Algorytm hybrydowy dla problemu pakowania - Wydział ...

Adam Stawowy
Algorytm hybrydowy dla problemu pakowania
Summary: We present a meta-heuristic to combine simulated annealing (SA) with local
search technique for Bin Packing Problem. The main idea is to embed local search
algorithm into SA so that the chain explores only local optima. Tests on instances from
Beaysley's library quantify the power of the technique.
1. Wprowadzenie
Problem pakowania pudełek (ang. Bin Packing Problem - BPP) ma wielkie
znaczenie praktyczne, stąd jest szeroko badany przez teoretyków i praktyków
zarządzania. Najlepszy algorytm dla tego zagadnienia - GGA (ang. Grouping
Genetic Algorithm) został opracowany przez E. Falkenauera [2] dla potrzeb
przemysłu metalowego. Prace nad tworzeniem i badaniem algorytmów dla trudnych
problemów optymalizacji kombinatorycznej zmierzają w dwóch kierunkach.
Pierwszy stawia sobie za cel opracowanie algorytmów rozwiązujących dokładnie
problemy o coraz większych rozmiarach. Jednakże idą z tym w parze coraz większe
nakłady obliczeniowe, czemu sprzyja dokonujący się nieustannie postęp w technice
komputerowej. Praktycy uważają te algorytmy za zbyt trudne, czasochłonne i
niestabilne (nie dają dokładnych rozwiązań dla problemów o różnych rozmiarach).
W konsekwencji daje się zauważyć drugi kierunek zmierzający do znalezienia
prostych i szybkich heurystyk dających dobre (niekoniecznie optymalne)
rozwiązania, o zagwarantowanej jakości.
Praca niniejsza jest próbą połączenia tych dwóch trendów: nasz algorytm ma
dawać rozwiązania optymalne lub niewiele od niego odbiegające, bez wielkich
nakładów obliczeniowych. Co więcej algorytm powinien dawać rozwiązania prawie
powtarzalne o zagwarantowanej dokładności tak, by w dowolnym momencie
procesu obliczeniowego można było stwierdzić, o ile aktualny wynik odbiega od
optymalnego. Ma to niebagatelne znaczenie praktyczne, gdy istniejące ograniczenia
mogą narzucić przerwanie obliczeń po zadanym okresie czasu.
dr inż., Wydział Zarządzania, Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków

2. Problem pakowania pudełek
Problem pakowania pudełek (ang. Bin Packing Problem - BPP) należy do
dużej rodziny zagadnień grupowania elementów, które polegają na podziale
zbioru elementów na rozdzielne podzbiory. Problemy te należą do NP-trudnych
problemów optymalizacji kombinatorycznej. BBP formułujemy następująco:
mamy n niepodzielnych obiektów, każdy o wadze (wartości) wi, (1in) oraz n
pudełek (ang. bins) każde o pojemności C (wi

Funkcja kryterium
Rozwiązanie pośrednie
Perturbacja
Optymalizacja lokalna
Stan i
Stan i+1
Dopuszczalne rozwiązania
Rys. 1 Schematyczne przedstawienie procedury łańcuchowej optymalizacji lokalnej
Źródło: opracowanie własne na podstawie [4]
Załóżmy, że Stan i oznacza lokalne optimum osiągnięte w kroku i. Po
wykonaniu silnie zaburzającego ruchu (nazwanego tu perturbacją) osiągamy
rozwiązanie pośrednie, które poprawiane jest przy użyciu wybranego algorytmu
optymalizacji lokalnej. W konsekwencji przechodzimy do rozwiązania w
stanie i+1, które poddawane jest procedurze testowej identycznej jak w algorytmie
symulowanego wyżarzania. Jeśli rozwiązanie zostanie zaakceptowane, staje się
nowym rozwiązaniem startowym, w przeciwnym razie - wracamy do stanu i. W
przeciwieństwie do symulowanego wyżarzania procedura testowa wykonywana jest
dla lokalnego optimum, a nie dla każdego kolejno wygenerowanego rozwiązania.
Przyśpiesza to działanie algorytmu i zapewnia ominięcie nieefektywnych
fragmentów przestrzeni przeszukiwań.
Dla prawidłowego działania, algorytm CLO potrzebuje dobrej techniki
lokalnego przeszukiwania oraz wyboru ruchu perturbacyjnego. Oba zagadnienia są
specyficzne dla rozpatrywanego problemu. W przypadku BPP nie istnieje dobra
technika optymalizacji lokalnej, stąd wykorzystano propozycję Falkenauera [3].
Algorytm ten polega na wykreśleniu z rozwiązania wylosowanych grup i
ponownym włączeniu skreślonych obiektów do niepełnych pudełek. Gdy dalsze
włączanie nie jest możliwe, dla pozostałych obiektów stosowany jest algorytm FFD
w celu uzyskania prawidłowego rozwiązania. W przypadku ruchu perturbacyjnego
zdecydowano się na ruch typu wstawianie (insertion). Pozostałe elementy algorytmu
przedstawiono poniżej.

Reprezentacja rozwiązania problemu
Dopuszczalne rozwiązania są reprezentowane w sposób proponowany
przez nas dla strategii ewolucyjnej [5] tj. przez listę n elementów i s separatorów
grup, przy czym wartość j (1jn) określająca numer elementu może wystąpić na
liście tylko jeden raz, podobnie jak wartość i (n+1in+s) określająca numer
separatora. W algorytmie przyjęto s = ROUND(0.7*n).
Tak więc dla 7 elementów i 3 separatorów grup, rozwiązanie postaci R1 =
(1,3,9,8,5,2,7,10,6,4) oznacza, że elementy spakowane są do trzech pudełek (1,3),
(5,2,7) i (6,4), natomiast rozwiązanie R2 = (1,10,3,8,5,2,9,7,6,4) oznacza, że
elementy mieszczą się w czterech pudełkach (1), (3), (5,2) i (7,6,4).
Ruchowi perturbacyjnemu podlegają zarówno elementy jak i separatory.
Sposób generowania rozwiązania początkowego
Populację początkową stanowi rozwiązanie otrzymane algorytmem FF [6].
Postać funkcji dopasowania
FD
W algorytmie maksymalizowano następującą funkcję:
gdzie:
N - liczba grup w danym rozwiązaniu,
F i - suma wag elementów upakowanych w pudełku i, i=1, ..., N,
C - pojemność pudełka,
s - stała kary, taka że:
1 jeśli Fi
C
s
1000 jeśli Fi
C
Kryterium akceptacji
Rozwiązania lepsze od startowego w danym kroku są bezwzględnie
akceptowane, natomiast gorsze są akceptowane z prawdopodobieństwem
zależnym od względnej różnicy wartości funkcji kryterium:
P
Fi
s
C
N
N
2
i FDSt
FD
0 .0001
(2)
FD
akcp
1
(1)

4. Badania eksperymentalne
Do badań wzięto 8 zestawów po 20 przykładowych problemów zawartych
w bibliotece Beasley’a [1]. Problemy te podzielone są na dwie grupy:
elementy o wagach wylosowanych z rozkładu równomiernego z przedziału
[20..100] mają być umieszczone w pudełkach o rozmiarach 150, przy czym
liczba elementów wynosi 120, 250, 500 i 1000,
elementy o wartościach z przedziału [0,25..0,50] mają być umieszczone w
pudełkach o rozmiarach 1, przy czym liczba elementów wynosi 60, 120, 249 i
501, z czego 1/3 ma duże wagi a 2/3 - małe (poniżej 1/3 rozmiaru pudełka).
Dla każdego zestawu danych wykonywano trzy przebiegi, z których
wybierano najlepsze rozwiązanie. W jednym przebiegu algorytm badał 450 000
rozwiązań, co stanowi znikomą część przestrzeni poszukiwań i jest wartością
porównywalną ze stosowaną przez Khuriego i zespół (1000 generacji po 500
rozwiązań) w ich algorytmie [3].
Ogólnie rzecz biorąc problemy oznaczone binpack1-binpack3 oraz
binpack5-binpack7 okazały się łatwe dla naszego algorytmu: w każdym
przypadku osiągano rozwiązania optymalne. W tabeli 1 zaprezentowano wyniki
osiągnięte przez znane algorytmy przybliżone dla 2 pozostałych zestawów z
biblioteki Beasley’a: binpack4 dla 1000 elementów oraz binpack8 dla 501
elementów, które stanowią największe i najtrudniejsze problemy odpowiednio z
pierwszej i drugiej grupy zestawów. W zestawieniu nie ujęto propozycji
Khuriego i zespołu ze względu na znacząco gorsze wyniki osiągane przez ten
algorytm w porównaniu z innymi.
Wyniki badań potwierdziły dominację algorytmu GGA Falkenauera,
szczególnie dla problemów o dużych rozmiarach. Algorytmy Martello i Totha
oraz FFD radzą sobie dobrze z problemami pierwszej grupy, natomiast zawodzą
dla trudniejszych - wg Falkenauera - problemów drugiej grupy. Algorytm CLO
daje tylko nieznacznie gorsze wyniki niż GGA Falkenauera, dominując nad
pozostałymi technikami, szczególnie dla problemów drugiej grupy. Na uwagę
zasługuje fakt, że osiągane rezultaty są lepsze niż nasza poprzednia propozycja,
którą była prosta strategia ewolucyjna (w tabeli oznaczona jako ES-S).

Tabela 1. Wyniki osiągnięte przez FFD, GGA, MTP (Mortello i Toth), CLO oraz
ES-S (Strategia ewolucyjna Stawowego); OPT - optimum globalne
BINPACK4
BINPACK8
Lp OPT FFD GGA MTP ES-S CLO Lp. OPT FFD GGA MTP ES-S CLO
.
1 399 403 399 403 403 401 1 167 190 167 184 168 167
2 406 411 406 410 409 407 2 167 191 167 181 168 168
3 411 416 411 416 415 413 3 167 190 167 177 168 168
4 411 416 411 416 417 413 4 167 190 167 180 168 167
5 397 402 397 401 402 398 5 167 191 167 181 168 168
6 399 404 399 402 403 401 6 167 190 167 183 168 168
7 395 399 395 398 400 397 7 167 190 167 183 169 168
8 404 408 404 406 411 407 8 167 189 167 183 169 168
9 399 404 399 402 406 400 9 167 191 167 177 168 168
10 397 404 397 402 403 398 10 167 190 167 185 168 168
11 400 404 400 404 403 401 11 167 190 167 179 168 168
12 401 405 401 404 405 403 12 167 190 167 178 168 168
13 393 398 393 396 397 394 13 167 190 167 187 168 167
14 396 401 396 401 400 398 14 167 190 167 181 168 168
15 394 400 394 399 398 395 15 167 189 167 183 169 168
16 402 408 402 407 408 405 16 167 190 167 181 168 167
17 404 407 404 407 407 405 17 167 189 167 183 168 168
18 404 409 404 407 408 406 18 167 191 167 183 168 168
19 399 403 399 403 403 400 19 167 189 167 180 169 168
20 400 406 400 405 404 401 20 167 191 167 188 168 168

5. Wnioski końcowe
Przeprowadzone badania eksperymentalne wykazały dużą przydatność
techniki CLO dla problemu pakowania pudełek, zaproponowany algorytm daje
tylko nieznacznie gorsze rozwiązania niż, o wiele bardziej skomplikowany, GGA,
natomiast dużo lepsze niż inne algorytmy przybliżone. Nasz algorytm bada tylko
okolice optimów lokalnych, co znacząco redukuje przestrzeń poszukiwań.
Kluczowym elementem sukcesu nowej techniki jest zastosowanie dobrego
algorytmu optymalizacji lokalnej oraz dobrego ruchu perturbacyjnego.
Zagadnienia te są specyficzne dla rozpatrywanego problemu. Zastosowane przez
nas rozwiązania nie są prawdopodobnie najlepsze dla problemu pakowania
pudełek, stąd konieczne są dalsze prace zmierzające do doboru optymalnych
elementów algorytmu CLO.
Literatura
[1] Beasley J.: "OR-Library: Distributing test problems by electronic mail". Journal
of the Operational Research Society, vol. 41, no. 11, 1990, str. 1069-1072.
[2] Falkenauer E.: "A new representations and operators for genetic algorithms
applied to grouping problems". Evolutionaty Computations, vol. 2, no. 2, 1994,
str. 123-144.
[3] Khuri S., Schütz M., Heitkötter J.: "Evolutionary heuristics for the bin packing
problem". Proceedings of ICANNGA’95, April 1995.
[4] Martin O., Otto S.: "Combining simulated annealing with local search
heuristics". Artykuł przeznaczony dla Metaheuristics in Combinatoric
Optimization pod redakcją Laporte'a i Osmana.
[5] Stawowy A.: "Algorytm ewolucyjny dla problemu pakowania". Kwartalnik
AGH - Mechanika, Wydawnictwa AGH, Kraków 1997, str. 593-598.
[6] Sysło M., Deo N., Kowalik J.: Algorytmy optymalizacji dyskretnej, PWN,
Warszawa 1995.