Metoda siÅ‚ - rama, symetria antysymetria - Instytut Konstrukcji ...

Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski 

Gr. 3 rok III 

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych 

POLITECHNIKA POZNAŃSKA 

INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH 

ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI 

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metoda 

sił z wykorzystaniem symetrii i antysymetrii 

1


Gr. 3 rok III 


10 kN 

6 kN/m 

2EI 

EI 

EI 

4 

3 

3 

PoniewaŜ rama jest symetryczna, do obliczenia nadliczbowych niewiadomych 

skorzystamy z symetrii i antysymetrii obciąŜenia zewnętrznego. W tym celu tworzymy dwa 

oddzielne schematy obciąŜenia dające w sumie obciąŜenie dane pierwotnie. Jedno z nich jest 

symetryczne, drugie antysymetryczne. 

W przypadku obciąŜenia symetrycznego wykresy NORMALNEJ i MOMENTU są 

symetryczne, a wykres TNĄCEJ - antysymetryczny. 

5 kN 

2EI 

5 kN 

EI 

EI 

4 

3 

3 

2


Gr. 3 rok III 


Do obliczeń bierzemy połowę ramy. 

5 kN 

3 kN/m 

2EI 

EI 

4 

STOPIEŃ STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI 

SSN=5-3=2 

1. PRZYJMUJĘ UKŁAD PODSTAWOWY 

3 

5 kN 

3 kN/m 

2EI 

X2 

X1 

EI 

4 

WARUNKI 

∆ 

∆ 

1 

= 1 

1 

= 2 

0 

0 

3


Gr. 3 rok III 


∆1 ( P ) + ∆1( 

X 

1) 

+ ∆1( 

X 

2 

) = 

∆ P ) + ∆ ( X ) + ∆ ( X ) 

2 

( 

2 1 2 2 

= 

0 

0 

GDZIE: 

∆ ( = δ11X 

∆ ( = δ X 

1 

X1) 

1 

X 

2 

) 

12 

1 

2 

PO PRZEKSZTAŁCENIU: 

δ 

δ 

δ 

δ 

11 

X 

1 

+ 

12 

X 

2 

+ 

1P 

= 

21 

X 

1 

+ δ 

22 

X 

2 

+ δ 

2P 

= 

0 

0 

δ 

ik 

= ∑∫ 

M 

i 

M 

EI 

k 

2. STAN X 

1 

= 1 

2EI 

1 

EI 

4 

HA 

A 

RA 

MA 

3 

∑ X : H 

A 

= 1 

∑ Y : R 

A 

= 0 

∑ M 

A 

: M 

A 

+ 1 ⋅ 4 = 0 

M 

A 

= −4 

4


Gr. 3 rok III 


3. WYKRES MOMENTU W STANIE X 

1 

= 1 

M 1 [m] 

4 

4 

3 

4. STAN X 

2 

= 1 

2EI 

1 

EI 

4 

HA 

A 

RA 

MA 

3 

∑ X : H 

A 

= 0 

∑ Y : R 

A 

= 0 

5


Gr. 3 rok III 


∑ M 

A 

: M 

A 

+1 = 0 

M 

A 

= −1 


2 

= 1 

1 

1 

M 2 [m] 

1 

4 

1 

3 

6. STAN P 

5 kN 

3 kN/m 

2EI 

EI 

4 

HA 

A 

RA 

MA 

3 

∑ X : H 

A 

= −5 

∑ Y : R 

A 

= 9 

6


Gr. 3 rok III 


∑ M 

A 

: M 

A 

− 3 ⋅ 3⋅1,5 

− 5 ⋅ 4 = 0 

7. WYKRES MOMENTU W STANIE P 

M P [kNm] 

M 

A 

= 33,5 

13,5 

13,5 

4 

33,5 

3 

8. WYZNACZANIE δ 

δ 

ik 

= ∑∫ 

M 

i 

M 

EI 

k 

Dla ułatwienia obliczeń korzystam równieŜ ze wzoru Mohra-Wiereszczagina 

B 

∫ 

A 

f ( x) 

g( 

x) 

dx = S ⋅η 

δ 

δ 

1 2 21,333 

= (0,5 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ ⋅ 4) 

EI 3 EI 

1 

1 5,5 

= (1 ⋅3⋅1) 

+ (1 ⋅ 4 ⋅1) 

2EI 

EI EI 

11 

= 

22 

= 

δ 

1 

(0,5 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅1) 

EI 

12 

= 

= 

8 

EI 

Zgodnie z twierdzeniem Maxwella 

δ 

ik 

= δ ki 

7


Gr. 3 rok III 


δ 

δ 

δ 

= δ 

12 21 

= 

1P 

8 

EI 

1 

2 

− 214,664 

= [ −0,5 

⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ ( ⋅33,5 

+ 1/ 3⋅13,5)] 

= 

EI 

3 

EI 

2 

1 

2 3⋅3 

1 

= ( −0,5 

⋅3⋅13,5 

⋅1+ 

⋅ ⋅3⋅1) 

+ ( −0,5 

⋅ 4 ⋅13,5 

⋅1− 

0,5 ⋅ 4 ⋅33,5 

⋅1) 

= 

2EI 

3 8 EI 

2P 

− 

100,75 

EI 

WYZNACZANIE X 1 , X 2 

21,333 8 

X 1 + 

EI EI 

8 5,5 

X 1 + X 2 

EI EI 

214,664 

X 2 − = 0 

EI 

100,75 

− = 0 

EI 

X 

X 

1 

2 

= 7,017 

= 8,11 

[ kN] 

[ kN] 

5 kN 

3 kN/m 

2EI 

8,11 

7,017 

EI 

4 

∑ X : 

∑ Y : 

H A 

= 2, 017kN 

R A 

= 9kN 

∑ M 

A 

: M A 

= 2, 678kNm 

8


Gr. 3 rok III 


M N [kNm] 

5,39 5,39 8,11 

4 

2,678 

3 

5,39 

5,39 

5,39 5,39 8,11 

4 

2,678 

3 

3 

2,678 

9


Gr. 3 rok III 


9 

+ 

T N [kN] 

7,017 

- 4 

7,017 

3 

9 

+ 

7,017 

- 

7,017 

9 

- 

+ 

4 

7,017 

7,017 

3 

3 

10


Gr. 3 rok III 


N N [kN] 

7,017 

9 

- 

7,017 

9 

7,017 

- 

4 

9 

9 

3 

3 

7,017 

9 

- 

7,017 

9 

7,017 

- 

4 

9 

9 

3 

3 

9. WYKONUJE SPRAWDZENIE KINEMATYCZNE 

1 ⋅δ 

= ∑∫ 

M 

) 

M 

EI 

( n ( o) 

dx 

W tym celu przyjmuję nowy układ podstawowy 

11


Gr. 3 rok III 


5 kN 

3 kN/m X2 

2EI 

HB 

EI 

4 

HA 

RA 

X1 

3 

10. STAN OBCIĄśENIA WIRTUALNEGO W NOWYM UKŁADZIE 

PODSTAWOWYM 

2EI 

HB 

EI 

4 

HA 

RA 

1 

3 

∑ M 

A 

: H 

A 

= −0, 25 

∑ Y : R 

A 

= 0 

∑ X : H 

B 

= −0, 25 

11. WYKRES MOMENTU W STANIE OBCIĄśENIA WIRTUALNEGO 

12


Gr. 3 rok III 


M [m] 

4 

1 

3 

12. OBLICZANIE ZEROWEGO PRZEMIESZCZENIA PUNKTU A 

1 ⋅ϕ 

A 

= 

1 

EI 

1 

[0,5 ⋅ 4 ⋅ 5,39 ⋅ ( 

1 

3 

⋅1) 

− 

1 

2 

⋅ 4 ⋅ 2,678 ⋅ 

2 

3 

⋅1] 

= 

0,0178 

EI 

BŁĄD PROCENTOWY 

0,0178 3,5897 

( : ) ⋅100% 

= 0,49% ≈ 0 

EI EI 

13


Gr. 3 rok III 


W przypadku obciąŜenia antysymetrycznego wykresy NORMALNEJ i MOMENTU 

są antysymetryczne, a wykres TNĄCEJ - symetryczny. 

3 kN/m 

5 kN 

2EI 

3 kN/m 

5 kN 

EI 

EI 4 

3 

3 

Do obliczeń bierzemy połowę ramy. 

5 kN 

3 kN/m 

2EI 

EI 

4 

3 

STOPIEŃ STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI 

SSN=4-3=1 

14


Gr. 3 rok III 


13. PRZYJMUJĘ UKŁAD PODSTAWOWY 

5 kN 

3 kN/m 

2EI 

X1 

EI 

4 

3 

WARUNKI 

∆ 

∆ 1 

= 1 

0 

P ) + ∆ ( X ) 0 

1 

( 

1 1 

= 

GDZIE: 

PO PRZEKSZTAŁCENIU: 

∆ ( = δ X 

δ 

1 

X1) 

δ 

11 

11 

X 

1 

+ 

1 P 

= 

1 

0 

δ 

ik 

= ∑∫ 

M 

i 

M 

EI 

k 

15


Gr. 3 rok III 


14. STAN X 

1 

= 1 

2EI 

1 

EI 

4 

HA 

A 

RA 

MA 

3 

∑ X : H 

A 

= 0 

∑ Y : R 

A 

= −1 

∑ M 

A 

: M 

A 

+ 1 ⋅3 

= 0 

M 

A 

= −3 


1 

= 1 

M 1 [m] 

16


Gr. 3 rok III 


3 

3 

4 

3 

3 

16. STAN P 

5 kN 

3 kN/m 

2EI 

EI 

4 

HA 

A 

RA 

MA 

3 

∑ X : H 

A 

= −5 

∑ Y : R 

A 

= 9 

∑ M 

A 

: M 

A 

− 3 ⋅ 3⋅1,5 

− 5 ⋅ 4 = 0 

17. WYKRES MOMENTU W STANIE P 

M 

A 

M P [kNm] 

= 33,5 

17


Gr. 3 rok III 


13,5 

13,5 

4 

33,5 

18. WYZNACZANIE δ 

δ 

ik 

3 

= ∑∫ 

M 

i 

M 

EI 

k 

Dla ułatwienia obliczeń korzystam równieŜ ze wzoru Mohra-Wiereszczagina 

B 

∫ 

A 

f ( x) 

g( 

x) 

dx = S ⋅η 

δ 

δ 

1 

1 

= (0,5 ⋅ 3⋅3⋅ 

2 / 3⋅ 

3) + (3⋅ 

4 ⋅3) 

2EI 

EI 

1 

3⋅3 

= ( −0,5 

⋅3⋅13,5 

⋅ 2 / 3⋅3 

+ 2 / 3⋅ 

2EI 

8 

11 

= 

1P 

2 

40,5 

EI 

1 

⋅3⋅ 

0,5 ⋅3) 

+ ( −0,5 

⋅ 4 ⋅13,5 

⋅3 

− 0,5 ⋅ 4 ⋅ 33,5 ⋅3) 

= 

EI 

− 297,1875 

EI 

WYZNACZANIE X 1 

40,5 

X 

EI 

297,1875 

− 

EI 

1 

= 

X 

1 

= 7,338[ kN] 

0 

18


Gr. 3 rok III 


5 kN 

3 kN/m 

2EI 

7,338 

EI 

4 

3 

∑ X : H 

A 

= −5 

∑ Y : R 

A 

= 1, 652 

∑ M 

A 

: M 

A 

= 11, 486 

19. WYKRESY RAMY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNEJ 

8,514 

M N [kNm] 

8,514 

4 

11,486 

3 

19


Gr. 3 rok III 


1,667 

5 

T N [kN] 

- 

7,338 

+ 

4 

5 

3 

20


Gr. 3 rok III 


5 

- 

5 

7,338 

+ 

4 

5 

3 

3 

5 

N N [kN] 

1,667 

- 

4 

1,667 

3 

21


Gr. 3 rok III 


1,667 

1,667 

- 

4 

1,667 

3 

3 

1,667 

20. WYKONUJE SPRAWDZENIE KINEMATYCZNE 

W tym celu przyjmuję nowy układ podstawowy 

22


Gr. 3 rok III 


5 kN 

3 kN/m 

2EI 

EI 

RB 

4 

HA 

A 

RA 

X1 

3 

21. STAN OBCIĄśENIA WIRTUALNEGO W NOWYM UKŁADZIE 

PODSTAWOWYM 

2EI 

EI 

RB 

4 

HA 

A 

RA 

1 

3 

∑ X : H 

B 

= 0 

∑ M 

A 

: 

R 

B 

1 

= − 

3 

23


Gr. 3 rok III 


∑ Y : 

R 

A 

1 

= 

3 

WYKRES MOMENTU W STANIE OBCIĄśENIA WIRTUALNEGO 

1 

M [m] 

4 

1 

3 

1 ⋅ϕ 

A 

1 

+ 

EI 

1 

= 

2EI 

1 ⋅δ 

= ∑∫ 

m 

M 

M 

EI 

( n) 

( o) 

0,00335 

( −0,5 

⋅ 4 ⋅8,514 

⋅1+ 

0,5 ⋅ 4 ⋅11,486 

⋅1) 

= − 

EI 

dx 

3⋅ 

3 

( −0,5 

⋅ 3⋅8,514 

⋅ 2 / 3⋅1− 

2 / 3⋅ 

8 

2 

⋅ 3⋅ 

0,5 ⋅1) 

BŁĄD PROCENTOWY 

0,00335 5,944 

( : ) ⋅100% 

= 0,056% ≈ 0 

EI EI 

Wykresy w układzie statycznie niewyznaczalnym 

M [kNm] 

24


Gr. 3 rok III 


13,904 

3,124 

3,124 

13,904 

8,11 

4 

8,808 

3 

14,164 

3 

T [kN] 

10,667 

2,983 

- 

7,017 

7,338 

7,338 

+ 

4 

2,983 

3 

3 

7,017 

N [kN] 

25


Gr. 3 rok III 


7,017 

10,667 14 7,333 4 

- 

7,017 

- 

4 

14 

4 

3 

3 

26

Metoda siÅ‚ - rama, symetria antysymetria - Instytut Konstrukcji ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?