VzorÄenje in statistiÄno zakljuÄevanje

22.11.2011 

Populacija in vzorec 

Vzorčenje in statistično 

zaključevanje 

Doktorski študij Humanistika in družboslovje, psihološke smeri 

Raziskovalna metodologija v psihologiji 

Izr. prof. dr. Anja Podlesek 

• posploševanje z vzorca na populacijo 

• opredelitev populacije in vzorca 

sestavljanje liste, s katere vzorčimo 

• reprezentativnost, nepristranskost 

vzorec ima podobne lastnosti kot populacija (enakost deležev) 

• velikost vzorca 

ekonomičen N, dopustna napaka vzorčenja, variabilnost pojava, 

pričakovana razlika, določitev N iz enačb za testiranje hipotez 

2 

Verjetnostno vzorčenje 

naključen izbor 

vsak element ima enako možnost izbora v vzorec 

visoka zunanja veljavnost 

• Naključno vzorčenje (lista elementov; vrečka, tabele naključnih 

števil, PC (Excel); reprezentativnost ni garantirana!) 

• Stratificirano vzorčenje (razdelitev populacije na razrede, iz njih 

naključno / proporcionalno vzorčimo) 

• Sistematično vzorčenje (naključno določen začetek, korak k 

elementov) 

• Vzorčenje klastrov (naključen izbor klastra oziroma vzorčne enote, 

vzorec = vsi člani klastra) 

• Večstopenjsko vzorčenje (določimo večje klastre, naključno 

izberemo nekaj klastrov, naključno vzorčimo iz posameznega 

klastra) 

3 

Druge tehnike vzorčenja 

• Priložnostno vzorčenje (problem prostovoljnih udeležencev) 

• Namensko vzorčenje (udeleženci imajo določene lastnosti): 

– vzorčenje pogostih primerov 

– vzorčenje ekstremnih primerov oz. raznolikosti 

– vzorčenje ekspertov 

– kvotni vzorec 

– vzorčenje po principu “snežne kepe” 

4 

Teorija vzorčenja 

Teorija vzorčenja 

• Govori o odnosih med 

populacijo in vzorci, ki jih 

vlečemo iz nje. 

verjetnost 

Spremenljivka 

Statistika 

Parameter 

Napaka 

vzorčenja 

5 

• Če poznamo populacijo, 

lahko določimo verjetnost, 

da bomo iz nje potegnili 

specifičen vzorec (s 

specifično statistiko). 

• Obratno delamo pri 

statističnem zaključevanju: 

izmerimo vzorec, sklepamo 

o populaciji. 

populacija 

vzorec 

statistično zaključevanje/ 

posploševanje/sklepanje 

ali 

inferenčna statistika 

(angl. statistical inference) 

6 

1

22.11.2011 

Vzorčne porazdelitve 


• Če iz definirane populacije izberemo vse možne vzorce 

velikosti N, lahko za vsak vzorec določimo statistike (npr. M, 

SD). Statistike se od vzorca do vzorca spreminjajo. 

Vzorci se 

razlikujejo. 

statistika statistika statistika 

Vzorčna 

porazdelitev 

… je porazdelitev 

statistike 

neskončnega 

števila vzorcev 

7 

vzorčne porazdelitve statistik 

– opisnih statistik vzorca, npr. M, var, p, r… 

– drugih izrazov, npr. 

M1 

M 2 

SE M 1M 

2 

• Vsako vzorčno porazdelitev lahko opišemo: 

M statistike 

SD = SE statistike 

8 


Standardna napaka 

frekvenčna 

porazdelitev 

spremenljivke 

vzorčna 

porazdelitev 

statistike 

za manjše / 

večje vzorce 

SD 

M 

SE statistike 

M statistike 

Če je vzorec velik, bo 

statistika vzorca bolj 

podobna parametru. 

Razpršenost vzorčne 

porazdelitve se 

z večanjem vzorca 

manjša. 

9 

σ 

M 

SE M 

SE 

p 

SE 

M 

 

σ 

N 

= standardni odklon vzorčnih 

aritmetičnih sredin 

= standardna napaka ocene m 

 

p(1 

p) 

N 

SE 

σ 

 

Standardna napaka se z 

večanjem vzorca manjša. 

σ 

2N 

10 

Verjetnost pojavljanja vzorčne 

statistike pri velikih vzorcih 

• Če poznamo parameter v populaciji, lahko: 

– določimo verjetnost pojavljanja določene 

vrednosti vzorčne statistike. 

z = statistika−parameter 

SE statistike 

p 

– določimo interval vrednosti statistike, ki jo 

pričakujemo v srednjih k % vzorcev. 

vzorčna porazdelitev G je N.D. 

Gvz 

G 

z 

p 

 

SE 

Verjetnost pojavljanja vzorčne 

statistike pri velikih vzorcih 

G 

pop 

N (0,1) 

G pop 

11 12 

0 

SE G 

1 

G vz 

z 

2

22.11.2011 

σ 

σ 

M 

M 

SE 

Vzorčna porazdelitev aritmetične 

sredine 

M 

SE 

M 

σ 

 

N 

μ M 

σ 

 

N 

σ M =SE M = SEM 

SE M v primeru neskončnih populacij 

ali vzorčenja z vračanjem 

N N 

p 

N 1 

p 

Korekcija za končnost populacije 

μ M = μ 

E(M) = m 

SE M v primeru končnih populacij 

N p … velikost populacije 

N … velikost vzorca 

Enačba velja, ko je N p > N. 

Iz zakona velikih števil 

sledi, da je, če iz 

populacije naključno 

izberemo vzorec 

velikosti N, pričakovana 

vrednost aritmetične 

sredine vzorca (M) 

enaka populacijski 

sredini (μ). 

13 

Vzorčna porazdelitev aritmetične 

sredine 

• Je pri velikih vzorcih asimptotično normalna, ne glede na to, kakšna 

je porazdelitev spremenljivke v populaciji (centralni limitni izrek). 

• Tudi pri majhnih vzorcih je normalna, če se spremenljivka v 

populaciji porazdeljuje normalno. Če se ne, vzorčna porazdelitev 

sredin majhnih vzorcev ni normalna. 

preveriti normalnost porazdelitve spremenljivke v populaciji! 

• Pri velikih vzorcih je s‘ zelo verjetno zelo blizu pravi vrednosti s, in 

zato je tudi SE statistike zelo blizu pravi SD cenilk. 

• Pri majhnih vzorcih, če ne poznamo variance spremenljivke v 

populaciji (oz. s), je izračun SE statistike bolj negotov – SE‘ M , 

izračunana po predstavljenih enačbah za velike vzorce, je 

pristranska ocena populacijske standardne napake (jo podcenjuje). 

14 

Vzorčne porazdelitve pri majhnih vzorcih 

• Studentova t porazdelitev: pri ocenjevanju 

aritmetične sredine spremenljivke, ki se v populaciji 

normalno porazdeljuje, ko imamo opravka z 

majhnimi vzorci in ne poznamo s 

df = ∞ z 

df = 30 

15 


Prostostne stopnje 

• angl. degrees of freedom df 

• df = število vrednosti pri končnem izračunu statistike, 

ki lahko prosto variirajo (= št. neodvisnih podatkov – 

št. predhodno ocenjenih parametrov) 

X = 1, 2, 3 

• M = X = 2 vključeni trije neodvisni kosi informacije 

N 

• var = X−μ 2 

= 2/3 vključena dva neodvisna kosa 

N 

informacije (N-1) pred tem smo ocenili μ 

16 



2 

N 

N 

2 X i μ i 

2 

χ 

 

1 σ 

zi 

df = N 

i 

i i1 

2 

2 

2 

2 SS ( X1 

M ) ( X 2 M ) ... ( X N M ) 

χ 2 

2 

σ 

σ 

2 

2 

2 N SD ( N 1) 

σ' 

χ 

df = N – 1 

2 

2 

σ σ 

Če iz normalno 

porazdeljene populacije s 

standardno deviacijo s 

potegnemo N podatkov in 

izračunamo zgornjo 

statistiko (odklone 

računamo od vzorčne M), se 

ta porazdeljuje po c 2 

porazdelitvi z df=N-1. 

df = N – 1 

Z večanjem df se c 2 

porazdelitev približuje 

normalni. 

17 

F porazdelitev se pojavi pri 

primerjavi varianc dveh vzorcev. 

Oblika F porazdelitve je odvisna od 

dveh df, in sicer od df, vezane na 

števec, in df, vezane na imenovalec 

zgornje enačbe: df 1 = N 1 -1, df 2 = N 2 -1. 

2 2 

sˆ 

1 

σ1 

F 

2 2 

sˆ 

σ 

2 

2 

2 

N 

jSDj 

sˆ 

j 

 

N 

j 

1 

2 

2 2 

N1SD1 

N1 

1σ 

1 

χ1 

N1 

1 

F 

 

2 

2 2 

N SD N 

1σ 

χ N 

1 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

Če se vzorec 1 veča proti neskončnemu, se F- 

porazdelitev približuje hi-kvadrat porazdelitvi z 

df=N 2 -1. 

Z večanjem obeh vzorcev proti neskončnemu N 

se F-porazdelitev približuje normalni. 

18 

3

22.11.2011 

Statistično zaključevanje 

Izberemo vzorec. 

Določimo statistiko (npr. M). 

Posplošujemo z vzorca na populacijo. 

• ocenjevanje parametra 

Vprašanje: Kolikšen je parameter (m) v populaciji 

• testiranje hipotez 

Vprašanje: Ali je M pomembno različna od neke 

vrednosti 

Ocenjevanje parametra 

• Navadno populacije (parametra) ne poznamo. 

• Ocenjujemo ga na osnovi statistike vzorca. 

• Standardna napaka = koliko napake v 

povprečju obstaja med vzorčno statistiko in 

neznanim populacijskim parametrom. 

– SE kot mera zanesljivosti (kaj bi bilo v drugih 

vzorcih) 

– z večanjem vzorca se SE manjša 

Točkovna in intervalna ocena parametra 

19 

20 

Točkovna ocena parametra 

Intervalna ocena parametra 

Vzorčna statistika je ocena 

populacijskega parametra. 

nepristranska ocena (ni ne 

previsoka ne prenizka, sredina 

vzorčne porazdelitve statistike je 

enaka ocenjevanemu parametru) 

vse mere centralne tendence 

proporci 

korelacijski koeficienti 

pristranska 

mere razpršenosti 

SD 

σ' 2 2 

 

 

 

X X 

N 

X X 

N 1 

(toda pri majhnih vzorcih E(s‘) 

ni enaka populacijski s, 

ampak je od nje manjša 21 

 

 

Intervalna ocena 

parametra = razpon 

vrednosti, znotraj katerega 

se bo populacijski 

parameter nahajal z 

določeno verjetnostjo 

22 

Intervalna ocena parametra 

pri velikih vzorcih 

Ocenjevanje μ pri velikih vzorcih 

/ 2 

Spodnja 

meja G 

Dopustna meja napake 

1 - 

SE G 

Točkovna 

ocena G 

SE G · z p 

Zgornja 

meja G 

p = / 2 

Vzorčna porazdelitev 

statistike G je normalna. 

SE‘ G je nepristranska. 

interval zaupanja za G 

(npr. 90-odstotni interval zaupanja pri = 0,10) 

23 

Intervalno ocenjevanje M 

pri velikih vzorcih 

m z 

p 

SE M 

vzorčna porazdelitev M je N.D. 

M m 

z 

p 

 

SE 

M 

N (0,1) 

m 

0 

SE M 

1 

M 

z 

24 

4

22.11.2011 

Ocenjevanje μ pri majhnih vzorcih 

Prikazi standardne napake 

(angl. standard error bar) 

Prikazi intervalov zaupanja 

(angl. confidence interval, CI) 

Vzorčna porazdelitev M je N.D. le, 

če je frekvenčna porazdelitev 

spremenljivke normalna. 

preveriti 

Natančnost SE‘ M se spreminja z 

velikostjo vzorca. Vzorčna 

porazdelitev je odvisna od 

stopenj prostosti. 

m 

SE M 

M m 

t 

p 

 

SE 

M 

Interval zaupanja za m: 

X t p 

SE X 

df = N - 1 

0 

1 

25 

26 

sp. meja IZ 

za varianco: 

zg. meja IZ 

za varianco: 

2 

2 ( 1)σ' 

χ N 

2 

σ 

df = N-1 

( N 1)σ' 

χ 

Ocenjevanje σ 

2 

p 

2 

1p 

2 

X 

( N 1)σ' 

χ 

c 2 1-p 

2 

X 

c 2 p 

σ' 

X 

SEσ 

 

2N 

σ' SE 

 

X 

σ 

z p 

(Grob) približek intervala 

zaupanja za s v primeru 

normalno porazdeljene 

spremenljivke in velikih 

vzorcev (N > 100) 

Kaj nam torej pove k- 

odstotni interval 

zaupanja 

Če bi iz populacije 

potegnili nešteto vzorcev 

in na vsakem vzorcu 

izdelali k-odstotni 

interval zaupanja za 

populacijski parameter, 

bi se pri k odstotkih 

vzorcev parameter v 

resnici nahajal izven tega 

intervala. 

27 28 

Testiranje hipotez 

• Pri raziskovanju postavimo hipotezo. 

• Oblikujemo H 0 in H 1 . 

• Razlikovati med dvema interpretacijama 

podatkov: 

– Če statistika vzorca ni enaka vrednosti, ki jo 

predvideva H 0 , je to posledica slučaja, tj. napake 

vzorčenja. 

– Razlika ni slučajna, ampak naš vzorec izhaja iz 

populacije, za katero H 0 ne drži. 

• Postavimo dve nasprotni si hipotezi (ničelno in alternativno). 

Primer: H 0 : Povprečni IQ je enak 100 (m = 100). 

H 1 : Povprečni IQ je različen od 100 (m 100). 

• Konstruiramo vzorčno porazdelitev (pod predpostavko pravilnosti 

ničelne hipoteze) + določimo kritično regijo. 

• Iz populacije izberemo vzorec. 

• Primerjamo vzorčno statistiko 

s hipotetično vrednostjo 

(z vrednostjo H 0 ). 


SE M 

odvisna od 

velikosti vzorca 

odvisna od 

razpršenosti 

v populaciji 

29 

100 

30 

5

22.11.2011 


Na osnovi vzorčne porazdelitve poznamo verjetnost 

pojavljanja določene vrednosti testne statistike. 


Mejo, ki loči „področje visoke verjetnosti“ od kritične 

regije, določimo na osnovi . 

Če je vrednost testne statistike 

verjetna (se nahaja znotraj 

intervala zaupanja okrog 

vrednosti H 0 ), H 0 ohranimo. 

1 

Če je vrednost višja/nižja od zgornje/spodnje 

meje intervala zaupanja (pade v kritično 

regijo), H 0 zavrnemo. 

(Pravilnost H 0 je malo verjetna. Statistika našega vzorca 

se od vrednosti H 0 statistično pomembno razlikuje.) 

1 

: 

• Raven statistične pomembnosti oz. raven alfa napake je 

verjetnost, da bo testna statistika padla v kritično 

regijo, četudi H 0 drži. 

• = (-odstotno) tveganje za neustrezno zavrnitev H 0 

• Izberemo jo vnaprej. 

• = 0,05 (5 %), = 0,01 (1 %), = 0,001 (0,1 %) 

• Je arbitrarno določena. 

0 

t M 

0 

t M 

31 

32 

Ocenjevanje parametra 

vs. testiranje hipotez 

z krit 

0 

1 

z krit 0 

z krit 

z G 

z G 

1 

z G > z krit. 

z krit 

33 

Napake pri statističnem odločanju 

dejansko 

stanje 

H 0 

r = 0) 

(M = m 

H 0 

r 0) 

(M m 

H 0 

r = 0) 

(M = m 

pravilna 

potrditev 

ničelne hipoteze 

b napaka 

naš 

zaključek 

H 0 

r 0) 

(M m 

napaka 

pravilna 

zavrnitev 

ničelne hipoteze 

34 

Gvz 

G 

z 

p 

 

SE 

G 

pop 

ničelna hipoteza 

dejansko stanje 

Napake pri 

statističnem zaključevanju 

z krit . 

z krit . 

z 

z krit . 

z 

z krit . 

napaka 

b napaka 

35 

• vrsta statistike 

• nivo merjenja 

• normalnost porazdelitve 

• enakost varianc 

• odvisni / neodvisni vzorci 

• majhni / veliki vzorci 

• vrednost ničelne hipoteze 

izbor ustreznega testa 

parametrični vs. neparametrični test 

36 

6

22.11.2011 

Parametrični in neparametrični testi 

• porazdelitev 

spremenljivke je v 

populaciji normalna 

• če primerjamo med 

sabo več vzorcev: 

variabilnost 

spremenljivke je v 

različnih vzorcih 

podobna 

• Intervalna ali 

razmernostna merska 

raven spremenljivke 

• porazdelitev spremenljivke ni 

normalna (majhni vzorci; 

omejenost razpona; U-porazdelitev 

pri stališčih) 

• raznolike variabilnosti znotraj 

vzorcev 

• ordinalna ali nominalna merska 

raven spremenljivke 

… Pri intervalnih ali razmernostnih 

spremenljivkah z neparametričnimi testi ne 

upoštevamo vseh informacij nižja moč testa 

(razliko, ki dejansko obstaja, težje potrdimo). 37 38 



Povprečja 

Povprečja 

N.D. 

parametrični testi 

ni N.D. 

neparametrični testi 

1 vzorec 2 vzorca 

več vzorcev 

1 vzorec 2 vzorca 

več vzorcev 

neodvisna 

odvisna 

neodvisnih 

odvisnih 

neodvisna 

odvisna 

neodvisnih 

odvisnih 

t test 

(one-sample) 

t test 

(independent 

t test 

(paired-samples) 

enosmerna 

ANOVA 

(GLM - univariate) 

enosmerna 

binomski - Mann- 

- Wilcoxonov - Kruskal- Friedmanov 

ANOVA 

test 

Whitneyev T test 

Wallisov H test 

(GLM - 

U 

(matched pairs) - razširjeni 

39 

- medianski test - test predznakov medianski test 

repeated-measures) 40 

o varianci 

• en vzorec: c 2 

• dva vzorca: F test 

• dva ali več vzorcev: Levenov test 

o povezanosti 

- t test za testiranje H 0 : r = 0 

- Fisherjeva transformacija 

in z test za testiranje H 0 : r = X 

o obliki porazdelitve 

- χ 2 test 

- preverjanje N.D.: 

χ 2 test 

test Kolmogorova-Smirnova 

Shapiro-Wilkov test 


r N 2 

t 

2 

1 

r 

z r 

m 

z 

z 

s 

2 

s 

c 

2 

s 

s 

F 

s 

r 

2 ( N 1) 

ˆ 

2 

1 

2 

2 

NOMINALNE 

SPREMENLJIVKE 

t test razlike med deleži 

c 2 test 

41 

Previdnost! 

• pomembna mesta 

• Interpretacija izsledka naj upošteva značilnosti 

raziskovalnega načrta. 

• Ni statistično pomembno = ni dokazano. 

Če ničelne hipoteze ne zavrnemo, to še ne pomeni, da je pravilna. Pri 

opazovanem pojavu ni bilo tako izrazitega učinka NV, da bi ga zaznali, kar ne 

pomeni, da zagotovo ne obstaja. 

• Statistična pomembnost: relativen pojem, vezan na 

verjetnostno teorijo, raste z velikostjo vzorca. 

------- Pregledati velikost učinka 

42 

7

22.11.2011 

Primeri osnovne literature 

• Ferguson, G. A. (1998). Statistical analysis in psychology 

and education (3.izd.). New York: McGraw-Hill. 

• Graveter, F.J., in Wallnau, L.B. (2009). Statistics for the 

Behavioral Sciences (8.izd.). Belmont, CA: 

Wadsworth/Thomson Learning. 

• Petz, B. (1997). Osnovne statističke metode za 

nematematičare (3. izd.). Jastrebarsko: Naklada Slap. 

prihaja nova izdaja 

• Povezave na: http://psy.ff.uni-lj.si/Katedre/psimet/ 

43 

8

VzorÄenje in statistiÄno zakljuÄevanje

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

VzorÄenje in statistiÄno zakljuÄevanje