, nebot’ pro
šroubovice se mění poloměr příslušné válcové plochy.
Tečkovaně je vyznačen tvar celého řezu.
□
Příklad 21. Sestrojíme bod řezu osové cyklické šroubové plochy rovinou α (α ⊥ o). -
obr. 5.4.
Řešení: (obr. 5.5) Postup je podobný jako v předchozím příkladě, pouze z výšky odvozujeme
délku oblouku.
1. Na tvořící křivce zvolíme bod A.

5.5. ÚLOHY NA ŠROUBOVÝCH PLOCHÁCH 53
Obrázek 5.2: Obrázek 5.3:
2. Bodem A proložíme šroubovici s A , která leží na šroubové ploše (zobrazíme v půdorysu).
3. Sestrojíme průsečík A této šroubovice s rovinou α. (Sestrojíme graf závislosti výšky
na oblouku (rozvinutá šroubovice s A - známe v 0 a r A ). V nárysu zjistíme vzdálenost
v A bodu A od roviny α. Z grafu odvodíme délku x A oblouku příslušnou k výšce v A .
Délku oblouku x A naneseme na půdorys šroubovice ve směru stoupání (protože bod
s A je pod rovinou α). Nárys bodu A najdeme v rovině α.)
Další body bychom sestrojovali stejným způsobem. Uvědomte si , že graf závislosti je
nutné konstruovat pro každý bod znovu (mění se poloměr).
Tečkovaně je vyznačen tvar celého řezu.
□
Příklad 22. Sestrojíme tečnou rovinu a normálu šroubové plochy, která je určena tvořící
křivkou k a šroubovým pohybem (o, v 0 , +). - obr. 5.6.
Řešení: (obr. 5.7)
1. Sestrojíme v bodě A tečnu r ke křivce k (nárys i půdorys).
2. Sestrojíme půdorys šroubovice s procházející bodem A.
3. Sestrojíme v bodě M tečnu t ke šroubovici s (její nárys odvodíme pomocí površky
p řídícího kužele).
4. Tečná rovina τ je určena tečnami t a r.
5. Normála n je kolmá k tečné rovině τ (sestrojíme hlavní přímky - v našem případě
je frontální hlavní přímka totožná s přímkou r).
□

5.6. CVIČENÍ 54
5.6 Cvičení
Obrázek 5.4: Obrázek 5.5:
5.1 Pomocí transformací sestavte parametrické vyjádření šroubové plochy, která vzniká
pravotočivým šroubovým pohybem přímky dané body A a B okolo osy x, v 0 = 1,
A[0, 1, 1], B[1, 1, 0].
5.2 Sestavte parametrické vyjádření osové cyklické šroubové plochy.
5.3 Sestavte parametrické rovnice uzavřené pravoúhlé přímkové šroubové plochy.
5.4 Na površce plochy z předcházejícího příkladu zvolte dva různé body a výpočtem
ukažte, že normály v nich nejsou kolineární.
5.7 Kontrolní otázky
5.1 Popište vznik tzv. Archimédovy serpentiny.
5.2 Popište konstrukci normály šroubové plochy a porovnejte možnosti její konstrukce
se stejnou úlohou pro rotační plochy.

5.7. KONTROLNÍ OTÁZKY 55
Obrázek 5.6: Obrázek 5.7:

Kapitola 6
Obalové plochy
6.1 Základní pojmy
Obalová plocha Ω vzniká pohybem P jiné
plochy α. Plochu α nazýváme tvořící plocha.
Charakteristika c je křivkou dotyku mezi
tvořící plochou α a vznikající obalovou plochou
Ω – obr. 6.1. Charakteristika c při pohybu
P vytváří plochu Ω, tj.
Obrázek 6.1:
P(Ω) = P(c).
Pokud chceme najít průnik obalové plochy s rovinou,
najdeme charakteristiku, to znamená tvořící
křivku rotační, šroubové nebo jiné plochy a tím
převedeme danou úlohu na úlohu, kterou již
známe z předchozích kapitol.
Hlavní náplní této kapitoly je tedy hledání charakteristiky na různých typech obalových
ploch.
Příklady obalových ploch:
Pohyb Tvořící plocha Obalová plocha
Posunutí Kulová plocha Rotační válcová plocha
Rotace okolo osy o Rovina ϱ ‖ o Rotační válcová plocha
Rotace okolo osy o Rovina ϱ ̸‖ o Rotační kuželová plocha
Rotace okolo osy o Kulová plocha, S /∈ o Anuloid
Šr. pohyb s osou o Rovina ϱ ̸‖ o Rozv. šroubová plocha
Šr. pohyb s osou o Kulová plocha, S /∈ o Archimédova serpentina
56

6.2. CHARAKTERISTIKA ROVINY 57
6.2 Charakteristika roviny
Charakteristikou c roviny α při rotačním (osa o), resp. šroubovém pohybu ( o, v 0 , +), je
přímka c této roviny. Platí c = α ∩ β, kde rovina β prochází osou o a je kolmá k rovině β.
• Při rotačním pohybu roviny α různoběžné s osou rotace o je výslednou obalovou
plochou rotační kuželová plocha a charakteristikou (obr. 6.2) je spádová přímka,
která protíná osu rotace .
Obrázek 6.2:
• Při rotačním pohybu roviny α rovnoběžné s osou o rotace je výslednou obalovou
plochou rotační válcová plocha a charakteristikou je přímka rovnoběžná s osou,
která má nejmenší vzdálenost od osy rotace (obr. 6.3).
Obrázek 6.3:
• Při šroubovém pohybu roviny α rovnoběžné s osou o je výslednou obalovou plochou
opět rotační válcová plocha a charakteristikou spádová přímka, která má
nejmenší vzdálenost od osy rotace.

6.2. CHARAKTERISTIKA ROVINY 58
• Při šroubovém pohybu (o, v 0 , +) roviny α různoběžné s osou o je výslednou obalovou
plochou plocha tečen šroubovice – rozvinutelná šroubová plocha a charakteristikou
je přímka c, která je zároveň tečnou šroubovice dané šroubovým pohybem
(o, v 0 , +) (obr. 6.4).
Obrázek 6.4:
Určení charakteristiky c je poněkud náročnější, proto si popíšeme hledání charakteristiky
roviny při šroubovém pohybu ještě v následujícím příkladě, kde přímo určíme
površku k řídící kuželové plochy.
Příklad 23. Sestrojíme charakteristiku roviny ρ při šroubovém pohybu (o, v 0 , +) - obr.
6.5.
Řešení: (obr.6.6)
1. Sestrojíme libovolnou spádovou přímku s první osnovy (s 1 ⊥p ρ 1, s 2 odvodíme pomocí
stopníků).
2. Sestrojíme površku k řídícího kužele (V ∈ k, k ‖ s).
3. Najdeme půdorysný stopník P přímky k.
4. Stopníkem prochází půdorys šroubovice (kružnice se středem v o 1 a poloměrem
o 1 P 1 ).
5. Sestrojíme tečnu c šroubovice. Tečna je rovnoběžná s površkou řídícího kužele k,
dotykový bod najdeme na půdorysu šroubovice o 90 ◦ otočený od bodu P 1 ve směru
stoupání šroubovice.
6. Nárys přímky c odvodíme například pomocí stopníků nebo rovnoběžnosti c a k.
7. Přímka c je hledanou charakteristikou.
□

6.3. CHARAKTERISTIKA KULOVÉ PLOCHY 59
Obrázek 6.5: Obrázek 6.6:
6.3 Charakteristika kulové plochy
Charakteristikou kulové plochy při libovolném pohybu je kružnice ležící v rovině kolmé
na tečnu dráhy
středu kulové plochy a procházející středem kulové plochy. Kružnice má stejný poloměr
jako kulová plocha.
• Při posunutí kulové plochy ve směru přímky o je výslednou obalovou plochou rotační
válcová plocha a charakteristikou kružnice, která leží v rovině kolmé na směr pohybu
a procházející středem kulové plochy (obr. 6.7).
Obrázek 6.7:
• Charakteristikou c kulové plochy při rotačním pohybu (osa o) je kružnice ležící v
rovině kolmé na tečnu ke kružnici, kterou opisuje střed kulové plochy při rotačním

6.3. CHARAKTERISTIKA KULOVÉ PLOCHY 60
pohybu (rovina prochází středem kulové plochy). Z toho plyne, že charakteristika
c kulové plochy při rotaci leží v rovině určené osou o rotace a středem S kulové
plochy. Vzniklou obalovou plochou je anuloid (obr. 6.8).
Obrázek 6.8:
• Charakteristikou c kulové plochy při šroubovém pohybu (o, v 0 , ±), je kružnice
ležící v rovině kolmé na tečnu šroubovice, po které se pohybuje střed kulové plochy.
Vzniklou obalovou plochou je Archimédova serpentina (obr. 6.9).
Obrázek 6.9:
V dalších odstavcích jsou popsány metody, které umožňují konstrukci jednotlivých bodů
charakteristiky v případě, že tvořící plochou je plocha rotační (metoda kulových ploch),

6.4. METODA KULOVÝCH PLOCH 61
6.4 Metoda kulových ploch
Užití: tvořící plocha je rotační.
1. Na tvořící ploše α zvolíme rovnoběžkovou kružnici p.
2. Určíme kulovou plochu τ, která se dotýká tvořící plochy α podél kružnice p.
3. Určíme charakteristiku c kulové plochy τ při daném pohybu 1 .
4. Společné body (pokud existují) charakteristiky c a rovnoběžkové kružnice p náleží
hledané charakteristice plochy α při daném pohybu 2 .
Obrázek 6.10: Obrázek 6.11:
Příklad 24. Sestrojíme dva body charakteristiky komolého rotačního kužele při rotaci
okolo osy o - obr. 6.10.
Řešení: (obr.6.11)
Řešení vychází z poznámek uvedených v obecném postupu, tj. konstruována je jen
rovina charakteristiky.
1. Na tvořící ploše α (kuželi) zvolíme rovnoběžkovou kružnici p.
2. Určíme kulovou plochu τ, která se dotýká tvořící plochy α podél kružnice p.
3. Určíme charakteristiku c kulové plochy τ při daném pohybu. Charakteristikou kulové
plochy je kružnice, která se do půdorysu promítne jako úsečka AB, nárys nemusíme
konstruovat.
1 Stačí určit jen rovinu γ, v níž leží charakteristika c.
2 Pokud jsme v předcházejícím bodě našli jen rovinu γ, určíme případné průsečíky roviny γ s
rovnoběžkovou kružnicí p.

6.4. METODA KULOVÝCH PLOCH 62
4. Body charakteristiky (pokud existují) jsou průsečíky kružnice p a charakteristiky
kulové plochy τ (v půdorysu sestrojíme průsečíky X, Y a odvodíme na kružnici p
do nárysu).
5. Další body charakteristiky bychom sestrojili podobně, jen zvolíme novou rovnoběžkovou
kružnici a vepsanou kulovou plochu. Celý postup zopakujeme.
Příklad 25. Sestrojíme hlavní meridián obalové plochy vzniklé rotací rotačního kužele
při rotaci okolo osy o - obr. 6.12.
Řešení: (obr.6.13)
1. Použijeme postup z příkladu 24 a sestrojíme body X, Y charakteristiky.
2. Dále postupujeme stejně jako při sestrojování meridiánu rotační plochy (body X, Y
jsou body tvořící křivky: Sestrojíme rovnoběžkovou kružnici rotační plochy s osou
o procházející body X, Y . Průsečíky X ′ a Y ′ rovnoběžkových kružnic s rovinou
meridiánu µ jsou body meridiánu).
3. Další body a získáme novou volbou rovnoběžkové kružnice p a vepsané kulové plochy
a celý postup zopakujeme.
□
Na obrázku je vyznačen tvar charakteristiky a meridiánu.
□
o 2
o 1
m 1
V 2
V 1
Obrázek 6.12:
Y 2
p 2 V 2
p X 1=Y1
1
V 1
X 2
Y' 2
o 1
o 2
X' 2
X' =Y' 1 1
Obrázek 6.13:
Příklad 26. Sestrojíme dva body charakteristiky obalové plochy vzniklé šroubovým pohybem
(o, v 0 , +) rotačního kužele - obr. 6.14.
Řešení: (obr.6.15)

6.5. METODA TEČNÝCH ROVIN 63
1. Na tvořící ploše α (kuželi) zvolíme rovnoběžkovou kružnici p.
2. Určíme kulovou plochu τ, která se dotýká tvořící plochy α podél kružnice p.
3. Určíme charakteristiku c kulové plochy τ při daném pohybu. Charakteristikou kulové
plochy je kružnice. Ta leží v rovině kolmé k tečně šroubovice, po které se pohybuje
střed kulové plochy τ. (Sestrojíme tečnu t a hlavní přímky roviny procházející
středem kulové plochy a kolmé na tečnu.)
4. Body charakteristiky (pokud existují) jsou průsečíky kružnice p a charakteristiky
kulové plochy τ. V půdorysu sestrojíme průsečíky X, Y a odvodíme do nárysu. (Dvě
kružnice na kulové ploše mohou mít nejvýše dva průsečíky. Proto je zřejmé, že dva
průsečíky v nárysu jsou jen zdánlivé. Nárys a půdorys skutečného průsečíku musí
ležet na ordinále.)
5. Další body charakteristiky bychom sestrojili podobně, jen zvolíme novou rovnoběžkovou
kružnici a vepsanou kulovou plochu. Celý postup zopakujeme.
□
V 2
v 0
o 1
o 2
f 2
t 2
t 2
V 2
X 2
h 2
p 2
Y 2
v 0
P 2
P 1
X 1
V 1
f 1
h 1
t 1
p 1
Y 1
o 1
o 2
t 1
V 1
Obrázek 6.14:
Obrázek 6.15:
6.5 Metoda tečných rovin
Užití: Tvořící plocha α je rozvinutelná.
1. Na tvořící ploše α zvolíme povrchovou přímku p.
2. Určíme rovinu τ, která se dotýká tvořící plochy α podél přímky p.
3. Určíme charakteristiku c roviny τ při daném pohybu.
4. Společné body (pokud existují) charakteristiky c a površky p náleží hledané charakteristice
plochy α při daném pohybu.

6.5. METODA TEČNÝCH ROVIN 64
Příklad 27. Sestrojíme charakteristiku a hlavní meridián obalové plochy vzniklé rotací
šikmého kruhového válce při rotaci okolo osy o - obr. 6.16.
Řešení: (obr.6.17)
Řešení vychází z obecného postupu.
1. Na tvořící ploše α (šikmém kruhovém válci) zvolíme povrchovou přímku p.
2. Určíme rovinu τ, která se dotýká tvořící plochy α podél přímky p: V průsečíku
přímky p s podstavou válce sestrojíme tečnu t k podstavě. Tečna t leží v půdorysně,
proto její nárys splyne s osou x 12 . Přímky p a t určují tečnou rovinu τ.
3. Určíme charakteristiku c roviny τ při rotačním pohybu. Je to spádová přímka roviny
τ (v půdorysu kolmá na t, protože t je hlavní přímkou roviny τ).
4. Průsečík charakteristiky c a površky p je jedním bodem hledané charakteristice
plochy α při daném pohybu. Označíme ho X.
5. Dále postupujeme stejně jako při sestrojování meridiánu rotační plochy (X je bod
tvořící křivky: Sestrojíme rovnoběžkovou kružnici rotační plochy s osou o procházející
bodem X. Průsečík X ′ rovnoběžkové kružnice s rovinou meridiánu µ je bod meridiánu).
6. Další body získáme novou volbou površky p a opakováním celého postupu.
Na obrázku je vyznačen tvar charakteristiky a meridiánu.
□
X 2
X' 2
t=x 2 12
o 2
p 2
c 1
o 1 X' 1
m 1
X p 1 1
t 1
Obrázek 6.16:
Obrázek 6.17:
Příklad 28. Sestrojíme charakteristiku obalové plochy vzniklé šroubovým pohybem (o,
v 0 , +) kruhového kužele - obr. 6.18.
Řešení: (obr.6.19)
Tuto úlohu není možné řešit metodou kulových ploch (tvořící plocha není rotační, jde
o kruhový, tj. šikmý kužel).
Řešení vychází z obecného postupu.

6.6. URČENÍ OBALOVÉ PLOCHY VÝPOČTEM 65
Obrázek 6.18: Obrázek 6.19:
1. Na tvořící ploše α (kuželi) zvolíme povrchovou přímku p.
2. Určíme rovinu τ, která se dotýká tvořící plochy α podél přímky p: V průsečíku
přímky p s podstavou válce sestrojíme tečnu t k podstavě. Přímky p a t určují
tečnou rovinu τ. Tečna t je hlavní přímkou roviny τ (je rovnoběžná s půdorysnou),
určíme ještě ještě jednu hlavní přímku procházející vrcholem V , popř. stopy roviny
τ (zde jsme našli pouze nárysnou stopu).
3. Určíme charakteristiku c roviny τ při šroubovém pohybu pomocí postupu z příkladu
23.
4. Průsečík charakteristiky c a površky p je jedním bodem hledané charakteristice
plochy α při daném pohybu. Označíme ho X.
5. Další body bychom získali novou volbou površky p a opakováním celého postupu.
□
Úlohu 24 by bylo možné řešit nejen metodou kulových ploch, ale i metodou tečných
rovin.
6.6 Určení obalové plochy výpočtem
Uvažujme nyní obecnější případ, totiž situaci, kdy tvořící plocha koná nejen pohyb, ale
navíc se může v závislosti na parametru pohybu tato tvořící plocha měnit. Předpokládáme,
že tvořící plocha a vznikající obalová plocha se pro každou hodnotu parametru dotýkají
podél křivky a nemají společné části (plochy). Podobně jako v případě křivek můžeme
formulovat větu, která je teoretickým východiskem pro stanovení rovnice obalové plochy.

6.6. URČENÍ OBALOVÉ PLOCHY VÝPOČTEM 66
Věta 11. Pro obalovou plochu jednoparametrického systému ploch f(x, y, z, α) = 0 platí:
pro bod [x, y, z] ležící na obalové ploše existuje α tak, že
f(x, y, z, α) = 0
a
∂
f(x, y, z, α) = 0 .
∂α
Tedy popis obalové plochy získáme tak, že ze soustavy (obecně nelineárních algebraických
rovnic)
∂
f(x, y, z, α) = 0 , f(x, y, z, α) = 0
∂α
eliminujeme (vyloučíme) α.
Příklad 29. Uvažujme systém jednotkových kulových ploch:
Určete obalovou plochu a charakteristiku.
(x − α) 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 .
Řešení: Podle věty 11 stanovíme příslušnou parciální derivaci a provedeme vyloučení
pohybového parametru:
∂f
∂α
= 2(x − α) · (−1) = 0 ⇒ x − α = 0.
Rovnice obalové plochy je y 2 + z 2 − 1 = 0, což je v E 3 rotační válcová plocha a v E 2
charakteristika (v rovině x = α). Výsledek je očekávaný, nebot’ zadán byl posuvný pohyb
jednotkové kulové plochy ve směru osy x.
□
Příklad 30. Uvažujme systém kulových ploch:
Určete obalovou plochu.
(x − 2α) 2 + y 2 + z 2 − α 2 = 0 .
Řešení: Opět jde o posouvání kulové plochy, ale kulová plocha nyní mění při tomto
pohybu poloměr, a to poloviční rychlostí, než je rychlost pohybu. Postupujeme opět podle
věty 11 :
∂f
∂α = 2(x − 2α) · (−2) − 2α = 0 ⇒ α = 3 2 x .
Rovnice obalové plochy je − 1 3 x2 +y 2 +z 2 = 0, což je v rotační kuželová plocha s vrcholem
v počátku a s osou v ose x.
□

6.7. CVIČENÍ 67
6.7 Cvičení
6.1 Uvažujte jednoparametrický systém rovin cos α·x−sin α·y−z = 0 a určete příslušnou
obalovou plochu.(Návod: pro vyloučení parametru použijte umocnění každé z rovnic
na druhou a sečtěte je.)
6.2 Pro rovinu rovnoběžnou s osou určete obalovou plochu, která vzniká rotací této
roviny okolo osy. (Návod: Za osu rotace zvolte některou souřadnicovou osu, sestavte
implicitní rovnici rovnoběžné roviny ve vhodné poloze a pak do rovnice roviny
zaved’te parametr rotace okolo zvolené souřadnicové osy. Další výpočet již proved’te
aplikováním věty 11.)
6.8 Kontrolní otázky
6.1 Definujte charakteristiku obalové plochy a vysvětlete význam této křivky pro řešení
dalších úloh o obalových plochách.
6.2 Pro které tvořící plochy lze pro konstrukci charakteristiky použít metodu kulových
ploch a pro které metodu tečných rovin.
6.3 Uved’te příklad tvořicí plochy, jejíž charakteristiku lze konstruovat jak metodou
tečných rovin, tak metodou kulových ploch. Uměli byste pojmenovat všechny takové
plochy?
6.4 Jak se liší úlohy, které lze řešit pomocí uvedených metod graficky a výpočetně?
Uved’te příklad úlohy, kterou můžete řešit jen výpočetně.

Kapitola 7
Rozvinutelné plochy
7.1 Základní pojmy
Torzální površkou přímkové plochy rozumíme přímku p, pro kterou platí, že v každém
jejím bodě je stejná tečná rovina τ, tj. tečná rovina τ se dotýká plochy podél torzální
površky p.
Přímková plocha je rozvinutelná, jestliže všechny její površky jsou torzální.
Rozvinutelná plocha je obalovou plochou pohybující se roviny.
Věta 12. Plocha je rozvinutelná, právě když ve všech jejích bodech je Gaussova křivost
nulová.
7.2 Typy rozvinutelných ploch
Věta 13. Rozvinutelnými plochami jsou pouze následující plochy a jejich části: rovina,
válcové plochy – obr. 7.1, kuželové plochy – obr. 7.2 a plochy tečen prostorových
křivek – obr. 7.3.
Obrázek 7.1: Obrázek 7.2:
68

7.3. METODY KOMPLANACE 69
Válcová plocha je určena rovinnou křivku k (k ⊂ σ) a směrem s, který nenáleží
dané rovině (s ̸‖ σ), a je tvořena přímkami, které protínají křivku k a jsou směru s.
Kuželová plocha je určena rovinnou křivku k (k ⊂ σ) a bodem V , který neleží v
rovině dané křivky (V ∉ σ), a je tvořena přímkami, které protínají křivku k a procházejí
bodem V .
V projektivním rozšíření euklidovského prostoru lze definovat válcovou a kuželovou
plochu jednou definicí, a to jako množinu přímek, které protínají danou křivku k a
procházejí daným vrcholem V . Oba typy ploch se liší tím, zda vrchol V je vlastní, pak
jde o kuželovou plochu, nebo je nevlastní, pak jde o válcovou plochu.
Obrázek 7.3: Obrázek 7.4:
Plocha tečen prostorové křivky je určena prostorovou křivkou k a je tvořena jejími
tečnami. Na obr. 7.3 jsou uvedeny dva příklady takové plochy. Příkladem plochy tečen je
rozvinutelná šroubová plocha, která je tvořena tečnami šroubovice – obr. 7.4. Řezem této
plochy rovinou kolmou k ose šroubového pohybu je kruhová evolventa, tj. křivka, která
vzniká jako trajektorie bodu přímky odvalující se po kružnici.
7.3 Metody komplanace
Komplanací neboli rozvinutím rozumíme zobrazení ϕ rozvinutelné plochy do roviny,
které zachovává délky a úhly.
Obecné metody pro rozvinutí jsou dány následující tabulkou.
Typ rozvinutelné plochy
Obecná válcová plocha
Obecná kuželová plocha
Plocha tečen prostorové křivky
Metoda rozvinutí
Normálový řez
Triangulace
Triangulace
7.3.1 Metoda normálového řezu
Normálovým řezem válcové plochy rozumíme řez rovinou kolmou na povrchové
přímky plochy. Takový řez se při rozvinutí zobrazí na přímku kolmou na obrazy površek.
Při rozvinutí válcové plochy postupujeme takto:

7.3. METODY KOMPLANACE 70
1. Vedeme libovolnou rovinu ϱ kolmou na povrchové přímky válcové plochy.
2. Určíme řez k dané válcové plochy rovinou ϱ.
3. V rozvinutí se křivka k zobrazí do úsečky 0 k. Délka obrazu se rovná délce vzoru, tj.
délku úsečky 0 k určíme pomocí rektifikace křivky k.
Pokud chceme v rozvinutí zobrazit další křivku ležící na dané obecné válcové ploše,
stačí na povrchové přímky vynášet úseky površky mezi normálovým řezem a danou
křivkou.
Normálovým řezem na rotační válcové ploše je např. její podstava. Oblouk šroubovice
ležící na dané rotační válcové ploše se rozvine do úsečky.
Obrázek 7.5: Obrázek 7.6:
Příklad 31. Na obr. 7.5 je provedeno rozvinutí poloviny pláště rotačního válce s řezem
rovinou σ. Normálovým řezem je podstava k. Vzdálenost x površek v rozvinutí se rovná
délce oblouku na podstavě.
Příklad 32. Na obr. 7.6 je provedeno rozvinutí poloviny pláště kruhového (kosého) válce.
Rovina ϱ normálového řezu je zobrazena v nárysu (volíme jednu z rovin kolmých na
površky). Normálovým řezem je elipsa, jejíž hlavní poloosa se rovná poloměru kružnice
podstavy. Normálový řez je vyznačen ve sklopení. Délky oblouků elipsy ve sklopení určují
vzdálenosti jednotlivých površek v rozvinutí (např. délky x a y). V daném případě mají
v rozvinutí všechny površky stejnou délku. Poměr, v němž dělí bod normálového řezu
površku, zjistíme z nárysu, nebot’ površky jsou rovnoběžné s nárysnou.
7.3.2 Metoda triangulace
Podstatou této metody je náhrada plochy mnohostěnem, který má trojúhelníkové stěny.
V případě kuželových ploch volíme trojúhelníky tak, že mají vždy jeden vrchol ve
vrcholu kuželové plochy. Pro rotační kuželovou plochu platí, že podstava k se rozvine
do oblouku kružnice, jehož délka se musí rovnat obvodu kružnice k. Poloměr oblouku v
rozvinutí se rovná délce úseku površky mezi vrcholem a podstavou.

7.4.
TEČNA KŘIVKY V ROZVINUTÍ 71
Obrázek 7.7: Obrázek 7.8:
Příklad 33. Na obr. 7.7 je zobrazeno rozvinutí části rotační kuželové plochy. Pro určení
skutečných délek úseků površek plochy je využito rotace površky do roviny obrysové
površky.
Příklad 34. Na obr. 7.8 je zobrazeno rozvinutí části kruhové kuželové plochy. Použita
je triangulace a celý postup spočívá v určování skutečných délek úseček (úseků površek
plochy). K tomu je využito otočení do polohy rovnoběžné s nárysnou. Površky určené
bodem 1, resp. 7, na podstavě se zobrazují v nárysu ve skutečné velikosti.
7.4 Tečna křivky v rozvinutí
Obrazem tečny křivky na ploše je tečna křivky v rozvinutí.
Vzhledem k tomu, že rozvinutí je zobrazení, které zachovává úhly, je možné určit tečnu
křivky v rozvinutí pomocí určení úhlu površky a tečny křivky na ploše.
Příklad 35. Na obr. 7.7 je zkonstruována tečna křivky řezu v rozvinutí. K určení úhlu
tečny a površky je využito trojúhelníka 3P 1¯3, pro nějž je určena skutečná velikost pomocí
skutečných délek jeho stran. Bod ¯3 je bodem řezu, bod 3 leží na podstavě a bod P 1 je
průsečíkem tečny s podstavnou rovinou. Přímka 3P 1 je tečnou podstavy.
7.5 Rozvinutí rozvinutelné šroubové plochy
Rozvinutelnou šroubovou plochu lze rozvinout tak, že určíme obraz hrany vratu, tj.
určující šroubovice. Platí, že šroubovice vratu se v rozvinutí zobrazí do kružnice, pro
jejíž poloměr ρ platí
ρ = r2 + v0
2 ,
r
což je převrácená hodnota první křivosti šroubovice v souladu s větou 7 (str. 29).

7.6. KONSTRUKCE A ROZVINUTÍ PŘECHODOVÉ ROZVINUTELNÉ PLOCHY 72
Příklad 36. Na obr. 7.9 je zobrazeno rozvinutí části rozvinutelné šroubové plochy. Pro
šroubovici vratu je určen poloměr ρ, který je poloměrem příslušného oblouku v rozvinutí.
Obrazem kruhové evolventy, která je řezem dané plochy půdorysnou, je opět kruhová
evolventa. Pro zobrazení daných površek v rozvinutí byla určena k otočení, které odpovídá
oblouku ω, délka oblouku šroubovice ¯ω.
Obrázek 7.9:
7.6 Konstrukce a rozvinutí přechodové rozvinutelné
plochy
Uvažujme dvě rovinné křivky a a b ležící v rovinách α a β – obr. 7.10. V řadě technických
aplikací vzniká požadavek na určení rozvinutelné plochy Ω, která obsahuje obě dané křivky
(a ⊂ Ω, b ⊂ Ω). Plochu Ω nazýváme přechodová plocha mezi danými křivkami.
Postup konstrukce přechodové plochy:
1. Na jedné z křivek zvolíme bod – např. A ∈ a a určíme tečnu t A křivky a v bodě A.
2. Na druhé křivce, tj. na křivce b, určíme bod B tak, aby tečna t B v tomto bodě
nebyla v tečnou t A mimoběžná. Tento krok realizujeme takto:
t A ‖ β – vedeme tečnu t B křivky b rovnoběžnou s přímkou t A – obr. 7.11,
t A ̸‖ β – označme p průsečnici rovin α a β; z průsečíku t A ∩ p vedeme tečnu t B
křivky b – obr. 7.10.

7.7. KONTROLNÍ OTÁZKY 73
Obrázek 7.10: Obrázek 7.11:
3. Přímka AB je torzální přímkou – tečná rovina v bodech A a B je stejná a tato
rovina se dotýká vytvářené plochy i ve všech bodech této površky.
Zkonstruovaná přechodová plocha je vždy bud’ plochou tečen prostorové křivky (zpravidla
neznámé či neurčované), nebo ve výjimečných případech plochou válcovou nebo kuželovou.
Rozvinutí přechodové plochy se provede zpravidla pomocí triangulace.
7.7 Kontrolní otázky
7.1 Definujte torzální površku plochy.
7.2 Definujte rozvinutelné plochy a uved’te všechny typy rozvinutelných ploch.
7.3 Vysvětlete pojem Gaussova křivost.
7.4 Uved’te příklad plochy, která je přímková, ale není rozvinutelná.
7.5 Uved’te dva způsoby vytvoření rozvinutelné šroubové plochy (návod: jako obalovou
plochu a jako jeden z typů rozvinutelných ploch).
7.6 Popište metodu normálového řezu pro rozvinutí. Pro které rozvinutelné plochy se
tato metoda dá aplikovat?

Kapitola 8
Některé nekartézské souřadnicové
soustavy
V řadě aplikací matematiky se používají k vhodnému analytickému popisu geometrického
útvaru v E 3 souřadnice, které nejsou kartézské. Jedná se o souřadnice afinní (souřadnicové
osy nemusí být na sebe kolmé), sférické (kulové), cylindrické (válcové) apod.
Uvedeme vztahy, pomocí nichž lze přejít od kartézských souřadnic k souřadnicím
sférickým a cylindrickým.
8.1 Sférické souřadnice
Sférické souřadnice jsou prostorovou analogií polárních souřadnic v rovině.
Rovnice
x = ρ · cos ϕ cos ψ , y = ρ · sin ϕ cos ψ , z = ρ · sin ψ , (8.1)
v nichž ρ > 0, ϕ ∈ 〈0, 2π) a ψ ∈ 〈− π , dπ 〉, vyjadřují přechod k tzv. sférickým souřadnicím
2 d2
[ρ, ϕ, ψ].
Číslo ρ = √ x 2 + y 2 + z 2 vyjadřuje vzdálenost bodu X od počátku O, ϕ a ψ jsou
orientované úhly ( zeměpisná šířka a délka“) – obr. 8.1.
”
S rovnicemi (8.2) a (8.1) se výhodně pracuje při sledování problémů spojených s rotací
a souměrností.
8.2 Cylindrické souřadnice
Rovnice
x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , z = z , (8.2)
v nichž ρ > 0 a ϕ ∈ 〈0, 2π) popisují vztah tzv. cylindrických souřadnic [ρ, ϕ, z] s kartézskými
souřadnicemi.
Vidíme, že ρ = √ x 2 + y 2 vyjadřuje vzdálenost bodu X od osy z a ϕ je orientovaný
úhel s počátečním ramenem v kladné poloose x a koncovým ramenem na polopřímce OX 1 ,
kde X 1 je pravoúhlý průmět bodu X do souřadnicové roviny xy – obr. 8.2.
Ve speciálním případě (8.2), kdy z = 0, hovoříme o polárních souřadnicích v rovině
E 2 .
74

8.3. VYUŽITÍ NEKARTÉZSKÝCH SOUŘADNIC 75
Obrázek 8.1: Obrázek 8.2:
8.3 Využití nekartézských souřadnic
Použití uvedených nekartézských souřadnic vede ke zjednodušení analytického vyjádření
útvarů (zkratka konst. označuje kladnou konstantu).
1. ρ =konst. popisuje v případě sférických souřadnic kulovou plochu se středem O
a poloměrem ρ,
2. ρ =konst. popisuje v případě cylindrických souřadnic rotační válcovou plochu o poloměru
ρ a s osou z,
3. ψ =konst. určuje v případě sférických souřadnic rotační kuželovou plochu,
4. ρ =konst. určuje v polárních souřadnicích kružnici se středem O a poloměrem ρ.
8.4 Cvičení
8.1 V kartézské soustavě souřadnic zobrazte body, jejichž polární souřadnice jsou A [ ]
3, π 6 ,
B [ ] [ ] [
1, 2π 3 , C 2, −
π
4 . Jaké jsou kartézské souřadnice bodu B? [B − 1, √ ]
3
]
2 2
8.2 Vypočtěte velikost úsečky AB, znáte-li polární souřadnice bodů A [ ] [ ]
3, 11π
18 , B 4,
π
3 .
[5]
8.3 Bod A má kartézské souřadnice A[−1, 1, 2]. Jaké jsou jeho cylindrické souřadnice.
[[ √ 2, 3 4 , 2]]
8.4 Bod A má cylindrické souřadnice A[1, 1, 1]. Vypočtěte jeho kartézské souřadnice
s přesností na tři desetinná místa.
[[0, 540; 0, 841; 1, 000]]
8.5 Jaké jsou sférické souřadnice bodu A, jsou-li jeho souřadnice v kartézské soustavě
A[1, 1, 1]? [ρ = √ 3, ϕ = π 4 , ψ = arctg 1 √
2
]

8.5. KONTROLNÍ OTÁZKY 76
8.6 Víme, že sférické souřadnice bodu A jsou ρ = 1, ϕ = − π, ψ = π . Jaké jsou jeho
3 6 [
kartézské souřadnice? [ − 3, √ ]
3
, 1 ]
4 4 2
8.7 V systému AutoCAD se používá následujících symbolů: @ – relativní souřadnice
(tj. souřadnice vzhledem k aktuálnímu bodu, nikoliv k počátku), < – zadání úhlu.
Zřejmě zadáním 20 < 45 < 30 určujeme bod pomocí sférických souřadnic. Určete
typ souřadnic pro zadání
a) @100 < 45, b) 40 < 60, 10.
[a) relativní polární souřadnice, b) cylindrické souřadnice]
8.5 Kontrolní otázky
8.1 Uved’te, které body nemají jednoznačně určeny sférické souřadnice.
8.2 Uved’te, které body nemají jednoznačně určeny cylindrické souřadnice.

Kapitola 9
Nelineární útvary v rovině
a v prostoru
9.1 Vyjádření křivek
Uved’me si dále vektorové rovnice některých křivek.
9.1.1 Kružnice
Kružnice o středu O a poloměru r (r > 0) má vektorovou rovnici
X(t) = (r · cos t, r · sin t), t ∈< 0, 2π). (9.1)
Parametr t je úhel, který svírá polohový vektor X(t) s kladnou poloosou x (obr. 9.1).
Snadno zjistíme, že
√
|X(t)| = r 2 cos 2 t + r 2 sin 2 t = r ,
neboli vzhledem ke vztahu (9.1) x 2 + y 2 = r 2 .
Jestliže má kružnice k střed v bodě S[m, n] a je-li její poloměr r, provedeme posunutí
kružnice o vektor s = (−m, −n). Kružnice k přejde do kružnice k ′ = (O, r), kde O je
počátek systému souřadnic. Rovnice kružnice k = (S, r) má tedy tvar
(x − m) 2 + (y − n) 2 = r 2 .
Příklad 37. Sestavte vektorovou a parametrickou rovnici kružnice k daného poloměru r,
jestliže se kružnice dotýká souřadnicových os v jejich kladné části.
Řešení: Středem hledané kružnice je bod S[r, r]. Vektorovou rovnici kružnice k získáme
z rovnice (9.1) přičtením polohového vektoru S bodu S k pravé straně rovnice, tj. platí
X(t) = S + (r · cos t, r · sin t) = (9.2)
= (r + r · cos t, r + r · sin t) , t ∈< 0, 2π) .
77

9.1. VYJÁDŘENÍ KŘIVEK 78
Obrázek 9.1: Obrázek 9.2:
Parametrické vyjádření kružnice k je tvaru
x = r + r · cos t , y = r + r · sin t , t ∈< 0, 2π) .
Příklad 38. Sestavíme parametrické vyjádření epicykloidy, tj. křivky, kterou vytváří
bod X při odvalování kružnice h ”
vnějším obvodem“ po ”
vnějším obvodu“ kružnice p.
Uvažujme kružnice h = (H, r) a p = (P, r), kde H[2r, 0], P = O – obr. 9.2. Bod X[r, 0] je
bodem dotyku daných kružnic.
Řešení: Parametrické rovnice epicykloidy lze sestavit na základě obr. 9.3. Stačí vyjádřit
souřadnice bodu H ′ a pak relativně k němu souřadnice bodu X ′′ .
Jinou možnost řešení úlohy představuje využití geometrických transformací. Epicykloidální
pohyb T, tj. pohyb určený odvalováním kružnice h po kružnici p, je geometrickou
transformací, kterou můžeme složit následujícím způsobem
T = R H ′ ,t ◦ R P,t = P H
′ ◦ R P,t ◦ P −H ′ ◦ R P,t, (9.3)
kde t je úhel a H ′ je polohový vektor bodu H ′ – obr. 9.3. Epicykloidální pohyb můžeme
tedy složit z rotace okolo počátku P o úhel t, posunutí o vektor −H ′ , další rotace okolo
počátku o úhel t a z posunutí o vektor H ′ .
Uvedené geometrické transformace zapíšeme maticově. Pro matici výsledné transformace
platí
□
T =
⎛
⎝
⎛
· ⎝
cos t, sin t, 0
− sin t, cos t, 0
0, 0, 1
⎞
⎛
⎠ · ⎝
1, 0, 0
0, 1, 0
2r cos t, 2r sin t, 1
⎞
1, 0, 0
0, 1, 0
−2r cos t, −2r sin t, 1
⎛
⎠ = ⎝
⎞
⎛
⎠ · ⎝
cos t, sin t, 0
− sin t, cos t, 0
0, 0, 1
cos 2t, sin 2t, 0
− sin 2t, cos 2t, 0
2r(cos t − cos 2t), 2r(sin t − sin 2t), 1
⎞
⎠ .
⎞
⎠ ·

9.1. VYJÁDŘENÍ KŘIVEK 79
Pro bod X ′′ , který je bodem epicykloidy vytvářené bodem X, platí při využití homogenních
souřadnic X ′′ = X · T, tj.
⎛
cos 2t, sin 2t,
⎞
0
X ′′ = (r, 0, 1) · ⎝ − sin 2t, cos 2t, 0 ⎠ =
2r(cos t − cos 2t), 2r(sin t − sin 2t), 1
= (2r cos t − r cos 2t, 2r sin t − r sin 2t, 1) .
Parametrické rovnice hledané epicykoidy jsou
x = 2r cos t − r cos 2t , y = 2r sin t − r sin 2t , t ∈ 〈0, 2π) .
Výsledná epicykloida je zobrazena na obr. 9.4.
□
Obrázek 9.3: Obrázek 9.4:
9.1.2 Elipsa
Elipsa o středu O s osami v souřadnicových osách a o poloosách a, b (a > 0, b > 0) má
vektorovou rovnici
X(t) = (a · cos t, b · sin t), t ∈< 0, 2π). (9.4)
Parametr t je tentokrát úhel, jenž je vyznačen v obr. 9.5. Ze vztahů (9.4) a z obr. 9.5 plyne
tzv. trojúhelníková konstrukce bodů elipsy. Strana X b X trojúhelníku X a X b X je rovnoběžná
s osou x a strana X a X tohoto trojúhelníku je rovnoběžná s osou y.
Rozepíšeme-li vztah (9.4) do složek, dostaneme parametrické vyjádření
x = a · cos t , y = b · sin t. (9.5)
Po zřejmé úpravě rovnic (9.5), jejich umocnění a sečtení, dojdeme k rovnici elipsy ve tvaru
x 2
a + y2
= 1. (9.6)
2 b2

9.1. VYJÁDŘENÍ KŘIVEK 80
Podobně jako v případě kružnice lze ukázat, že pro elipsu se středem S[m, n] a poloosami
a > 0, b > 0 na rovnoběžkách se souřadnicovými osami platí
9.1.3 Parabola
(x − m) 2 (y − n)2
+ = 1. (9.7)
a 2 b 2
Parabola souměrná podle osy y, která má vrchol v počátku O a ohnisko F [ 0, 2] p , p > 0,
má vektorovou rovnici
(
X(t) = t, 1 )
2p · t2 , t ∈ R. (9.8)
Za parametr t je zvolena souřadnice x bodu paraboly (obr. 9.6).
Snadno z (9.8) dojdeme k vyjádření paraboly ve tvaru
y = 1
2p x2 , resp. x 2 = 2p y . (9.9)
Pro parabolu s vrcholem V [m, n] a osou v rovnoběžce se souřadnicovou osou y můžeme
psát
(y − n) = 1
2p (x − m)2 , resp. (x − m) 2 = 2p (y − n) . (9.10)
Příklad 39. Parabolu o rovnici y = x 2 posuneme tak, aby měla vrchol v bodě V [2, 1],
a určíme společné body posunuté paraboly s přímkou p = AB, kde A[0, 1], B[6, 4].
Řešení: Posunutá parabola k má podle (9.10) rovnici (y − 1) = (x − 2) 2 .
Přímku p vyjádříme parametricky např. ve tvaru
x = 2t , y = 1 + t , t ∈ R . (9.11)
Po dosazení z rovnic (9.11) do rovnice paraboly dostáváme kvadratickou rovnici pro
parametr t. Platí (1 + t − 1) = (2t − 2) 2 , tj. 4t 2 − 9t + 4 = 0. Řešení této kvadratické
rovnice je tvaru
t 12 = 9 ± √ 17
.
8
Dosazením za t do rovnice (9.11) určíme dva průsečíky X a Y paraboly k a přímky p.
Platí
[
9 + √ 17
X , 17 + √ ] [
17 9 − √ 17
, Y , 17 − √ ]
17
.
4 8
4 8
□

9.1. VYJÁDŘENÍ KŘIVEK 81
9.1.4 Hyperbola
Obrázek 9.5: Obrázek 9.6:
Vektorové vyjádření hyperboly (obr. 9.8) lze uvést ve tvaru (osy hyperboly leží v souřadnicových
osách; a > 0, b > 0)
X(t) = (
a
cos t , b · tg t) , t ∈< 0, 2π) , t ≠ π 2 , 3π
2 . (9.12)
Z těchto vztahů vyplývá konstrukce bodu hyperboly pro danou hodnotu parametru t –
viz obr. 9.7.
Z vlastností goniometrických funkcí plyne
1
cos 2 t − tg2 t = 1. (9.13)
Ze vztahů (9.12) a (9.13) vyplývá vyjádření hyperboly ve tvaru
x 2
a − y2
= 1. (9.14)
2 b2 Pro hyperbolu se středem v bodě S[m, n] a s osami na rovnoběžkách se souřadnicovými
osami platí
9.1.5 Obecná rovnice kuželosečky
(x − m) 2 (y − n)2
− = 1. (9.15)
a 2 b 2
Kuželosečkou neboli křivkou druhého stupně rozumíme křivku, kterou lze popsat rovnicí
(indexy i, j u koeficientů a ij jsou odvozeny z exponentů u x a y v daném členu)
a 20 x 2 + 2a 11 xy + a 02 y 2 + 2a 10 x + 2a 01 y + a 00 = 0 , (9.16)

9.1. VYJÁDŘENÍ KŘIVEK 82
Obrázek 9.7: Obrázek 9.8:
kde alespoň jeden z koeficientů a 20 , a 11 , a 02 je nenulový. V maticovém tvaru lze psát
⎛
⎞ ⎛ ⎞
a 20 , a 11 , a 10 x
(x, y, 1) · ⎝ a 11 , a 02 , a 01
⎠ · ⎝ y ⎠ = 0 . (9.17)
a 10 , a 01 , a 00 1
Pro regulární kuželosečku platí, že matice koeficientů v rovnici (9.17) je regulární.
Regulárními kuželosečkami jsou: kružnice, elipsa, parabola a hyperbola.
V předcházejících odstavcích jsme popsali regulární kuželosečky pro případ speciálního
umístění (např. střed kružnice, resp. elipsy, resp. vrchol paraboly byl v počátku systému
souřadnic). Pomocí transformace systému souřadnic lze pro regulární kuželosečky převést
rovnici kuželosečky z tvaru (9.16) na speciální tvar, tzv. kanonický, který jsme uvedli
v předcházejících odstavcích – tab. 9.1. Pokud je v rovnici (9.16) nenulový koeficient a 11
(koeficient u smíšeného členu), je možné provést rotaci souřadnicového systému tak, aby
při vyjádření kuželosečky v nové soustavě souřadnic byl tento koeficient nulový. Uved’me
alespoň jeden konkrétní příklad. Obecněji o této věci pojednává odstavec 9.5.

9.1. VYJÁDŘENÍ KŘIVEK 83
Č. Název Signatura Rovnice
1.
Elipsa
x
kružnice pro a = b (2,0,0,1) 2
+ y2
= 1
a 2 b 2
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Hyperbola
x
záměna proměnných (1,1,0,1) 2
− y2
= 1
a 2 b 2
Parabola
záměna proměnných (1,0,1,0) x 2 ± 2py = 0
Různoběžné přímky
x
záměna proměnných (1,1,0,0) 2
− y2
= 0
a 2 b 2
Rovnoběžné přímky
záměna proměnných (1,0,0,1)
x 2
a 2 = 1
Totožné přímky
záměna proměnných (1,0,0,0) x 2 = 0
Bod
x
záměna proměnných (2,0,0,0) 2
+ y2
= 0
a 2 b 2
Prázdná množina
záměna proměnných (0,2,0,1) − x2 − y2
= 1
a 2 b 2
Prázdná množina
záměna proměnných (0,1,0,1) − x2
a 2 = 1
Tabulka 9.1:

9.1. VYJÁDŘENÍ KŘIVEK 84
Příklad 40. Hyperbolu xy = 1 vyjádříme v systému souřadnic, který vznikne z původního
systému otočením okolo počátku o úhel α = π 4 .
Řešení: Pro transformaci kartézského souřadnicového systému danou rotací o úhel α
platí (obr. 9.9)
x = x ′ · cos α − y ′ · sin α , y = x ′ · cos α + y ′ · sin α . (9.18)
Dosadíme-li do dané rovnice xy = 1 vztahy
(9.18), dostaneme
(x ′·cos α−y ′·sin α)·(x ′·cos α+y ′·sin α) = 1 ,
(9.19)
tj.
x ′2 · cos 2 α − y ′2 · sin 2 α = 1 . (9.20)
Dosadíme cos α = sin α = √ 2
a výsledný tvar
2
rovnice dané hyperboly v kartézské soustavě
souřadnic (O, x ′ , y ′ ) je
x ′ 2
2 − y′ 2
2 = 1 , (9.21)
tj. pro poloosy a, b z rovnice (9.14) platí a =
b = √ 2. Obrázek 9.9:
□
V dalším textu budeme předpokládat, že a 11 = 0. Rovnici kuželosečky upravíme na
kanonický tvar
a ⋆ 20(x − s x ) 2 + a ⋆ 02(y − s y ) 2 + a ⋆ 10(x − p x ) + a ⋆ 01(y − p y ) = a ⋆ 00 , (9.22)
kde a ⋆ 00 = 1 nebo a ⋆ 00 = 0 a s x , s y , p x , p y jsou koeficienty, které udávají posunutí kuželosečky.
Převod rovnice kuželosečky (bez smíšeného členu) na kanonický tvar se provede pomocí
tzv. doplnění kvadratických členů na úplný čtverec. Pro kanonický tvar rovnice kuželosečky
navíc platí:
1. Alespoň jeden z koeficientů a ⋆ 20, a ⋆ 02 je nenulový.
2. Je-li a ⋆ 20 ≠ 0, pak a ⋆ 10 = 0.
3. Je-li a ⋆ 02 ≠ 0, pak a ⋆ 01 = 0.
4. Je-li a ⋆ 10 ≠ 0, pak a ⋆ 00 = 0.
5. Je-li a ⋆ 01 ≠ 0, pak a ⋆ 00 = 0.

9.1. VYJÁDŘENÍ KŘIVEK 85
6. Je-li a ⋆ 00 = 0 a počet záporných koeficientů u kvadratických členů je větší než počet
kladných koeficientů u kvadratických členů, vynásobíme rovnici číslem −1.
Úpravou rovnice kuželosečky na kanonický tvar minimalizujeme počet nenulových koeficientů
v rovnici kuželosečky.
Příklad 41. Je dána kuželosečka k obecnou rovnicí
Určíme kanonický tvar rovnice kuželosečky k.
2x 2 − 4x + 4y + 5 = 0. (9.23)
Řešení: Rovnici (9.23) napíšeme ve tvaru 2(x 2 − 2x) + 4y + 5 = 0 a dvojčlen (x 2 − 2x)
doplníme na úplný čtverec, tj.
Levou stranu rovnice (9.23) lze upravit na tvar
x 2 − 2x = (x − 1) 2 − 1. (9.24)
2x 2 − 4x + 4y + 5 = 2[(x − 1) 2 − 1] + 4y + 5 = 2(x − 1) 2 + 4y + 3 = 0. (9.25)
Výsledný kanonický tvar rovnice dané kuželosečky je
2(x − 1) 2 + 4(y + 3 ) = 0. (9.26)
4
□
Signaturou kuželosečky v kanonickém tvaru (9.22) rozumíme uspořádanou čtveřici čísel
(k, z, l, j), kde
• k, resp. z, udává počet kvadratických členů s kladným, resp. záporným, koeficientem,
• l nabývá hodnoty 0 nebo 1 podle toho, zda po úpravě má rovnice kuželosečky
nenulový koeficient u lineárního členu,
• j nabývá hodnoty 0 nebo 1 podle toho, které z těchto čísel obsahuje pravá strana
upravené rovnice kuželosečky.
Poznamenejme, že pro l = 1 je vždy j = 0 a pro j = 0 je k ≥ z.
V tab. 9.1 je uvedena klasifikace kuželoseček podle jejich signatur. Je-li u názvu
kuželosečky uvedena poznámka ”
záměna proměnných“, znamená to, že v uvedené rovnici
můžeme vzájemně zaměnit proměnné x a y. Např. zaměníme-li v rovnici paraboly x 2 −y =
0 (osou paraboly je osa y) proměnné, dostaneme parabolu y 2 − x = 0 (osou této paraboly
je osa x).
Příklad 42. Pro kuželosečku z příkladu 41 stanovíme signaturu a typ kuželosečky.
Řešení: Z rovnice (9.26) plyne, že signatura dané kuželosečky je (1,0,1,0). Podle tab. 9.1
se jedná o parabolu. Vrchol V paraboly má souřadnice V [1, − 3 ] a osa o (V ∈ o) paraboly
4
je rovnoběžná s osou y.
□

9.2. VEKTOROVÉ VYJÁDŘENÍ KUŽELOVÝCH A VÁLCOVÝCH PLOCH 86
9.2 Vektorové vyjádření kuželových a válcových ploch
V kartézské soustavě souřadnic v prostoru E 3 popíšeme dané plochy vektorovými rovnicemi.
9.2.1 Obecná kuželová plocha
Obecná kuželová plocha je tvořena přímkami, které procházejí jejím vrcholem V a protínají
její řídicí křivku k (V ∉ k), která je dána vektorovou funkcí Y (v), v ∈ I v (I v je interval).
Označme Y bod řídicí křivky k kuželové plochy a X obecný bod přímky V Y kuželové
plochy (obr. 9.10). Vektorovou rovnici obecné kuželové plochy lze zapsat ve tvaru
X(u, v) = Y (v) + u(Y (v) − V ) , (9.27)
v níž se vyskytují dva parametry:
v ∈ I v je parametr na křivce k a
u ∈ R je parametr na přímce V X kuželové plochy.
Obrázek 9.10: Obrázek 9.11:
9.2.2 Obecná válcová plocha
Obecná válcová plocha je tvořena přímkami, které mají daný směrový vektor a protínají
danou řídicí křivku k, danou vektorovou funkcí Y (v), v ∈ I v . Označme s směrový vektor
přímky plochy a Y (t) bod, v němž tato přímka plochy protíná řídicí křivku k.
Pro polohový vektor X bodu přímky válcové plochy (obr. 9.11) platí
X(u, v) = Y (v) + u · s , (9.28)
kde v ∈ I v je parametr na řídicí křivce k válcové plochy a u ∈ R je parametr na tvořící
přímce válcové plochy.

9.3. ROTAČNÍ PLOCHY DRUHÉHO STUPNĚ (KVADRIKY) V E 3 87
9.3 Rotační plochy druhého stupně (kvadriky) v E 3
Rotační kvadrika vznikne rotací kuželosečky k kolem některé její osy o. Předpokládejme,
že rotující kuželosečka k leží v rovině (xz) a osa kuželosečky, okolo níž kuželosečka rotuje,
splývá s osou z. Kuželosečka k je dána implicitní rovnicí f(x, z) = 0 – viz vztah 9.16.
Uvažujme bod X 0 [x 0 , 0, z 0 ] na dané kuželosečce. Rotací bodu X 0 kolem osy z vzniká
kružnice, pro jejíž body M[x, y, z] platí
z = z 0 , x 2 + y 2 = x 2 0 ,
tj. x 0 = ± √ x 2 + y 2 . Dosazením výrazu ± √ x 2 + y 2 za x do rovnice f(x, z) = 0 dostáváme
rovnici rotační kvadriky ve tvaru
f(± √ x 2 + y 2 , z) = 0 . (9.29)
Uvedený obecný postup budeme nyní aplikovat v konkrétních případech.
9.3.1 Kulová plocha
Kulovou plochu vytvoří kružnice o rovnici
x 2 + z 2 − a 2 = 0
při rotaci kolem osy z. Podle (9.29) dostáváme rovnici
x 2 + y 2 + z 2 − a 2 = 0 . (9.30)
Kulová plocha (9.30) je množinou všech bodů v prostoru E 3 , které mají od počátku
O danou vzdálenost a > 0.
9.3.2 Rotační elipsoid
Rotační elipsoid vznikne rotací elipsy o rovnici
a + z2
2 b − 1 = 0
2
kolem osy z. Rovnice rotačního elipsoidu je tedy
x 2
x 2
a + y2
2 a + z2
2 b − 1 = 0 . (9.31)
2
Pokud je a > b mluvíme o zploštělém elipsoidu a pro a < b o protáhlém elipsoidu. Pro
a = b dostáváme kulovou plochu.
9.3.3 Rotační paraboloid
Rotační paraboloid vytvoříme rotací paraboly o rovnici
x 2 − 2pz = 0
kolem osy z. Rovnice rotačního paraboloidu je tvaru
x 2 + y 2 − 2pz = 0 . (9.32)

9.4. OBECNÁ ROVNICE KVADRIKY 88
9.3.4 Rotační hyperboloid jednodílný
Rotační hyperboloid jednodílný vytvoříme rotací hyperboly o rovnici
x 2
a 2 − z2
b 2 − 1 = 0
kolem osy z, tj. okolo vedlejší osy hyperboly. Dostáváme rovnici
9.3.5 Rotační hyperboloid dvoudílný
x 2
a 2 + y2
a 2 − z2
b 2 − 1 = 0 . (9.33)
Rotační hyperboloid dvoudílný vytvoříme rotací hyperboly okolo její hlavní osy. Uvažujme
proto hyperbolu (hlavní osa hyperboly je v ose z) o rovnici
z 2
a 2 − x2
b 2 − 1 = 0.
Rotací okolo osy z vznikne rotační hyperboloid dvoudílný o rovnici
− x2
b 2 − y2
b 2 + z2
a 2 − 1 = 0 . (9.34)
Obrázek 9.12: Obrázek 9.13:
9.4 Obecná rovnice kvadriky
Pokud uplatníme na rotační kvadriky afinní transformaci dostaneme obecné kvadriky.
Existují však kvadriky, které nejsou odvozeny z rotačních kvadrik (např. hyperbolický

9.4. OBECNÁ ROVNICE KVADRIKY 89
Obrázek 9.14: Obrázek 9.15:
paraboloid). Podobně jako v případě kuželoseček uvedeme obecnou rovnici kvadriky a provedeme
úplnou diskusi typů kvadrik. K tomu použijeme opět pojem signatura.
Kvadrikou neboli plochou druhého stupně rozumíme plochu, kterou lze popsat rovnicí
(indexy i, j, k u koeficientů a ijk jsou odvozeny z exponentů u x, y a z v daném členu)
a 200 x 2 + a 020 y 2 + a 002 z 2 + 2(a 110 xy + a 101 xz + a 011 yz) + 2(a 100 x + a 010 y + a 001 z) + a 000 = 0 ,
(9.35)
kde alespoň jeden z koeficientů u členů druhého stupně (takových členů je šest) je nenulový.
V maticovém tvaru lze psát
(x, y, z, 1) ·
⎛
⎜
⎝
⎞
a 200 , a 110 , a 101 , a 100
a 110 , a 020 , a 011 , a 010
a 101 , a 011 , a 002 , a 001
a 100 , a 010 , a 001 , a 000
⎟
⎠ ·
⎛
⎜
⎝
x
y
z
1
⎞
⎟
⎠ = 0 . (9.36)
Pro regulární kvadriky platí, že matice koeficientů v rovnici (9.36) je regulární. Regulárními
kvadrikami jsou: kulová plocha, elipsoid (obr. 9.12), eliptický paraboloid (obr. 9.13), hyperbolický
paraboloid (obr. 9.14, 9.15 a 9.16), jednodílný hyperboloid (obr. 9.17) a dvoudílný
hyperboloid (obr. 9.19).
Ze singulárních kvadrik uved’me (kruhovou) kuželovou plochu (obr. 9.20), eliptickou
válcovou plochu (obr. 9.21), parabolickou válcovou plochu 9.20), (obr. 9.22) a hyperbolickou
válcovou plochu (obr. 9.23). 9.20),
Určení kanonického tvaru kvadriky pro případ nulových koeficientů u smíšených kvadratických
členů v rovnici kvadriky provádíme analogickým postupem, jako v případě kuželoseček.
Definice signatury kanonického tvaru rovnice kvadriky a kuželosečky je stejná. Poznamenejme,
že kanonický tvar rovnice kvadriky neobsahuje více než jeden lineární člen (rovněž
tato úprava se dosáhne pomocí transformace systému souřadnic). V tab. 9.2 a 9.3 je
uvedena úplná klasifikace kvadrik.

9.4. OBECNÁ ROVNICE KVADRIKY 90
Obrázek 9.16:
Příklad 43. Rozhodneme, zda kvadrika daná rovnicí
je regulární.
x 2 − 4x + 2y 2 + z + 1 = 0 (9.37)
Řešení: Sestavíme maticový tvar rovnice dané kvadriky – viz rovnice (9.36):
⎛
⎞ ⎛ ⎞
1, 0, 0, −2 x
(x, y, z, 1) · ⎜ 0, 2, 0, 0
⎟
⎝
1
0, 0, 0, ⎠ ·
⎜ y
⎟
⎝ z ⎠ = 0 . (9.38)
2
1
−2, 0, , 1 1
2
Pro matici A řádu 4 ze vztahu (9.38) vypočteme její determinant. Provedeme-li např.
rozvoj podle třetího řádku, zjistíme, že |A| = − 1 . Daná kvadrika je tedy regulární.
2
□
Příklad 44. Stanovíme typ kvadriky dané rovnicí
a určíme její určující prvky (střed, poloosy apod.).
4x 2 − 8x + y 2 − 4y + z 2 + 4 = 0 (9.39)
Řešení: Provedeme doplnění členů (4x 2 − 8x) a (y 2 − 4y) na úplné čtverce. Obdržíme
4x 2 − 8x + y 2 − 4y + z 2 + 4 = (9.40)
= [4(x − 1) 2 − 4] + [(y − 2) 2 − 4] + z 2 + 4 =
= 4(x − 1) 2 + (y − 2) 2 + z 2 − 4 = 0

9.4. OBECNÁ ROVNICE KVADRIKY 91
Obrázek 9.17: Obrázek 9.18:
Kanonický tvar rovnice kvadriky je tudíž
(x − 1) 2 +
(y − 2)2
4
+ z2
4 = 1 .
Signatura dané kvadriky je (3, 0, 0, 1) a podle tab. 9.2 jde o elipsoid. Střed elipsoidu S
má souřadnice S[1, 2, 0] a pro poloosy platí a = 1, b = c = 2. Protože dvě poloosy mají
stejnou délku, jde o elipsoid rotační. Osou rotace je rovnoběžka s osou x a protože je
a < b, jde o elipsoid zploštělý.
□
Příklad 45. Sestavíme rovnici kulové plochy, která se dotýká rovin (xy) a (yz) a má
střed na přímce
o : x = 1 − t , y = 2 + 2t , z = 3 + t , t ∈ R .
Řešení: Nejprve určíme střed S ∈ o hledané kulové plochy. Množinou středů všech
kulových ploch, které se dotýkají daných souřadnicových rovin, jsou dvě roviny σ 1 a σ 2
(při vynechání bodů osy y). Platí
σ 1 : x = z , σ 2 : x = −z .
Snadno stanovíme průsečík S roviny σ 1 s přímkou o. Musí platit 1 − t = 3 + t, tj.
t = −1. Určili jsme střed S[2, 0, 2] hledané kulové plochy. Poloměr r je určen vzdáleností
bodu S od daných souřadnicových rovin, tj. r = 2.
Pro rovinu σ 2 se ukáže, že s přímkou o nemá společný bod, tj. jsou spolu rovnoběžné.

9.4. OBECNÁ ROVNICE KVADRIKY 92
Obrázek 9.19:
Daná úloha má tedy jediné řešení a tím je kulová plocha o rovnici
(x − 2) 2 + y 2 + (z − 2) 2 = 4 ,
neboli
x 2 + y 2 + z 2 − 4x − 4z + 4 = 0 .
□
Příklad 46. Pro kvadriku danou rovnicí (9.37) stanovíme typ kvadriky a její základní
určující prvky. Pak určíme i řezy kvadriky rovinami rovnoběžnými se souřadnicovými
rovinami.
Řešení: Danou rovnici x 2 − 4x + 2y 2 + z + 1 = 0 upravíme na kanonický tvar. Obdržíme
rovnici
(x − 2) 2 + 2y 2 + (z − 3) = 0 . (9.41)
Signatura kvadriky (9.41) je (2,0,1,0), tj. podle tab. 9.2 jde o eliptický paraboloid (není
rotační). Pro vrchol paraboloidu platí V [2, 0, 3]. Osa paraboloidu je rovnoběžná s osou z.
Stanovíme řezy plochy rovinami rovnoběžnými se souřadnicovými rovinami. Uvažujme
nejprve rovinu rovnoběžnou s rovinou (xy), tj. rovinu o rovnici y = y 0 , kde y 0 ∈ R je
konstanta. Řez takovou rovinou má rovnici
(x − 2) 2 + 2y 2 0 + (z − 3) = (x − 2) 2 + (z + 2y 2 0 − 3) = 0 ,
tj. řezy rovinami rovnoběžnými se souřadnicovou rovinou (xz) jsou shodné paraboly.
Podobně řezem rovinou rovnoběžnou s rovinou (yz), tj. rovinou o rovnici x = x 0 , kde
x 0 ∈ R je konstanta, jsou shodné paraboly.

9.4. OBECNÁ ROVNICE KVADRIKY 93
Obrázek 9.20: Obrázek 9.21:
Dále stanovíme řez rovinou z = z 0 , kde z 0 ∈ R je konstanta. Řezem je kuželosečka
o rovnici
(x − 2) 2 + 2y 2 = −(z 0 − 3); .
Pro z 0 < 3 (pak je pravá strana uvedené rovnice kladná) je tedy tímto řezem elipsa.
Ukázali jsme tak, že daný eliptický paraboloid leží pod rovinou z = 3“.
”
□

9.4. OBECNÁ ROVNICE KVADRIKY 94
Obrázek 9.22: Obrázek 9.23:

9.4. OBECNÁ ROVNICE KVADRIKY 95
Č. Název Signatura Rovnice
1.
Elipsoid
kulová plocha . . . a = b = c
rotační elipsoid pro dvě čísla stejná
x
(3,0,0,1) 2
+ y2
+ z2 = 1
a 2 b 2 c 2
2.
Hyperboloid jednodílný
rotační pro a = b
(osa rotace z, cyklická záměna pro další osy)
x
(2,1,0,1) 2
+ y2
− z2 = 1
a 2 b 2 c 2
3.
Hyperboloid dvoudílný
rotační pro . . . a = b
(osa rotace z, cyklická záměna pro další osy)
(1,2,0,1) − x2
a 2 − y2
b 2 + z2
c 2 = 1
4.
Kuželová plocha
rotační pro a = b
(osa rotace z, cyklická záměna pro další osy)
x
(2,1,0,0) 2
+ y2
− z2 = 0
a 2 b 2 c 2
5.
Eliptický paraboloid
p > 0, rotační pro a = b
(osa rotace z, cyklická záměna pro další osy),
znaménko určuje poloprostor z ≤ 0 nebo z ≥ 0 ,
v němž plocha leží
x
(2,0,1,0) 2
+ y2
± z = 0
a 2 b 2 p
6.
Hyperbolický paraboloid
p > 0, cyklická záměna proměnných pro další osy,
znaménko určuje orientaci parabol v rovinách xz
a yz
x
(1,1,1,0) 2
− y2
± z = 0
a 2 b 2 p
Tabulka 9.2:

9.4. OBECNÁ ROVNICE KVADRIKY 96
Č. Název Signatura Rovnice
7.
Eliptický válec
rotační pro a = b
(osa rotace z, cyklická záměna pro další osy)
x
(2,0,0,1) 2
+ y2
= 1
a 2 b 2
8. Hyperbolický válec
cyklická záměna pro další osy
x
(1,1,0,1) 2
− y2
= 1
a 2 b 2
9.
Parabolický válec
p > 0, cyklická záměna pro další osy,
znaménko určuje poloprostor y ≤ 0 nebo y ≥ 0 ,
v němž plocha leží
(1,0,1,0)
x 2
a 2 ± y p = 0
10. Různoběžné roviny
cyklická záměna proměnných
x
(1,1,0,0) 2
− y2
= 0
a 2 b 2
11. Rovnoběžné roviny
cyklická záměna proměnných
(1,0,0,1)
x 2
a 2 = 1
12. Totožné roviny
záměna proměnných
(1,0,0,0) x 2 = 0
13. Bod – počátek (3,0,0,0)
x 2
a 2
+ y2
b 2
+ z2
c 2 = 0
14.
Přímka – osa z
x
cyklická záměna proměnných (2,0,0,0) 2
+ y2
= 0
a 2 b 2
15.
16.
17.
Prázdná množina
případně záměna proměnných
(0,3,0,1)
(0,2,0,1)
(0,1,0,1)
− x2
a 2 − y2
b 2 − z2
= 1
c 2
− y2
= 1
b 2
= 1
a 2
− x2
a 2
− x2
Tabulka 9.3:

9.5.
KUŽELOSEČKY A KVADRIKY V OBECNÉ POLOZE 97
9.5 Kuželosečky a kvadriky v obecné poloze
V předcházejícím textu jsme uvedli obecné vyjádření kuželoseček – vztah (9.17) a pro
kvadriky – vztah (9.36). Obecně můžeme napsat obě rovnice ve tvaru
X h · A h · X T h = 0,
kde X h je bod objektu v homogenních souřadnicích a A h je matice dané kuželosečky nebo
kvadriky. Pro potřeby dalšího výpočtu označme A tu část matice A h , která obsahuje
koeficienty u kvadratických členů, tj. pro kvadriky platí
⎛
⎞
a 200 , a 110 , a 101
A = ⎝ a 110 , a 020 , a 011
⎠
a 101 , a 011 , a 002
a označme B = (a 100 , a 010 , a 001 ), X = (x, y, z). Obecnou rovnici kvadriky pak můžeme
psát ve tvaru
( ) ( )
A, B
T X
(X, 1) ·
· = 0
B, a 000 1
Určíme odpovídající transformaci daného kvadratického objektu tak, aby po transformaci
byly ve výsledné rovnici nulové koeficienty u smíšených kvadratických členů.
Určujeme tedy matici T h popisující afinní transformaci:
( ) T, 0
T
T h =
,
P, 1
kde T je čtvercová matice řádu 3, P je vektor o třech složkách a 0 je nulový vektor o třech
složkách.
Vzhledem k pravidlu (X · Y) T = Y T · X T pro transponování součinu matic obdržíme
( ) ( )
A, B
T
X
(X, 1) · T h ·
· T T h · = 0,
B, a 000 1
tedy po uplatnění asociativity násobení matic a po dosazení
( ) ( )
T · A · T
T
, ˜BT X
(X, 1) ·
· = 0.
˜B , ã 000 1
I když to pro další úvahy není podstatné, uved’me, že
˜B = P · A · T T + B · T T (9.42)
ã 000 = P · A · P T + B · P T + P · B T + a 000 .
Dále si všimneme součinu T·A·T T = D. Afinní transformací chceme dosáhnout toho,
aby matice D byla diagonální, to totiž odpovídá právě požadavku, aby v rovnici kvadriky
byly nulové koeficienty u smíšených kvadratických členů. V lineární algebře se dokazuje,

9.5.
KUŽELOSEČKY A KVADRIKY V OBECNÉ POLOZE 98
že k symetrické matici (a matice A je symetrická) existují uvedené matice D a T. Matice
D má za diagonální prvky vlastní čísla matice A a transformační matice T má za řádky
vlastní vektory odpovídající těmto vlastním číslům.
Zcela stejně lze postupovat i v případě vyšetřování kuželoseček. Uvedené vztahy jsme
zapsali maticově, a tak se v případě kuželoseček jen sníží příslušným způsobem rozměry
použitých objektů.
Na druhou stranu jsme neuvedli všechny detaily vyšetřování kvadratických objektů
pomocí vlastních vektorů a vlastních čísel příslušné matice. Jde např. o případ, kdy jsou
dvě vlastní čísla matice stejná. V případě shodných nenulových vlastních čísel matice
kvadriky je kvadrika rotační. Poznamenejme dále, že nulové vlastní číslo dokazuje, že
kvadratický objekt je singulární apod.
Uvedený postup si znovu objasníme na příkladu.
Příklad 47. Určíme typ a základní charakteristiky kvadriky
Řešení: Maticově můžeme psát
⎛
(x, y, z, 1) ·
⎜
⎝
x 2 + 2xy − 2xz = 1.
1, 1, −1, 0
1, 0, 0, 0
−1, 0, 0, 0
0, 0, 0, −1
⎞
⎟
⎠ ·
⎛
⎜
⎝
x
y
z
1
⎞
⎟
⎠ = 0.
Snadno zjistíme, že matice kvadriky je singulární (třetí řádek je násobkem druhého řádku),
tedy půjde o singulární kvadriku.
Určíme vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory matice
Sestavíme determinant
a obdržíme rovnici
tj.
⎛
A = ⎝
det(λI − A) =
∣
1, 1, −1
1, 0, 0
−1, 0, 0
⎞
⎠ .
λ − 1, −1, 1
−1, λ, 0
1, 0, λ
λ 2 (λ − 1) − λ − λ = 0,
λ(λ 2 − λ − 2) = 0.
Snadno zjistíme, že vlastní čísla matice A jsou
λ 1 = 0, λ 2 = −1, λ 3 = 2.
Nyní určíme vlastní vektory matice A odpovídající vypočteným vlastním číslům.
Zároveň vlastní vektory znormujeme. Určení vlastních vektorů provedeme řešením soustav
A · (x, y, z) T = λ i · (x, y, z) T , i = 1, 2, 3.
∣

9.6. CVIČENÍ 99
Jedná se tedy o homogenní soustavy s maticemi
⎛
2, 1,
⎞
−1
⎛
V 1 = A, V 2 = ⎝ 1, 1, 0 ⎠ , V 3 = ⎝
−1, 0, 1
Normovanými vlastními vektory jsou např. vektory
√ √
2
3
v 1 =
2 (0, 1, 1), v 2 =
3 (1, −1, 1), v 3 =
−1, 1, −1
1, −2, 0
−1, 0, −2
√
6
(−2, −1, 1).
6
Snadno sestavíme matice T h a vyjádříme kvadriku v souřadnicové soustavě (O, v 1 , v 2 , v 3 ).
Platí
⎛
√
0, 2
, √ ⎞
2
, 0 ⎛
⎞
2 2 1, 1, −1, 0
√
T h · A h · T T 3
h = ⎜
, − √ 3
, √
3
, 0
3 3 3
⎝ − √ 6
, − √ 6
, √
6
, 0 ⎟
⎠ ·
⎜ 1, 0, 0, 0
⎟
⎝ −1, 0, 0, 0 ⎠ ·
3 6 6
0, 0, 0, 1 0, 0, 0, −1
⎛
√
0, 3
, − √ ⎞
6
, 0 ⎛
⎞
3 3 0, 0, 0, 0
√ 2
· ⎜
, − √ 3
, − √ 6
, 0
√2 3 6
⎝ 2
, √
3
, √
6
, 0 ⎟
⎠ = ⎜ 0, −1, 0, 0
⎟
⎝ 0, 0, 2, 0 ⎠ .
2 3 6
0, 0, 0, 1 0, 0, 0, −1
Kanonický tvar rovnice dané kvadriky po transformaci souřadnic je
−ỹ 2 + 2˜z 2 = 1.
Jde o hyperbolickou válcovou plochu s řídící hyperbolou v rovině určené počátkem a vektory
v 2 a v 3 .
□
⎞
⎠
9.6 Cvičení
9.1 Kružnice má rovnici x 2 + y 2 − 2x + 4y − 20 = 0. Napište její vektorovou rovnici.
[r(t) = (1 + 5 cos t, −2 + 5 sin t), t ∈ 〈0, 2π)]
9.2 Napište vektorovou rovnici, resp. parametrické rovnice elipsy, která má střed S[2, −1]
a poloosy a = 3, b = 2. Její hlavní osa je rovnoběžná s osou x.
[r(t) = (2 + 3 cos t, −1 + 2 sin t), t ∈ 〈0, 2π)]
9.3 Eliminujte parametr t z parametrických rovnic paraboly x = 3t, y = 4t−5t 2 , t ∈ R.
[y = 4 3 x − 5 9 x2 ]
9.4 Odvod’te parametrické rovnice obyčejné cykloidy, kterou opisuje bod kružnice odvalující
se po přímce. Poloměr této kružnice je r. [x = r(t − sin t), y = r(1 − cos t), t ∈ R]

9.6. CVIČENÍ 100
9.5 Odvalováním přímky po křivce k vzniká jako dráha bodu tzv. evolventa dané křivky
k. Sestavte parametrické rovnice evolventy kružnice o poloměru r.
[x = r(cos t + t sin t), y = r(sin t − t cos t), t ∈ R]
9.6 Vypočtěte souřadnice bodů s parametry t = 0, π, π, 3π , π ležících na křivce r(t) =
4 2 4
( √ 2 cos t, √ 2 cos t, 2 sin t).
[[ √ 2, √ 2, 0], [1, 1, √ 2], [0, 0, 2], [−1, −1, √ 2], [− √ 2, − √ 2, 0]]
9.7 Napište vektorovou a implicitní rovnici rotační kuželové plochy, která má vrchol
v počátku a její řídicí kružnice o rovnici x 2 + y 2 = a 2 leží v rovině z = 1.
[r(u, v) = (av cos u, av sin u, v), u ∈ 〈0, 2π), v ∈ R, x 2 + y 2 − a 2 z 2 = 0]
9.8 Napište vektorovou a implicitní rovnici kuželové plochy o vrcholu V v počátku O,
jejíž řídicí křivka k je elipsa o vektorové rovnici r(t) = (a cos t, b sin t, 1), a > 0, t ∈
〈0, 2π).
x
[r(t, v) = (av cos t, bv sin t, v), v ∈ R, 2
+ y2
− z 2 = 0]
a 2 b 2
9.9 Napište vektorovou a implicitní rovnici válcové plochy, jejíž řídicí parabola o rovnici
y 2 −4x = 0 leží v rovině z = 0 a její přímky mají směr určený vektorem s = (1, 2, 3).
[r(t, v) = ( t2 4 + v, t + 2v, 3v), t ∈ R, v ∈ R, 9y2 + 4z 2 − 12yz − 36x + 12z = 0]
9.10 Kružnice k leží v rovině y = 0 a má rovnici (x − b) 2 + z 2 = a 2 . Při otáčení kolem
osy z vytvoří plochu, jíž říkáme anuloid. Napište implicitní rovnici této plochy.
[4b 2 (x 2 + y 2 ) = (x 2 + y 2 + z 2 + b 2 − a 2 ) 2 ]
9.11 Napište vektorovou rovnici kulové plochy o středu S a poloměru a. [|X − S| = a]
9.12 Rotační elipsoid má implicitní rovnici
x 2
a 2 + y2
a 2 + z2
b 2 − 1 = 0 .
Sestavte jeho parametrické rovnice při použití sférických souřadnic.
[x = a cos ϕ cos ψ, y = a sin ϕ cos ψ, z = b sin ψ, a > 0, b > 0,
ϕ ∈ 〈0, 2π), ψ ∈ ( − π 2 , π 2
)
]
9.13 Ukažte, že všechny roviny rovnoběžné s osou z protínají kvadriku o rovnici x 2 +y 2 −
z = 0 ve shodných parabolách.
Návod: Ukažte, že jde o rotační paraboloid a uvažujte řezy rovinami y =konst.
9.14 Ukažte, že rotací přímky p, která je mimoběžná s osou rotace a není k ní kolmá,
vznikne jednodílný rotační hyperboloid.
Návod: Osu rotace volte v ose z a přímku p o směrnici b v rovině x = a. [viz
a
( 9.33)]
9.15 Určete typ kvadriky 4x 2 + y 2 − 4z 2 − 16x − 2y + 21 = 0. Zjistěte její určující prvky.
[dvoudílný (nerotační) hyperboloid; střed S[2, 1, 0]]
9.16 Určete typ kvadriky 2x 2 − 3y 2 − 8x + 12y + 10 = 0.
[hyperbolická válcová plocha]

9.7. KONTROLNÍ OTÁZKY 101
9.17 Určete typ kvadriky 4y 2 + z 2 + x + 16y − 3 = 0. Zjistěte její určující prvky.
[eliptický (nerotační) paraboloid; vrchol V [19, −2, 0], osa rovnoběžná s osou x, řezy
rovinami x = x 0 , x 0 < 19, jsou elipsy]
9.18 Určete typ kvadriky −4x 2 + 9y 2 + 36z = 0 a stanovte řezy rovinami y = λx, λ ∈ R.
[hyperbolický paraboloid; řezem je pro λ ≠ ± 2 parabola, pro λ = ± 2 jsou řezem
3 3
přímky]
9.7 Kontrolní otázky
9.1 Kolika jednoduchými podmínkami, tj. např. kolika obecnými body, je určena kuželosečka?
(Návod: Určete počet volitelných koeficientů v obecné rovnici kuželosečky.)
9.2 Vyjmenujte rotační kvadriky.
9.3 Kolika jednoduchými podmínkami, tj. např. kolika obecnými body, je určena kvadrika?
(Návod: Určete počet volitelných koeficientů v obecné rovnici kvadriky.)
9.4 Vysvětlete pojem kanonický tvar rovnice kvadriky (kuželosečky).
9.5 Uved’te metody, kterými je možné upravit obecnou rovnici kvadriky na kanonický
tvar.
9.6 Matice kuželosečky má vlastní čísla λ 1 = 2, λ 2 = 3. O jakou kuželosečku jde?
(Návod: Jsou dvě možnosti.)
9.7 Matice kvadriky má vlastní čísla λ 1 = 1, λ 2 = −1, λ 3 = 2. O jakou kvadriku jde?
(Návod: Jsou dvě možnosti.)

Literatura
[1] Bohne, E. – Klix, W.D.: Geometrie – Grundlagen für Anwendungen. Leipzig, Fachbuchverlag
1995.
[2] Ježek, F. – Míková, M.: Maticová algebra a analytická geometrie. Plzeň, ZČU 2003.
[3] Rogers, D.F. – Adams, J.A.: Mathematical Elements for Computer Graphics. New
York, Mc Graw–Hill 1990.
[4] Urban, A.: Deskriptivní geometrie I. Praha, SNTL 1965.
[5] Urban, A.: Deskriptivní geometrie II. Praha, SNTL 1967.
102

Rejstřík
Afinní transformace, 12
Archimédova serpentina, 52, 60
Asymptota
křivky, 21
Bod
charakteristický, 25
inflexní, 22
uzlový, 22
vratu, 22
Charakteristika
kulové plochy, 59
obalové plochy, 56
roviny, 57
Cykloida, 26
prodloužená, 26
prostá, 26
zkrácená, 26
Dilatace, 12
Doplnění na úplný čtverec, 84
Dráha bodu, 26
Ekvidistanta
křivky, 26
Elipsa
parametrické vyjádření, 79
vektorové vyjádření, 79
Elipsoid
protáhlý, 91
rotační, 87, 91
zploštělý, 91
Epicykloida, 78
Evoluta
křivky, 26
Evolventa
křivky, 26
kruhová, 69
Flexe, 23
Gaussova křivost plochy, 38
Globoid, 44
Hlavní normála, 23
Hyperbola
parametrické vyjádření, 81
vektorové vyjádření, 81
Hyperboloid
dvojdílný rotační, 44
jednodílný rotační, 44
rotační
dvoudílný, 88
jednodílný, 88
Identita, 13
Inverzní transformace, 13
Křivka, 20, 21
asymptota, 21
definice, 20
konstantního spádu, 28
na ploše, 35
parametrická, 35
normála, 21
parametrické rovnice, 21
průniková, 35
regulární, 20
rektifikace, 22
rovinná, 21
sečna, 21
tečna, 21
tvořící, 41
vektorový popis, 21
Křivost
druhá, 23
Gaussova, 38
první, 23
103

REJSTŘÍK 104
Komplanace (rozvinutí), 69
tečna křivky, 71
Kroneckerovo delta, 7
Kružnice
hrdlová, 43
kráterová, 43
oskulační, 23
parametrické vyjádření, 77
rovníková, 43
rovnoběžková, 41
vektorové vyjádření, 77
Kruhová evolventa, 69
Kuželosečka
kanonický tvar rovnice, 84
obecná rovnice, 81
regulární, 82
signatura, 85
Kuželová plocha
řídící, 26
Kulová plocha, 87
Kvadrika
kanonický tvar rovnice, 89
obecná rovnice, 88
regulární, 89
rotační, 47, 87
regulární, 47
singularní, 47
singulární, 89
Meridián, 41, 50
hlavní, 41
Metoda
kulových ploch, 60, 61
normálového řezu, 69
tečných rovin, 60, 63
triangulace, 70
Normála
hlavní, 23
křivky, 21
plochy, 35
Normálová rovina
křivky, 21
Normálový
řez, 38
Obálka, 25
Obalová křivka, 25
Obalová plocha, 56
výpočet, 65
Obrys plochy, 36
Oskulační
kružnice, 23
rovina, 23
Osová souměrnost, 11
Otáčení (rotace), 14
okolo bodu, 11
Příčný profil, 50
Přímka na ploše
regularní, 35
torzální, 35
Parabola
parametrické vyjádření, 80
vektorové vyjádření, 80
Paraboloid
eliptický, 92
hyperbolický, 95
rotační, 87
Parametrické vyjádření
plochy, 34
Plocha
šroubová, 50
Archimédova serpentina, 52
cyklická, osová, 52
meridián, 50
přímková, 52
přímková, kosoúhlá, 52
přímková, otevřená, 52
přímková, pravoúhlá, 52
přímková, uzavřená, 52
parametrické vyjádření, 50
polomeridián, 50
rozvinutelná, 52
vinutý sloupek, 52
definice, 33
explicitní vyjádření, 35
implicitní vyjádření, 35
kuželová (obecná), 69, 86
kulová, 87
normála, 35

REJSTŘÍK 105
obalová, 56
obrys, 36
přechodová, 72
parametrické vyjádření, 34
regulární, 33
rotační, 41
řez, 45
anuloid, 44
dvojdílný hyperboloid, 44
elipsoid, 44
globoid, 44
jednodílný hyperboloid, 44
kvadrika, 47
paraboloid, 44
průnik, 47
rozvinutelná, 68
tečen prostorové křivky, 69
tečná rovina, 35
tvořící, 56
válcová
eliptická, 89
hyperbolická, 89
parabolická, 89
válcová (obecná), 69, 86
vývrtková, 52
Pohyb
šroubový, 27
Poledník, 41
Poloměr
křivosti, 23
Polomeridián, 50
Posunutí (translace), 14
Površka
regularní, 35
torzální, 35, 68
Průnik
rotačních kvadrik
rozpad, 48
rotačních ploch, 47
Redukovaná výška závitu, 27
Rektifikace křivky, 22
Rotace
okolo bodu, 11
Rotace (otáčení), 14
Rovina
oskulační, 23
Rozpad průniku rotačních kvadrik, 48
Rozvinutí, 69
Rozvinutelná šroubová plocha, 52
Rozvinutelná plocha šroubová
rozvinutí, 71
Řídící kužel
šroubovice, 29
Řez
čelní, 50
na rotační ploše, 45
normálový, 38, 69
Sečna
křivky, 21
Skládání transformací, 13, 16
Souřadnice
afinní, 9, 74
cylindrické, 74
homogenní, 10
kartézské, 74
sférické, 74
Souměrnost
podle osy, 11
podle roviny, 15
Střed
křivosti, 23
Šroubový pohyb, 27
Šroubovice, 27
křivosti, 29
levotočivá, 27
parametrické vyjádření, 27
pravotočivá, 27
Tečná křivky v rozvinutí, 71
Tečna
křivky, 21
Torze, 23
Trajektorie bodu, 26
Transformace, 6
afinní, 12, 15
inverzní, 13
skládání, 13, 16

REJSTŘÍK 106
Translace (posunutí), 14
Tvořící plocha, 56
Úhel křivek, 21
Válcová plocha
eliptická, 89
hyperbolická, 89
parabolická, 89
Výška závitu, 27
redukovaná, 27
Vývrtková plocha, 52
Věta
o obalové ploše, 65
o typech rozvinutelných ploch, 68
Vinutý sloupek, 52
Změna měřítka, 12